快速幂运算应用

先来一个什么是快速幂运算的讲解博客网址点击打开链接，别人写的

然后理解了什么是快速幂运算后这里要写的就是它的一个应用，包含了埃氏筛法算区间素数的方法

关于埃氏筛法可以看我的另一篇博客http://blog.csdn.net/qq_34115899/article/details/79498829

题目：Carmichael Numbers (UVa No.10006)

大致意思是：我们把对任意的1<x<n都有xⁿ≡x(mod n)成立的合数n称为Carmichael Numbers。对于给定的整数n，请判断它是不是Carmichael Numbers。（批注：a和b除以m后所得的余数相等记作a≡b(mod m)）

限制条件 2<n<65000

样例:

输入：      输入：       输入：        输入：         输入：         输入：

17            561           4                 1729           1109           431

输出：      输出：       输出：        输出：         输出：         输出：

NO           YES           NO             YES             NO              NO

import java.util.Scanner;
/*不利用语言特性任何语言都可以写*/
public class Main {
    public static boolean[] is_prime = new boolean[65001];

    public static void main(String[] args) {
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        long n = cin.nextLong();
        cin.close();
        boolean flag = true;
        sieve(n); // 记录n以内，哪些是素数
        if (is_prime[(int) n]) { // 是素数就不合题意
            flag = false;
        } else {
            for (int i = 2; i < n; ++i) { // 1<x<n都有xn≡x(mod n)成立,即从1~n的x都有xn mod n恒等于x mod n,满足就是YES否则NO
                if (mod_pow(i, n, n) != i % n) {
                    flag = false;
                    break;
                }
            }
        }
        if (flag) {
            System.out.println("YES");
        } else {
            System.out.println("NO");
        }
    }
/*埃氏筛法原理：先将2到n范围内的所有整数写下来。其中最小的数字2是素数。将表中所有2的倍数都划去。
表中剩余的最小数字是3，它不能被更小的数整除，所以是素数。再将表中所有3的倍数都划去。
依次类推，如果表中剩余的最小数字是m时，m就是素数。然后将表中的所有m的倍数都划去。像这样反复操作，就能依次枚举n以内的素数*/
    public static void sieve(long n) { // 埃氏筛法复杂度O（nlognlogn）看作线性也可以
        is_prime[0] = is_prime[1] = false;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            is_prime[i] = true;
        }
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            if (is_prime[i]) {
                for (int j = i << 1; j <= n; j += i) {
                    is_prime[j] = false;
                }
            }
        }
    }

    public static long mod_pow(long x, long n, long mod) { // java的long是64位，c++的long long是64位，long是32位
        long res = 1;
        while (n > 0) {
            if ((n & 1) == 1) {
                res = res * x % mod;
            }
            x = x * x % mod;
            n >>= 1;
        }
        return res;
    }
}

接下来如果使用java语言特性用BigInteger的话很方便，但可能超时

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static boolean[] is_prime = new boolean[65001];

    public static void main(String[] args) {
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        int n = cin.nextInt();
        cin.close();
        boolean flag = true;
        sieve(n);
        if (is_prime[n]) {
            flag = false;
        } else {
            for (int i = 2; i < n; ++i) {
                BigInteger ii = new BigInteger(i + "");
                if (ii.pow(n).mod(new BigInteger(n + "")).intValue() != i % n) {
                    flag = false;
                    break;
                }
            }
        }
        if (flag) {
            System.out.println("YES");
        } else {
            System.out.println("NO");
        }
    }

    public static void sieve(long n) {
        is_prime[0] = is_prime[1] = false;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            is_prime[i] = true;
        }
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            if (is_prime[i]) {
                for (int j = i << 1; j <= n; j += i) {
                    is_prime[j] = false;
                }
            }
        }
    }
}

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