【算法】算法的艺术（三）
打印魔方阵
一个奇数阶（设为n阶）的方阵，将1、2、3……n2填入方阵中，使每行、每列数据之和都相等，这样的方阵便是魔方阵。
实例解析：
填写魔方阵有一个固定的方法：
（1）1总是位于第一行的中间。
（2）从2开始，下一个数总是位于上一个数的右上方的空格内，如5应该位于4的右上方。
（3）若右上方超出表格的右边界，则数字填入到第一列，行数不变。图16-1中的3和8都是这种情况。
若右上方超出上边界，则数字填入最后一行，列数不变。图16-1中2和9都是这种情况。
若按上面规则推算出来的位置已经有数字存在，则下一个数位于上一个数的下方空格内。例如：本来4应该填入3的右上方，但3的右上方已经有数字1存在了，则4填入3下方的空格内。
下面是程序代码：
#define N 19
int main()
{int a[N][N] = {0}, i, j, k, n;
/*数组元素全部初始化为0，表示没有数据填入*/
scanf("%d",&n); //输入方阵阶数（奇数）
i = 0; //1的行数应该是0
j = n/2; //计算1应该在的列数
a[i][j] = 1; //将1填入表中
for(k = 2; k <= n*n; k++){
if(--i < 0) //行数减一，若超出上边界，填到最后一行
i += n;
if(++j == n) //列数加一，若超出右边界，填到最左边一列
j -= n;
if(a[i][j] != 0){ //若该位置已有数存在
if((i+=2) > n-1) //行数加2，若超过下边界
i -= n; //计算上一个数下方的行号
if((j-=1) < 0) //列数减1，若超过左边界
j += n; //计算上一个数下方的列号
}
a[i][j] = k; //将k填入
}
for(i = 0; i < n; i++) {
for(j = 0; j < n; j++)
printf("%4d", a[i][j]);
printf("\n");
}
getch();
return 0;
}
猜数游戏
随机生成一个0~100之间的数，由用户猜，允许猜5次，每次猜大了或猜小了，都要给出提示。最后，无论猜对或猜错，都给出正确答案。
实例解析：
随机数的生成可利用实例11所介绍的知识。用户猜数可用循环，最多5次，若某次猜中则break。
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
int main()
{int n, i, k;
randomize();
n = random(101);
for(i = 1; i <= 5; i++) {
printf( “\n请输入一个数，您还有%d次机会: ”, 6-i );
scanf(“%d”, &k);
if( k == n )
break;
if(k > n)
printf(“\n不对，大了!”);
else
printf(“\n不对，小了!”);
}
if(i <= 5) //因break而退出
printf(“\n恭喜您，猜对了! 答案正是%d\n”, n);
else //循环自然退出
printf(“\n抱歉，没猜对! 正确答案是%d\n”, n);
getch();
return 0;
}
二维数组的排序输出
有10名学生，每个学生考试三门功课：数学、英语、计算机，键盘输入学号和成绩（学号和分数都是整数），按总分高低排序输出。
实例解析：
本题目需要完成输入、排序和输出。由于每个学生有5项数据：学号、三门成绩、总分，存储10个人的数据需要一个二维数组：
int a[11][5]; //第0行闲置不用
设计思路：
数组的第0列用来存学号，第1~3列存单科成绩，第4列存总分。
所有数据从键盘输入，用循环实现，循环的同时计算每个人的总分。
排序用选择法，与一维数组不同的是，这里的排序如果需要交换数据，那么交换的是两行的数据，而不是仅交换总分。
下面是程序代码：
# define NUMBER 10
int main()
{
int a[NUMBER+1][5], i, j, k, t, n;
for(i = 1; i <= NUMBER; i++){
printf( "请输入第 %d个学生的数据: ", i );
scanf("%d,%d,%d,%d",&a[i][0],&a[i][1],
&a[i][2],&a[i][3]);
a[i][4] = a[i][1] + a[i][2] + a[i][3];
}
for(i = 1; i < NUMBER; i++) { //选择法排序
k = i;
for(j = i+1; j <= NUMBER; j++)
if(a[j][4] > a[k][4])
k = j;
for(n = 0; n <= 4; n++){ //交换两行的5对数据
t = a[i][n];
a[i][n] = a[k][n];
a[k][n] = t;
}
}
printf(" 学号 数学 英语 计算机 总分 名次\n");
for(i = 1; i <= NUMBER; i++)
for(j = 0; j <= 5; j++){
if(j != 5)
printf(" %3d ", a[i][j] );
else
printf(" %3d \n", i ); //输出名次
}
getch();
return 0;
}
寻找假币
80枚硬币中有一枚假币，假币比真币稍轻，请用天平称4次，将假币找出。
提示：
天平两边都可以放硬币
实例解析：
要用天平称4次找出假币，必须这样称：
(1) 将硬币分成三组：27、27、26，将前两组硬币分放在天平两侧称量，可以确定假币在某一组，假币范围缩小到27（26）个硬币中。
(2) 将假币所在组再分三组9、9、9（或9、9、8），前两组放天平上称量，又可以确定假币在哪一小组，假币范围缩小为9（8）个硬币之中。
(3) 继续分组3、3、3（或3、3、2），可确定假币在3（2）个中。
(4) 继续分组1、1、1（或1、1、0），便能找出假币。
上面描述的是用天平找出假币的方法，但计算机不是天平，要用计算机编程解这个题，就需要用程序来模拟天平称量的过程，故必须先建立数学模型。
天平称重，其实是比较两边硬币的总重量是否相等。为了能计算总重量，我们定义一个数组，每个元素存储一个硬币的重量，并使真币的重量为1，假币重量为0（只要比真币轻即可），然后按照上面的方法分组4次，称量4次。每次称完，都用k记录下假币所在小组中第一枚硬币的序号，以便下次分组从k开始。
下面为程序代码：
#include "time.h"
#include "stdlib.h"
int main()
{int i, j, k, m, s1, s2, c[81];
for(i = 1; i <= 80; i++) //先将所有元素都置为1，都是真币
c[i] = 1;
randomize();
c[random(80)+1] = 0; //随机设定一枚假币
k = 1; //存储假币所在组中第一枚硬币的序号
m = 27; //第一次称，每组27个硬币
for(i = 1; i <= 4; i++){ //循环4次，表示总共称4次
s1 = s2 = 0; //每次计算总重量前，都要先清零
for(j = k; j < m+k; j++){ //计算左右两组的硬币总重量
s1 += c[j];
s2 += c[j+m];
}
if(s1 > s2) //假币在第2组
k += m;
if(s1 == s2) //假币在第3组
k += 2*m;
m /= 3; //继续分组，下次循环每组m/3个硬币
}
printf("假币的序号是：%d\n", k);
getch();
return 0;
}
计算矩阵相乘
编程序计算矩阵相乘： A3×4×B4×2= C3×2
实例解析：
每个矩阵可用一个数组表示，数组c中每一项都是累加的结果，因此c数组中的数据必须先全部初始化为0。
c数组中的某一项c[i][j]的值由a的第i行和b的第j列相乘而得。即：c[i][j] = a[i][0]*b[0][j] + a[i][1]*b[1][j] + a[i][2]*b[2][j] + a[i][3]*b[3][j]，此式的计算可用循环实现：
for(k =0; k<=3; k++) c[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
上面只是求得数组c中的一项，利用循环可求出所有的数据。
程序代码：
#define M 3
#define K 4
#define N 2
int main()
{int a[M][K] = {3,9,12,10,1,8,6,7,5,4,2,11};
int b[K][N] = {5,8,2,1,7,3,6,4}, c[M][N] = {0};
int i, j, k;
clrscr();
for(i = 0; i < M; i++){
for(j = 0; j < N; j++){
for(k = 0; k < K; k++)
c[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
printf(“%5d”, c[i][j]);
}
printf(“\n”);
}
getch();
return 0;
}
向排好序的数组中插入数据
数组中已按从小到大顺序存有10个整数，键盘输入一个整数插入到数组中，插入后的数据还是按顺序排列的。
实例解析：
解法1：
要向排好序的数据中插入一个数据x，必须首先确定x应该插入到数组的何处，然后再行插入。
要确定x应插入到何处，需要将x依次与数组中的每个元素进行比较，若x小于某元素，则该元素的位置便是x应该插入的位置。这个过程可用下面代码实现。
for(i = 0; i <= 9; i++) if(x < a[i]) break;
循环结束后，i的值便是x插入后的序号，即a[i]应当存储x。
但是，此时还不能将x存入a[i]，因为这样做就把a[i]原值覆盖了。正确的做法是，先把a[i]后移，然后再存入x。但是，如果a[i]后移到a[i+1]，就把a[i+1]覆盖了，如何解决?
可以从数组最后一个数据开始向后移动，即先把最后一个后移，再把倒数第二个数据后移……
可用下面代码实现：
k = i; //用k记录下i的值，以便后面循环再用i作循环变量
for(i = 9; i >= k; i--)
a[i+1] = a[i];
完成这一步后，便可以把x插入到a[k]了：
a[k] = x;
下面是完整的程序代码：
#include <stdio.h>
int main()
{int a[11] = {-2,0,3,8,11,15,17,20,24,32};
int x, i, k;
scanf(“%d”, &x);
for(i = 0; i <= 9; i++)
if(x < a[i])
break;
k = i;
for(i = 9; i >= k; i--) /*自第k个数据之后的所有数据后移*/
a[i+1] = a[i];
a[k] = x; //将x插入
for(i = 0; i <= 10; i++)
printf(“%5d”, a[i]);
getch();
return 0;
}
解法2：
将数组的元素从最后一个开始依次与x比较，若数组元素大于x，则后移，直到遇到一个不大于x的元素或所有元素都比较完了为止。
for(i = 9; i >= 0 && a[i] > x; i--) a[i + 1] = a[i];
当循环结束时，存在两种情况：
（1）遇到一个元素，使得a[i]不大于x，此时，x应插入到a[i+1]。
（2）所有元素都比较完了，使得x<0退出循环，x应插入到a[0]，亦即a[i+1]。
两种情况都可以用a[i+1] = x; 来完成插入。
解法二的主要代码为：
for(i = 9; i >= 0 && a[i] > x; i--) a[i+1] = a[i]; a[i+1] = x;
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