扩展欧几里得算法学习记

　　话说以前我刷\(noip\)题的时候就想学这个东西了，结果却一直拖到了现在……

　　到了高二才会这种东西的我实在是个蒟蒻啊！

　　讲扩展欧几里得算法之前，先讲讲欧几里得算法是什么：\(\gcd(a,b)=\gcd(b,a \bmod b)\)。很显然是不？但我们还是要给出证明(设\(r=a \bmod b\))：

　　设$x$是$a,b$的一个公约数，由于存在$k=\lfloor\frac{a}{b}\rfloor$使得$a=k*b+r$，又由于$x|a$，$x|b$，则有$x|r$，所以$x$是$b,r$的公约数

　　设$x$是$b,r$的一个公约数，因为存在$k=\lfloor\frac{a}{b}\rfloor$使得$a=k*b+r$，且$x|b$，$x|r$，那么$x|a$，所以$x$是$a,b$的公约数

　　综上所述，$a$和$b$的所有公约数 等价于 $b$和$a \bmod b$的所有公约数，于是得证。

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　　所以，扩展欧几里得算法又是什么呢？这个算法就是用来求方程$a*x+b*y=\gcd(a,b)$（令$a,b$为正数）的整数解$x,y$的。

　　那么，如何求呢？(用到的除号皆为取下整，即$1/3=0$，$6/4=1$)

　　①显然当$b=0$时有：$x=1,y=0$

　　②设$r=a \bmod b$，有$r=a-(a/b)*b$

　　　　$\because \gcd(a,b)=a*x+b*y=\gcd(b,r) $

　　　　又$\because \gcd(b,r)=b*x_1+r*y_1 $

　　　　$\begin{aligned} \therefore a*x+b*y &= b*x_1+r*y_1 \\ &= b*x_1+(a-(a/b)*b)*y_1 \\ &= a*y_1+b*(x_1-(a/b)*y_1)  \end{aligned}$

　　　　$\therefore x=y_1,y=x_1-(a/b)*y_1$

　　　　递归地求下去即可

　　于是我们得到了一组特解$x_0,y_0$，而且满足$|x_0|<b,|y_0|<a$，因此过程中不需要取模

　　我们假设在$\gcd(b,r)=b*x_1+r*y_1$中满足$|x_1|<r,|y_1|<b$，那么$|x|=|y_1|<b$，$a=r+(a/b)*b$且$|x_1|<r，因此|y|=|x_1-(a/b)*y_1|<a$。

　　考虑倒数第二步，我们求的是$\gcd(kg,g)$，此时$x=0,y=1$，满足假设条件。因此除了$\gcd(g,0)$这一步之外都满足$|x|<b,|y|<a$。

　　不难发现其实通解就是 $x=x_0+b/\gcd(a,b)*t,y=y_0-a/\gcd(a,b)*t$

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　　说了这么多，扩展欧几里得算法有什么用呢？写出一长串形如$a*x+b*y=\gcd(a,b)*z$的通解？

　　其实还可以用来求$a$在$\bmod$ $b$下的乘法逆元$g$(即$a*g \bmod b=1$)

　　首先这个等式可以写成$a*g+b*x=1$

　　于是当$\gcd(a,b)\neq1$时该式无解，所以$\gcd(a,b)=1$

　　于是就变成了拓展欧几里得算法可以求的东西

　　最后注意$x=x_0+b/\gcd(a,b)*t=x_0+b*t$    记得把$x$对$b$取模

　　学了之后才发现这东西和莫队算法一样，是个很简单的东西，几分钟的事