格雷码

B 连环锁 37% 7 19

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描述

许多人一定很熟悉九连环（如下图），九个环被串在一起，操作规则如下：第一个（右边）环可以任意装卸，如果第k个环没有被卸掉，而第k个环前边（右边）的所有环都被卸掉，则第k+1个环（第k个环左边的环）可以任意装卸（如果存在的话）。
用0表示此换被卸掉，1表示此环没有被卸掉，则九连环的每个状态可以用一个长度为9的二进制串来表示，如：111111001经过一次操作可以变成111111000，也可以变成111111011，111111111经过一次操作可以变成111111110，也可以变成111111101。

任务描述：
你现在要操作的是一个n连环，n为正整数，给出n连环的两种状态，计算出从第一种状态变换到第二种状态所需要的最少步数。

输入

第一行是一个正整数m，表示有m组测试数据。
每组测试数据一共3行，第一行是一个正整数n (0 < n < 128)，后两行每一行描述一种状态，n个数（0或1），用空格隔开。

输出

对于每一组测试数据输出一行，一个非负整数，表示从第一种状态变换到第二种状态所需要的最少步数。

样例输入

2
3
0 0 0
1 0 0
4
1 0 0 0
0 1 1 0

样例输出

7
11

 

接触到这个是因为 pkusc2013 

尝试的人很少  一开始觉得会是状态压缩dp类的 不过很明显不是。2^128种状态去吃翔吧，而且其实变换的方式也是固定套路，不存在方案的选择。因此理论上来说，递推是可行的，这种方式似乎比较像汉诺塔。

 

这里我们说的是另外一种方法——格雷码

介绍是《九连环与格雷码不得不说的故事》【转】

分析解九连环的完全记法，由于每次只动一个环，故两步的表示也只有一个数字不同。下面以五个环为例分析。左边起第一列的五位数是5个环的状态，依次由第一环到第五环。第二列是把这个表示反转次序的五位数，似乎是二进制数，但是与第四列比较就可以看出这不是步数的二进制数表示。 

第三列是从初始状态到这个状态所用的步数。最右边一列才是步数的二进制表示。

　　00000－00000－0－00000

　　10000－00001－1－00001

　　11000－00011－2－00010

　　01000－00010－3－00011

　　01100－00110－4－00100

　　11100－00111－5－00101

　　10100－00101－6－00110

　　00100－00100－7－00111

　　00110－01100－8－01000

　　10110－01101－9－01001

　　11110－01111－10－01010

　　01110－01110－11－01011

　　01010－01010－12－01100

　　11010－01011－13－01101

　　10010－01001－14－01110

　　00010－01000－15－01111

　　00011－11000－16－10000

　　10011－11001－17－10001

　　11011－11011－18－10010

　　01011－11010－19－10011

　　01111－11110－20－10100

　　11111－11111－21－10101

　　我们发现，右边一列数恰好是十进制数0到21的二进制数的格雷码！ 这当然需要21步。如果把5位二进制数依次写完，就是

　　10111－11101－22－10110

　　00111－11100－23－10111

　　00101－10100－24－11000

　　10101－10101－25－11001

　　11101－10111－26－11010

　　01101－10110－27－11011

　　01001－10010－28－11100

　　11001－10011－29－11101

　　10001－10001－30－11110

　　00001－10000－31－11111

　　这说明，对于只有5个环的五连环，从初始到状态11111用的不是并不是最多，到状态00001才是最多，用31步。类似，对于九连环，从初始到状态111111111用的不是并不是最多，到状态000000001才是最多，用511步。由于格雷码111111111表示二进制数101010101，表示十进制数341，故从初始状态到9个环全部上去用341步。这就是九连环中蕴涵的数学内涵。

　　注 由二进制数转换为格雷码：从右到左检查，如果某一数字左边是0，该数字不变；如果是1，该数字改变（0变为1，1变为0）。例，二进制数11011的格雷码是10110.

　　由格雷码表示变为二进制数：从右到左检查，如果某一数字的左边数字和是偶数，该数字不变；如果是奇数，该数字改变。

　　例 格雷码11011表示为二进制数是10010.

　　以上可以用口诀帮助记忆：2G一改零不改，G2奇变偶不变。

　　例 设九连环的初始状态是110100110，要求终止状态是001001111，简单解法与完整解法各需要多少步？过程如何？

　　解 初始状态110100110，格雷码是011001011，转换为二进制数是010001101，相应十进制数是141.终止状态是001001111，格雷码是111100100，转换为二进制数是101000111，相应十进制数是327.二者差326－141＝186，完整解法需要186步。

 

但其实，格雷码的转换不需要那么麻烦，这里给出一种简单的方式

异或转换

二进制码→格雷码（编码）：

此方法从对应的n位二进制码字中直接得到n位格雷码码字，步骤如下：

1. 对n位二进制的码字，从右到左，以0到n-1编号
2. 如果二进制码字的第i位和i+1位相同，则对应的格雷码的第i位为0，否则为1（当i+1=n时，二进制码字的第n位被认为是0，即第n-1位不变）[5] 

公式表示：

（G：格雷码，B：二进制码）

例如：二进制码0101，为4位数，所以其所转为之格雷码也必为4位数，因此可取转成之二进位码第五位为0，即0 b3 b2 b1 b0。

0 xor 0=0，所以g3=0

0 xor 1=1，所以g2=1

1 xor 0=1，所以g1=1

0 xor 1=1，所以g0=1

因此所转换为之格雷码为0111

格雷码→二进制码（解码）：

从左边第二位起，将每位与左边一位解码后的值异或，作为该位解码后的值（最左边一位依然不变）。依次异或，直到最低位。依次异或转换后的值（二进制数）就是格雷码转换后二进制码的值。

公式表示：

（G：格雷码，B：二进制码）

原码：p[n:0]；格雷码：c[n:0](n∈N）；编码：c=G(p）；解码：p=F(c）；

书写时按从左向右标号依次减小，即MSB->LSB，编解码也按此顺序进行

举例：

如果采集器器采到了格雷码：1010

就要将它变为自然二进制：

0 与第四位 1 进行异或结果为 1

上面结果1与第三位0异或结果为 1

上面结果1与第二位1异或结果为 0

上面结果0与第一位0异或结果为 0

因此最终结果为：1100 这就是二进制码即十进制 12

当然人看时只需对照表1一下子就知道是12

...................c[n]=p[n]，

练习的话  POJ1832、1090