浅谈莫比乌斯反演/杜教筛/狄利克雷卷积

定义：

对于两个数论函数\(f\)和\(g\)，定义\((f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)\cdot g(\frac{n}{d})\)

并且我们可以发现，狄利克雷卷积是满足交换律，结合律以及分配律的。

你或许还需要知道一些完全积性函数：

1、\(I(n)\)不变的函数，定义为\(I(n)=1\)

2、\(id(n)\)单位函数，定义为\(id(n)=n\)

3、\(ε(n)\)定义为：\(ε(n)=[n==1]\)。为狄利克雷卷积的乘法单位。

这些函数在接下来将很有用

很显然，是不是有\(\mu*I=ε\)

证明莫比乌斯反演

那么接下来我们来证明莫比乌斯反演吧：

\[F(n)=\sum_{d|n}f(d) \]

那么有

\[F=f*I \]

想到\(\mu*I=ε\)，考虑在等式两边卷上一个$\mu $

\[F*\mu=f*I*\mu\\ F*\mu=f*ε \]

然而\(f*ε=f\)（可以自己想想）

然后就得出了

\[f(n)=\sum_{d|n}F(\frac{n}{d})\mu(d) \]

如果定义

\[F(n)=\sum_{n|d}f(d) \]

就可以得出莫比乌斯反演的另一种形式

\[f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d) \]

杜教筛

杜教筛是一种可以快速求出积性函数前缀和的算法

假设我们现在需要求\(\sum_{i=1}^{n}h[i]\)

而\(n\)高达\(10^9\)，线性筛就做不了了

我们设\(f,g\)，并且\(f*h=g\)

那么我们设\(S[n]=\sum_{i=1}^{n}h[i]\)

\[\sum_{i=1}^{n}g(i)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}f(d)h(\frac{i}{d})\\ \sum_{i=1}^{n}g(i)=\sum_{d=1}^{n}f(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d} \rfloor}h(i)\\ \sum_{i=1}^{n}g(i)=\sum_{d=1}^{n}f(d)h(\lfloor\frac{n}{d} \rfloor)\\ S(n)f(1)=\sum_{i=1}^{n}g(i)-\sum_{d=2}^{n}f(d)S(\lfloor\frac{n}{d} \rfloor)\\ S(n)=\frac{\sum_{i=1}^{n}g(i)-\sum_{d=2}^{n}f(d)S(\lfloor\frac{n}{d} \rfloor)}{f(1)}\\ \]

\(f(1)\)很容易知道，对于右边里的\(S(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor)\)递归求解就好了

但是\(g,f\)的选择不是固定的，需要凭经验选取

狄利克雷卷积应用

1、可以用来判断积性函数，积性函数和积性函数的狄利克雷卷积也是积性函数

由于博主才疏学浅，可能讲的有些不清楚，会后续更改补充