渲染方程

Ray Tracing2 （Lectures 14~15）

内容:

• 辐射度量学
  • Motivation
• 相关的物理量
  • Radiant Energy and Flux (Power)
  • Radiant intensity
  • Irradiance
  • radiance
  • Bidirectional Reflectance
• Distribution Function(BRDF)
• The Reflection Equation
• The Rendering Equation
• 对渲染方程的理解

Basic radiometry (辐射度量学)

Motivation

在之前的Blinn-Phone光照中涉及到的光线强度并没有仔细定义，并且在光线反射处理中的能量损失等相关问题也并没有定义。

辐射度量学是专门对光照的一系列的物理量的精确的定义方法、单位。整个一套路线追踪（高级的光线追踪）的内容就是建立在辐射度量学上。

定义的是光照在空间中的属性不是在时间上的属性，同样是定义在几何光学之上的，认为光沿直线传播，不考虑波动性。

基于物理定义的一系列光照的物理量。

相关的物理量

Radiant Energy and Flux (Power)

Radiant Energy(辐射能)

光源辐射出的一系列的(电磁波)能量

Radiant Flux (Power) (辐射通量（功率）)

单位时间内的能量，可以理解为不同W的灯泡，就是所谓的光源的亮度。

物理上的实际定义:单位时间内通过感光平面内光子的数目。

Radiant intensity（辐射强度）

就是单位立体角上的功率。能量除以立体角。一个光源往四面八方发散光源，定义一个与方向有关的光的能量的相关的物理量。

立体角: 对二维角度定义的延伸，从球心引一条锥(对应角有多大--立体角描述)交圆的面积（正对圆心）除以半径的平方。

微分(单位)立体角:
规定球坐标后，便可求得对应的微分立体角。

由此也可以看出，θ、φ并不是对球的均匀的划分，发现微分立体角的变化前面还有个系数。

辐射度量中，通常用ω表示三维中的方向，ω可以用θ、φ来定义，进而求出其微分立体角。

其中I对应的是intensity，由intensity的定义反过来通过积分便可以得到对应的power，进一步便可以得到：如果点光源的光是均匀散发的，那么其中任意方向(向量)的intensity除以4*pi，也就是在方向上定义的强度。

Irradiance 辐照度

与intensity较为类似，注意，对应的unit area要与光线垂直，不垂直的话要进行投影。

对应的直观理解，地球的四季轮转。

同样用它可以解释光照模型中的能量衰减的问题。

对应的，由于光在传播过程中立体角始终没变，故intensity没有改变，衰减的是irradiance。

radiance

与之前物理量的联系:

radiance与irradiance的区别关键在于是否有方向性，irradiance表示一个单位区域接收到的能量，而radiance考虑的是其中来自某个方向的能量。

同样，从光线发出的角度理解，一个区域往一个方向发出光线(intensity)，对应其中的一个很小的面， 认为两者的方向一致，可得radiance

radiance与irradiance的联系: 二者差的方向性:

irradiance就是将四面八方的radiance积分。

Bidirectional Reflectance Distribution Function(双向反射分布函数)

某个方向进来的能量如何在不同的反射方向上分配。

将反射的过程理解为:光线 从某个方向打到某个单位区域，这个区域将能量吸收后在散发出去。BRDF对应的意义就是这些散发出去的能量与角度的关系，BRDF定义不同出射方向上的能量分配。

从一个方向的立体角ω的radiance乘积或积分就得到这一块的irradiance，然后irradiance再转化成radiance出去（不同方向上分配不同的能量）

BRDF就是定义在一个单位面积上接收到来自一个微小立体角接收到的irradiance如何分配到不同方向上。

对于任意一个出射方向计算出radiance，除以单位面积的irradiance

就是来自某个方向上的能量打到某个表面上，然后怎样分配到不同方向上的问题。

如果是漫反射，对应的BRDF就会定义income的能量会均匀的各个不同的出去的方向上，如果是镜面反射，能量就会集中在均匀反射方向。

本质上反映了光线与物体是如何作用，不同材质的物体与光线作用不同，也就是定义了不同材质的物体。

BRDF的作用就是帮助计算机模拟物体材质表面效果，让渲染出来的虚拟图像更加真实。

The Reflection Equation

BRDF考虑某一个方向上的入射，往某一个方向反射出去是什么样的结果。

对于一个着色点，它在各个不同的光照环境下，考虑它在不同反射环境下的反射光照对观测方向上的贡献。对所有的环境下积分,对应的就是反射方程所描述的。

后三项乘积表示着色点处的对radiance相乘得到的irradiance，再通过BRDF决定了这些能量在观测方向上的分配，最后将整个光照环境进行积分，就得到的对应的着色。

但是存在一个问题，到达这个着色点的地方的光不仅仅来自于光源，也可能是来自其他面的反射后的光线再到达这个地方（考虑光线是弹射多次）也就是一个不断递归的问题。

The Rendering Equation

以上忽略了物体自己会发光的情况，加上自己发的光的情况便可以得到渲染方程。

同着色模型一样，考虑方向时认为所有的方向（单位向量）是朝外的。 即考虑入射方向是从一个球心往上半球的方向发散，对应积分域是上半球。（下半球对反射没有贡献）。

同时将夹角改写成了法线与入射方向的点乘。

所有的限制在物体表面上的光线传播都是满足这个渲染方程。

Understanding the rendering equation

• 考虑一个点光源的情况，由上述方程可以得到：

• 考虑多个点光源的情况，光线传播对应的线性的性质:

• 考虑面光源，面光源对应的是一堆点光源的集合，将面光源上的任意一点的贡献积分起来
  • 将整个面光源表示为一些列点光源的积分，然后再计算BRDF
  • 先计算面光源上的一点的贡献，最后积分得到整个面光源的贡献

• 考虑平面的接收到的光线不仅仅是来自光源，也可能是来自其他物体反射后的光线，将反射的物体、反射面当成光源计算：
  • 一个点辐射出的radiance依赖于其他点的radiance，等式中变量改变的体现
  • 多次弹射
  • 从某个角度看向A点对应的radiance不知道，其他物体反射到这一点的radiance也不知道需要解，通过简化方程求解

• 将其简化处理:
  

• 定义光源、物体材质即可知到emission，BRDF，夹角也可通过几何计算得到

• 只剩下两个未知量

• 右端=着色器本身物体的发光+从其他物体表面的radiance（未知）通过BRDF反射到我们现在观察的着色点的方向上的radiance

进一步定义算子形式：

• 所有物体辐射出的能量=所有光源的能量+辐射之后的能量被反射之后的能量，K理解为反射操作符
• L是个向量

求解,算子同样有类似泰勒展开的性质：

最终得到:

• 最终看到的图分解成直接看到光源会看到什么(直接看光源)+光源辐射出的能量经过一次弹射的能量会看到什么(直接光照，光线达到物体再打到眼睛，包括类似阴影)+.......（两次称为间接光照，反射本身也是一种间接光照）
• 所有不同的光线的弹射次数全部加起来（直接光照+间接光照+..........）----对应全局光照。
• 光栅化就是对应0次和一次的弹射（光源自己以及直接光照），剩余的部分光栅化较难处理。

更为直观的例子：

• 光打不到的地方就是黑的，打得到的地方就亮。

• 三次弹射的时候灯是黑的：光线只从摄像机中进入物体里面并没有出来，考虑一个玻璃球光线弹射一次进去，弹射一次出来。

• 随着光线弹射次数的增加，最后场景中的亮度会收敛到某一个亮度(能量守恒)，直观的例子就是自然界就是全局光照的效果，最后的效果一定会收敛到某个亮度。

• 路径追踪就是解渲染方程的一种方式，同样可以解释收敛的问题。

reference:

[1] GAMES101-现代计算机图形学入门-闫令琪