Poisson过程

Poisson过程

• 一些知识点汇总，写都写了，所以存一下

时间连续、状态离散的随机过程

齐次泊松过程

$\{X(t),t\ge 0\}$代表$[0,t]$内统计的数量

满足：

$X(0)=0$

$$P\{X(t+s)-X(s)=n\}=e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t{)}^n}{n!},n=0,1,...$$

则称它为具有参数$\lambda >0$的Poisson过程

可得性质

$$\begin{array}{c}{m}_X(t)=E[X(t)]=E[X(t)-X(0)]=\lambda t\\ {\sigma }^2(t)=D[X(t)]=D[X(t)-X(0)]=\lambda t\\ \\ E[X(t)-X(s)]=D[X(t)-X(s)]=\lambda (t-s)\\ R_X(s,t)={\lambda }^2\cdot ts+\lambda \cdot min(t,s)\\ B_X(s,t)=\lambda \cdot min(t,s)\end{array}$$

$\{T_n,n\ge 1\}$是$\{X(t),t\ge 0\}$对应的时间间隔，它满足参数为$\lambda$的指数分布

$$f_{T_n}(t)=\{\begin{array}{c}\lambda e^{-\lambda t},t\ge 0\\ 0,t<0\end{array}$$

非齐次泊松过程

当参数$\lambda$变为与$t$相关的函数$\lambda (t)$

$$m_X(t)={\int }_0^t\lambda (s)ds$$

$$P\{X(t+s)-X(s)=n\}=e^{-[m_X(t+s)-m_X(t)]}\cdot \frac{[m_X(t+s)-m_X(t){]}^n}{n!}$$

复合泊松过程

$\{N(t),t\ge 0\}$为强度为$\lambda$的泊松过程，$\{Y_k,k=1,2,...\}$为独立同分布随机变量

令$X(t)=\sum _{k=1}^{N(t)}{Y}_k,t\ge 0$为复合泊松过程

若$E(Y_1^2)<\mathrm{\infty }$，则$E[X(t)]=\lambda tE[Y_1]$，$D[X(t)]=\lambda tE[Y_1^2]$