关于二分查找和二分搜索

首先是二分查找，举个有序的整数数组例子（二分查找和搜索都是针对有序数组）

 public int rank(int key, int n) {
        int lo = 0, hi = n - 1;
        while (lo <= hi) {
            int mid = lo + ((hi - lo) >> 1); //>>1是除以2
            // 为什么不直接(lo+hi)>>1呢，因为lo+hi可能溢出，而hi-lo不溢出，lo+(hi-lo)>>1是小于hi的，也不溢出，更安全
            int cmp = key - a[mid];// a为有序数组
            if (cmp < 0) {
                hi = mid - 1;
            } else if (cmp > 0) {
                lo = mid + 1;
            } else {
                return mid;
            }
        }
        return lo;
    }

如果查找到，返回数组下标mid，如果没找到，return lo；有人会问了为什么返回lo？？当然你非要在找不到的情况下返回一个负数比如-1也可以。这就是关键所在，假设a[10]={1, 2, 5, 7, 7, 12, 13, 17, 18, 20};我要查找的key是6。

第一步：lo   hi   mid

             0     9     4        

             0     3     1        a[4]=7 > key=6,所以hi=mid - 1=3;    lo=0  <=  hi=3继续循环，mid=(lo+hi)/2=1

             2     3     2        cmp = 6-a[1] > 0,所以lo=mid+1=2，lo=2  <=  hi=3继续循环，mid=(lo+hi)/2=2

             3     3     3        cmp = 6-a[2] > 0,所以lo=mid+1=3，lo=3  <=  hi=3继续循环，mid=(lo+hi)/2=3

             3     2               cmp = 6-a[3] < 0,所以hi=mid-1=2, 此刻不满足套件，跳出，返回lo=3

    返回3什么意思？你看看这个数组，是不是小于6有3个元素？

        lo的值正好等于数组中小于被查找的元素的数量

         那怎么知道有没有找到呢？返回的到底是命中的下标还是小于被查找元素数量呢？ 

            用  i=rank(key, n); // 在n个元素的数组查找key=6,返回下标传给i

                 if （i<n&&a[i] == key）｛表示找到了｝

                      else  ｛没找到｝

               一些有序集合判断，如果集合包含这些元素，就更新数值，if（i<n&&a[i] == key）｛更新数值｝。或者要插入的位置在哪里？假如lo=5，我查找一遍，就知道他前面有5个元素，即我这次要插入的元素下标就为5（从0开始计算）

下面讲一下二分搜索

比如从有序数组中查找某个数值

                                                                                lower_bound

    给定长度为n的单调不下降数列a_0, a_1,...a_n-1和一个数k,求满足a_i≥k条件的最小的i。不存在的情况输出n。

 限制条件

 1≤n≤10⁶

   0≤a₀≤a₁≤...≤a_n-1<10⁹

   0≤k≤10⁹

   输入

   n = 5

   a = {2, 3, 3, 5, 6}

   k = 3

  输出

    1(其中a₀<3, a₁>=3)

  这里不仅仅是二分查找了，不仅是找到下标，而是找到最小的下标

  直接上代码(关键部分)

   int n, k;
    int[] a = new int[1000001];
    public void solve() {
        int lo = 0, hi = n;
        while (hi > lo) {
            int mid = lo + ((hi - lo) >> 1);
            if (a[mid] >= k) {
                hi = mid;
            } else {
                lo = mid;
            }
        }
        System.out.println(hi);// 最后hi和lo一样，就算找不到的情况返回n，这种情况下lo=hi=n,返回哪个都一样
    } 

比如a[5]={2, 3, 3, 5, 6}

a[2]=3和3进行比较，可以知道解不大于2

a[1]=3和3比较，可以知道解不大于1

a[0]=2和3比较，可以知道解不小于0

所以解为1

二分搜索法是通过不断缩小解的可能存在的范围，从而求得问题最优解的方法。

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