codeforces-1106C. Lunar New Year and Number Division-题解

题目大意：

       求各组平方和的最小值。

思路：

       给定n个元素（保证n为偶数），将这些元素划分为若干个组，要求每个组元素个数不低于两个，不设上限，将各个元素利用sort（）函数进行排序，并将最前面与最后面的进行配对，形成一组，并向中间的方向配对。

证明：

A.两两配对更优

因为假设两个数组合起来(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，相比于a^2+b^2，只会多了个2ab的项

如果是三个数组合起来，那么是(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc，会多3个类似2ab的项。以此类推。

题目已经说明所有数均大于0，显然我们无法在a^2这种项下功夫，所以只要类似2ab的项越少，答案就越小。

假设两两组合，所得的这种2ab的项是最少的。

B.小的与大的配对更优

假设a<b<c<d，则问题转化为证明ac+bd−ad−bc≥0

ac+bd−ad−bc

=(a−b)c+(b−a)d

=−(b−a)c+(b−a)d

∵c<d

∴(b−a)c<(b−a)d

∴−(b−a)c+(b−a)d>0

∴ac+bd−ad−bc>0

 

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
long long a[300005];
int main()
{
    long long n,i,sum=0;    
           cin>>n;
    for(i=0;i<n;i++)
           cin>>a[i];
    sort(a,a+n);
    for(i=0;i<n/2;i++)
           sum=sum+(a[i]+a[n-i-1])*(a[i]+a[n-i-1]);
    cout<<sum<<endl;
    return 0;
}