noip2008 双栈排序
题目描述 Description
\(Tom\)最近在研究一个有趣的排序问题。如图所示,通过\(2\)个栈\(S_1\)和\(S_2\),\(Tom\)希望借助以下\(4\)种操作实现将输入序列升序排序。
操作\(a\)
如果输入序列不为空,将第一个元素压入栈\(S_1\)
操作\(b\)
如果栈\(S_1\)不为空,将\(S_1\)栈顶元素弹出至输出序列
操作\(c\)
如果输入序列不为空,将第一个元素压入栈\(S_2\)
操作\(d\)
如果栈\(S_2\)不为空,将\(S_2\)栈顶元素弹出至输出序列
如果一个$1$到$n$的排列$P$可以通过一系列操作使得输出序列为$1,2,…,(n-1),n$,$Tom$就称$P$是一个“可双栈排序排列”。例如$(1,3,2,4)$就是一个“可双栈排序序列”,而$(2,3,4,1)$不是。下图描述了一个将$(1,3,2,4)$排序的操作序列:$a,c,c,b,a,d,d,b$
输入描述 Input Description
输入的第一行是一个整数n。
第二行有$n$个用空格隔开的正整数,构成一个$1$到$n$的排列。
输出描述 Output Description
输出共一行,如果输入的排列不是“可双栈排序排列”,输出数字$0$;否则输出字典序最小的操作序列,每两个操作之间用空格隔开,行尾没有空格。
当然,这样的操作序列有可能有几个,对于上例$(1,3,2,4)$,$a,c,c,b,a,d,d,b$是另外一个可行的操作序列。$Tom$希望知道其中字典序最小的操作序列是什么。
把以前不会写的$noip$题目补一下~其实现在我也还是不会。
感觉这道题思路非常神……首先,贪心的选显然是错误的,因为不能保证可以构造出一组可行解。然后……这道题到底该怎么做啊啊啊!
于是到最后我还是去看题解了……
这道题首先要证明一个结论:对于任意两个数$a_i$和$a_j$来说,它们不能压入同一个栈(不仅仅指同时在栈中,而是压入了同一个栈)中的充要条件是:存在一个$k$,使得$i<j<k$且$a_k<a_i<a_j$ 。
首先证明充分性。由于$a_k<a_i$,那么当$a_k$入栈时,$a_i$还没有被弹出,那么如果$a_i$和$a_j$被压入同一个栈$a_j$就会比$a_i$先出栈,无解。
然后证明必要性。这个东西比较难证,于是我们可以转而证明它的逆否命题:若对于任意的$i<j<k$,不满足$a_k<a_i<a_j$,那么他们可以压入一个栈。
对于不满足$a_k<a_i<a_j$有两种情况:一是$a_k>a_i$,二是$a_i>a_j$。
对于第一种情况,由于$a_k>a_i$,所以在$a_k$入栈之前$a_i$已经可以弹出,于是可以压入同一个栈。
对于第二种情况,显然不论$a_k$大小如何,都可以先把$a_i$和$a_j$压入同一个栈,$a_j$会先于$a_i$弹出。
于是该命题的逆否命题得证,所以原命题得证。
于是,这个问题就变成了二分图的问题了。把不可以压入同一个栈的点连边,然后判断一个图不是二分图就无解,否则有解。
然后就是字典序最小的问题了。由于字典序最小需要靠前的数尽量往第一个栈里丢,所以可以从前到后判断一下,在二分图中$dfs$一遍。
于是这道题就这么愉快的解决辣!话说考场上碰到这种题我真的写得出来吗?
小结一下:1.碰到一类毫无思路的问题时,要推一推题目中有没有什么奇妙的性质;
2.发现自己的复杂度远过低时,一定要多检查几遍;
3.一定要先写暴力,可以用来验证自己猜的结论。
下面贴代码:
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> #define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout) #define N 1010 using namespace std; typedef long long llg; int n,a[N<<1],wa[N],co[N],b[N],lb; int head[N],next[N*N],to[N*N],tt; int s1[N],t1,s2[N],t2,now=1; bool vis[N]; int getint(){ int w=0;bool q=0; char c=getchar(); while((c>'9'||c<'0')&&c!='-') c=getchar(); if(c=='-') c=getchar(),q=1; while(c>='0'&&c<='9') w=w*10+c-'0',c=getchar(); return q?-w:w; } void link(int x,int y){ to[++tt]=y;next[tt]=head[x];head[x]=tt; to[++tt]=x;next[tt]=head[y];head[y]=tt; } bool ran(int u){ bool ww=0; for(int i=head[u],v;v=to[i],i;i=next[i]) if(co[v]==co[u]) return 0; else if(!co[v]) co[v]=3-co[u],ww|=!ran(v); return !ww; } void dfs(int u,bool w){ if(w) co[u]=3-co[u]; vis[u]=1; for(int i=head[u],v;v=to[i],i;i=next[i]) if(!vis[v]) dfs(v,w); } int main(){ File("a"); n=getint(); wa[n+1]=2147483647; for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=getint(); for(int i=n;i>=1;i--) wa[i]=min(wa[i+1],a[i]); for(int i=1;i<n;i++) for(int j=i+1;j<n;j++) if(a[i]<a[j] && a[i]>wa[j+1]) link(i,j); for(int i=1;i<=n;i++) if(!co[i]){ co[i]=1; if(!ran(i)){ printf("0"); return 0; } } for(int i=1;i<=n;i++) if(!vis[i]) dfs(i,co[i]!=1); for(int i=1;i<=n;i++){ if(co[i]==1) s1[++t1]=a[i],b[++lb]=1; if(co[i]==2) s2[++t2]=a[i],b[++lb]=3; while(s1[t1]==now || s2[t2]==now){ if(s1[t1]==now) t1--,b[++lb]=2; if(s2[t2]==now) t2--,b[++lb]=4; now++; } } for(int i=1;i<=lb;i++) printf("%c ",'a'+b[i]-1); }
UPD:最近发现被hack了……于是就重写了一份,代码如下:
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> #define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout) #define N 1010 using namespace std; typedef long long llg; int n,a[N<<1],wa[N],co[N],b[N],lb; int hd[N],nt[N*N],to[N*N],tt; int s1[N],t1,s2[N],t2,now=1; bool vis[N]; int getint(){ int w=0;bool q=0; char c=getchar(); while((c>'9'||c<'0')&&c!='-') c=getchar(); if(c=='-') c=getchar(),q=1; while(c>='0'&&c<='9') w=w*10+c-'0',c=getchar(); return q?-w:w; } void link(int x,int y){ to[++tt]=y;nt[tt]=hd[x];hd[x]=tt; to[++tt]=x;nt[tt]=hd[y];hd[y]=tt; } void ran(int u){ for(int i=hd[u],v;v=to[i],i;i=nt[i]) if(co[v]==co[u]){printf("0");exit(0);} else if(!co[v]) co[v]=3-co[u],ran(v); } int main(){ File("a"); n=getint(); wa[n+1]=2147483647; for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=getint(); for(int i=n;i>=1;i--) wa[i]=min(wa[i+1],a[i]); for(int i=1;i<n;i++) for(int j=i+1;j<n;j++) if(a[i]<a[j] && a[i]>wa[j+1]) link(i,j); for(int i=1;i<=n;i++) if(!co[i]) co[i]=1,ran(i); for(int i=1;i<=n;i++){ if(co[i]==1){ if(t1 && a[i]>s1[t1]) while(s1[t1]==now || s2[t2]==now){ if(s1[t1]==now) t1--,b[++lb]=2; if(s2[t2]==now) t2--,b[++lb]=4; now++; } s1[++t1]=a[i],b[++lb]=1; } if(co[i]==2){ if(t2 && b[i]>s2[t2]) while(s1[t1]==now || s2[t2]==now){ if(s1[t1]==now) t1--,b[++lb]=2; if(s2[t2]==now) t2--,b[++lb]=4; now++; } s2[++t2]=a[i]; b[++lb]=3; } while(s1[t1]==now) t1--,b[++lb]=2,now++; } while(s1[t1]==now || s2[t2]==now){ if(s1[t1]==now) t1--,b[++lb]=2; if(s2[t2]==now) t2--,b[++lb]=4; now++; } for(int i=1;i<=lb;i++) printf("%c ",'a'+b[i]-1); }