卡特兰数
@
卡特兰数
定义
\(f_n=f_0f_{n-1}+f_1f_{n-2}+...+f_{n-1}f_0\)
也即
\(f_n=\sum\limits_{i=0}^{n-1} f_i f_{n-1-i}\)
卡特兰一般在计数题中有运用
计算方式
一般采用组合数的计算方式
由折线法可知
\(f_n=C^n_{2n}-C^{n+1}_{2n}\)
\(=\frac{(2n)!}{n!(2n-n)!}-\frac{(2n)!}{(n+1)!(2n-(n+1))!}\)
\(=\frac{(2n)!}{(n!)^2}-\frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!}\)
\(=\frac{(2n)!}{(n!)^2}-\frac{(2n)!}{(n)!^2}\frac{n}{n+1}\)
\(=\frac{1}{n+1}\frac{(2n)!}{(n)!^2}\)
\(=\frac{\prod\limits^{2n}_{i=n+2}i}{(n)!}\)
卡特兰数性质
线性递推：
\(f_{n+1}=\frac{4n+2}{n+2}f_n\)
做题的时候先用定义法证一下，实在不行就打表猜结论好啦QAQ
