vijos次小生成树
xiaomengxian的哥哥是一个游戏迷，他喜欢研究各种游戏。这天，xiaomengxian到他家玩，他便拿出了自己最近正在研究的一个游戏给xiaomengxian看。这个游戏是这样的：一个国家有N个城市，有些城市之间可以建设铁路，并且不同城市之间建设铁路的费用各不相同。问如何用最小的费用，使整个国家的各个城市之间能够互相到达。另外，铁路是双向的。xiaomengxian心想，这不是太简单了吗？这就是经典的MST问题。他的哥哥说，这个当然不算什么。关键是它还要求费用第二小的方案，这真是让人伤脑筋。xiaomengxian想了很久，也没有想出来，你能帮助他吗？
费用第二小的方案的定义为：与费用最小的方案不完全相同，且费用值除费用最小的方案外最小。
同vijos 1070 网址：https://www.vijos.org/p/1070
题解：
次小生成树，就是求除了最小生成树之外最小的那个生成树。
下面介绍一下利用prim求次小生成树的主要步骤。
1.先求出来最小生成树。并将最小生成树任意两点之间路径当中的权值最大的那一条找出来，为什么要找最大的呢，因为生成树加入一条边之后一定构成了回路，那么肯定要去掉这个回路当中一条边才是生成树，那么，怎么去边才是次小的，那就去掉除了刚刚添加的一条边之外回路当中权值最大的一个，所以留下的就是最小的。
2.枚举最小生成树外的每一条边。找出最小的就是次小生成树。
代码如下，若还是不懂，代码中有注释，可自行参悟
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 using namespace std; 4 int s,minn,g[501][501],m,x,y,z,ss,minn2,low[501],pre[501],low2[501][501]; 5 int i,mini,sum,n,t; bool b[501],used[501][501]; 6 int main() 7 { 8 scanf("%d%d",&n,&m); 9 for(i=1;i<=n;i++) 10 { 11 g[i][i]=0; 12 for(int j=i+1;j<=500;j++) 13 g[i][j]=g[j][i]=123456789; 14 } 15 for(i=1;i<=m;i++) 16 { 17 scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); 18 g[y][x]=g[x][y]=z;//双向边 19 } 20 for(i=1;i<=n;i++) 21 low[i]=123456789,pre[i]=i; 22 pre[1]=0; 23 low[1]=0;s=0;ss=923456789; 24 int k,kk; 25 while(1) 26 { 27 minn=123456789; 28 for(i=1;i<=n;i++) 29 { 30 if(!b[i]&&low[i]<minn) 31 { 32 minn=low[i]; 33 mini=i; 34 } 35 } 36 if(minn==123456789)break; 37 b[mini]=1; 38 s=s+minn; 39 used[mini][pre[mini]]=used[pre[mini]][mini]=1; 40 for(i=1;i<=n;i++) 41 { 42 if(b[i]&&i!=mini)low2[i][mini]=low2[mini][i]=max(low2[i][pre[mini]],low[mini]);//记录最小生成树上的路径最大值 43 t=min(g[i][mini],g[mini][i]); 44 if(!b[i]&&t<low[i]) 45 low[i]=t,pre[i]=mini;//学过prim的都知道前半段是什么，后半句是记录路径 46 } 47 } 48 printf("Cost: %d\n",s); 49 for(int i=1;i<=n;i++) 50 { 51 for(int j=i+1;j<=n;j++) 52 if(g[i][j]!=123456789&&!used[i][j]) 53 ss=min(ss,s+g[i][j]-low2[i][j]);//枚举每一条边，看看替换该边是否有价值 54 } 55 if(ss==923456789)ss=-1;//如果没有边可以替换，即没有最小生成树，输出-1 56 printf("Cost: %d",ss); 57 }
