codevs 1281 Xn数列

题目描述 Description

给你6个数，m, a, c, x0, n, g

Xn+1 = ( aXn + c ) mod m，求Xn

m, a, c, x0, n, g<=10^18

输入描述 Input Description

一行六个数 m, a, c, x0, n, g

输出描述 Output Description

输出一个数 Xn mod g

样例输入 Sample Input

11 8 7 1 5 3

样例输出 Sample Output

2

　　很久没有写博客了……先写道水题压压惊

　　由于不想写矩乘(不要问我为什么)，所以我就开始了推式子(其实就是想当做数学题来做)。

　　首先，由于$x_i=ax_{i-1}+c$，那么$x_n={a^nx_0+\sum_{i=0}^{n-1}a^ic}$

　　那么，写个快速幂，前面一部分就出来了。再设$f_x=\sum_{i=0}^{x}a^i$，$y=\lfloor x/2 \rfloor$，那么有：

$$ f_x= \begin{cases} (a^{y+1}+1)f_{y} &(x \bmod 2=1) \\ f_{x-1}+a^x&(x \bmod 2=0) \end{cases} $$

　　最后，由于模数是$10^{18}$级别的，还要写个快速乘法。

　　下面贴代码(好像一不小心多写了若干个$\log$)：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)

using namespace std;
typedef long long llg;

llg m,a,c,x0,g,n,ans;

void gi(llg &h){if(h>=m) h%=m;}
llg ch(llg a,llg b){
    llg s=0;
    if(a<b) swap(a,b);
    while(b){
        if(b&1) s+=a,gi(s);
        a<<=1,gi(a); b>>=1;
    }
    return s;
}

llg mi(llg a,llg b){
    llg s=1;
    while(b){
        if(b&1) s=ch(s,a);
        a=ch(a,a); b>>=1;
    }
    return s;
}

llg solve(llg x){
    if(!x) return 1;
    llg s,u=(x-1)>>1;
    s=ch(solve(u),mi(a,u+1)+1);
    if(!(x&1)) s+=mi(a,x),gi(s);
    return s;
}

int main(){
    scanf("%lld %lld %lld %lld %lld %lld",&m,&a,&c,&x0,&n,&g);
    ans=ch(mi(a,n),x0);
    ans+=ch(solve(n-1),c); gi(ans);
    printf("%lld",ans%g);
    return 0;
}