bzoj2863:愤怒的元首

传送门

考虑到这样一个性质，一个入度为0的点连一条边到一个DAG中，依然是一个DAG

于是设\(f(i)\)为\(i\)个点组成的DAG方案数，

那么\(n\)个节点的DAG中至少有\(i\)个节点入度为\(0\)方案数为\(f(n-i)\binom{n}{i}2^{i(n-i)}\)

但是入度为\(0\)的点数为\(0\)时，方案数为\(0\)，也就是

\[\sum_{i=0}^{n}(-1)^if(n-i)\binom{n}{i}2^{i(n-i)}=0\\ f(n)=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}f(n-i)\binom{n}{i}2^{i(n-i)} \]

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
void read(int &x) {
	char ch; bool ok;
	for(ok=0,ch=getchar(); !isdigit(ch); ch=getchar()) if(ch=='-') ok=1;
	for(x=0; isdigit(ch); x=x*10+ch-'0',ch=getchar()); if(ok) x=-x;
}
#define rg register
const int maxn=3e3+10,mod=1e9+7;
int n,f[maxn],fac[maxn],inv[maxn];
int mul(int x,int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/mod*mod;}
int add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:(x+y<0?x+y+mod:x+y);}
int mi(int a,int b)
{
	int ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)ans=mul(a,ans);
		b>>=1,a=mul(a,a);
	}
	return ans;
}
int c(int x,int y){return mul(fac[x],mul(inv[y],inv[x-y]));}
int main()
{
	read(n),f[0]=f[1]=fac[0]=inv[0]=1;
	for(rg int i=1;i<=n;i++)fac[i]=mul(i,fac[i-1]);
	inv[n]=mi(fac[n],mod-2);
	for(rg int i=n-1;i;i--)inv[i]=mul(inv[i+1],i+1);
	for(rg int i=2;i<=n;i++)
		for(rg int j=0;j<i;j++)
			f[i]=add(f[i],mul(mul(mul(((i-j-1)&1?-1:1),f[j]),c(i,i-j)),mi(2,(i-j)*j)));
	printf("%d\n",f[n]);
}