codevs 2606 约数和问题
题目描述 Description
Smart最近沉迷于对约数的研究中。
对于一个数X,函数f(X)表示X所有约数的和。例如:f(6)=1+2+3+6=12。对于一个X,Smart可以很快的算出f(X)。现在的问题是,给定两个正整数X,Y(X<Y),Smart希望尽快地算出f(X)+f(X+1)+……+f(Y)的值,你能帮助Smart算出这个值吗?
输入描述 Input Description
输入文件仅一行,两个正整数X和Y(X<Y),表示需要计算f(X)+f(X+1)+……+f(Y)。
输出描述 Output Description
输出只有一行,为f(X)+f(X+1)+……+f(Y)的值。
首先,对于区间$[l,r]$显然可以拆成$[1,r]$与$[1,l-1]$的差。然后,由于求的是区间的因数和,那么一个显然的想法就是枚举约数$x$,若区间内有$y$个数有$x$这个约数,那么$ans$就要加上$x*y$,对于区间$[1,n]$也就是$\lfloor n/i \rfloor *i$。
这样一来,我们就把问题转化成了求这个式子的值:
$$\sum_{i=1}^{n}\lfloor n/i \rfloor * i$$
由于$\lfloor n/i \rfloor$只有$\sqrt{n}$种取值,就可以对于$i \le \sqrt{n}$的暴力算一下$\lfloor n/i \rfloor * i$,同时算一下$\lfloor n/x \rfloor =i$的$x$的范围,统计一下即可。
下面贴代码:
1 #include<cstdio> 2 #include<cmath> 3 4 using namespace std; 5 typedef long long llg; 6 7 llg work(int x){ 8 llg ans=0,la=x,gi=(llg)sqrt(x); 9 for(llg i=1,g;i<=gi;i++){ 10 g=x/i; 11 ans+=i*g+(g+1+la)*(la-g)/2*(i-1); 12 la=x/i; 13 } 14 ans+=(gi+1+la)*(la-gi)/2*gi; 15 return ans; 16 } 17 18 int main(){ 19 int l,r; 20 scanf("%d %d",&l,&r); 21 printf("%lld",work(r)-work(l-1)); 22 }