bzoj3529:[Sdoi2014]数表

传送门

可以先不管\(a\)的限制

显然问题可以转化，对于一个数\(i*j\)，能同时整除\(i\)并且整除\(j\)的数\(x\)，也就是满足\(x|i\&\&y|j\)，则\(x|gcd(i,j)\)，也就是\(x\)为\(gcd(i,j)\)的约数，设\(g(n)\)为\(n\)的约数和，那么

\[ans=\sum_{d=1}^{min(n,m)}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==d]g(d)\\ ans=\sum_{d=1}^{min(n,m)}g(d)\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==d]\\ \]

然后设

\[f(d)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==d]\\ F(d)=\sum_{d|a}f(a)=\lfloor \frac{n}{d}\rfloor\lfloor \frac{m}{d}\rfloor\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[d|gcd(i,j)]\\ f(x)=\sum_{x|d}F(d)\mu(\frac{d}{x})=\sum_{x|d}\lfloor \frac{n}{d}\rfloor\lfloor \frac{m}{d}\rfloor\mu(\frac{d}{x})\\ \]

然后\(ans\)可以转化了

\[ans=\sum_{d=1}^{min(n,m)}g(d)f(d)\\ ans=\sum_{d=1}^{min(n,m)}g(d)\sum_{d|y}\lfloor \frac{n}{y}\rfloor\lfloor \frac{m}{y}\rfloor\mu(\frac{y}{d})\\ ans=\sum_{d=1}^{min(n,m)}\lfloor \frac{n}{d}\rfloor\lfloor \frac{m}{d}\rfloor \sum_{d|y}g(d)\mu(\frac{y}{d})\\ \]

然后约数和可以线筛的时候处理出来

这个时候应该拾起那个没有考虑的\(a\)了

考虑离线，当\(g(d)<=a\)的时候会产生贡献，排序一下

然而数论分块是需要前缀和的，有什么快速维护前缀和并且支持单点修改的数据结构呢

树状数组是个不错的选择

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
void read(int &x) {
	char ch; bool ok;
	for(ok=0,ch=getchar(); !isdigit(ch); ch=getchar()) if(ch=='-') ok=1;
	for(x=0; isdigit(ch); x=x*10+ch-'0',ch=getchar()); if(ok) x=-x;
}
#define rg register
#define lowbit(i) (i&(-i))
const int maxn=1e5+10,mod=(1<<31)-1;
int T,ans[maxn],mu[maxn],pri[maxn],tot,mx,s[maxn],f[maxn];bool vis[maxn];
struct o{int n,m,a,id;}a[maxn];
struct oo{int x,y;}g[maxn];
bool cmp(oo a,oo b){return a.x<b.x;}
bool Cmp(o a,o b){return a.a<b.a;}
void prepare(int x)
{
	mu[1]=1,s[1]=1;
	for(rg int i=2;i<=x;i++)
	{
		if(!vis[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1,s[i]=i+1;
		for(rg int j=1;j<=tot&&pri[j]*i<=x;j++)
		{
			vis[pri[j]*i]=1;
			if(!(i%pri[j])){s[i*pri[j]]=s[i]*s[pri[j]]-s[i/pri[j]]*pri[j];break;}
			else s[i*pri[j]]=s[i]*s[pri[j]],mu[i*pri[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for(rg int i=1;i<=x;i++)g[i].x=s[i],g[i].y=i;
	sort(g+1,g+x+1,cmp);
}
void add(int x,int y){for(rg int i=x;i<=mx;i+=lowbit(i))f[i]+=y;}
int get(int x){int ans=0;for(rg int i=x;i;i-=lowbit(i))ans+=f[i];return ans;}
int solve(int n,int m)
{
	if(n>m)swap(n,m);int ans=0;
	for(rg int i=1,j;i<=n;i=j+1)
	{
		j=min(n/(n/i),m/(m/i));
		int t=(n/i)*(m/i)*(get(j)-get(i-1));
		ans+=t;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	read(T);
	for(rg int i=1;i<=T;i++)read(a[i].n),read(a[i].m),read(a[i].a),a[i].id=i,mx=max(mx,max(a[i].n,a[i].m));
	prepare(mx);sort(a+1,a+T+1,Cmp);int now=1;
	for(rg int i=1;i<=T;i++)
	{
		while(now<=mx&&g[now].x<=a[i].a)
		{
			for(rg int j=g[now].y;j<=mx;j+=g[now].y)
				add(j,g[now].x*mu[j/g[now].y]);
			now++;
		}
		ans[a[i].id]=solve(a[i].n,a[i].m);
	}
	for(rg int i=1;i<=T;i++)printf("%d\n",ans[i]&((1<<31)-1));
}