洛谷P4317 花(fa)神的数论题(数位dp解法)

日常废话：
完了高一开学第二天作业就写不完了药丸（其实第一天就写不完了）

传传传传传送

显然爆搜肯定过不了这道题但是有60分

我们注意到在[1,n]中，有着相同的1的个数的数有很多。若有x个数有i个1，则对答案产生的贡献是\(i^x\)。考虑到\(n\leq10^{50}\),所以最多只有50个1，看起来能够接受。这样问题就转化成求1~n内，二进制表示中有i个1的数的个数，可以用数位dp求。

关于\(i^x\),用快速幂搞一搞就好了。

数位dp

using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf=214748364;
const ll mod=10000007;
inline ll read()
{
    char ch=getchar();
    ll x=0;bool f=0;
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-')f=1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
        ch=getchar();
    }
    return f?-x:x;
}
int li[60],t;
ll n,ans,f[60],g[60][60][60];//f[i]表示[1,n]中有i的1的个数，g[i][j][h]表示填到第i位，当前总共有j个1，当前要求的1的个数是h,数的个数
ll ksm(ll a,ll b)//注意a,b都是longlong
{
    ll r=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)r=(r*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return r%mod;
}
ll dfs(int now,int cnt,int goal,bool lim)
{	
    if(!now) return cnt==goal;
    if(!lim&&g[now][cnt][goal]!=-1) return g[now][cnt][goal];//这里初始化为-1比初始化为0要省时间的多
    int up=lim?li[now]:1;
    ll rtn=0;
	for(int i=0;i<=up;i++)
    {
    	bool lli=(i==up);
    	lli&=lim;
    	rtn+=dfs(now-1,cnt+i,goal,lli);
	}
	if(!lim)g[now][cnt][goal]=rtn;
	return rtn;
}
int main()
{
    n=read();
    while(n)
    {
        li[++t]=n%2;
        n/=2;
    }
    memset(g,-1,sizeof(g));
    for(int i=1;i<=t;i++)
     f[i]=dfs(t,0,i,1);
    ans=1;
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
    	ll kk=ksm(i,f[i]);
		ans=((ans%mod)*(kk%mod))%mod;
	}    
    printf("%lld",ans);     
}
    

接下来就与此题正解无瓜了

纪念一个写歪了的dfs
如果在这题里面考虑爆搜，如何做到纯O(n)的爆搜

若我们从1循环到n，每个用logn的时间看有几个1，复杂度是O(nlogn)。
我们参照数位dp的填数的思想，枚举每一位填的是啥。填到最后，有cnt个1，则f[cnt]++。这样一共是n个数会被枚举到，所以是O(n)的。

实测比上面的g数组初始化为0的写法多10分

写歪了的dfs

using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf=214748364;
const ll mod=10000007;
inline ll read()
{
    char ch=getchar();
    ll x=0;bool f=0;
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-')f=1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
        ch=getchar();
    }
    return f?-x:x;
}
    int li[60],t;
ll n,ans,f[60];
ll ksm(ll a,ll b)
{
    ll r=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)r=(r*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return r%mod;
}
    void dfs(int now,int cnt,bool lim)
{
  if(!now){f[cnt]++;return;}
  int up=(lim)?li[now]:1;
  for(int i=0;i<=up;i++)
   dfs(now-1,cnt+i,li&&(i==up));
}
int main()
{
    n=read();
    while(n)
    {
        li[++t]=n%2;
        n/=2;
    }
    dfs(t+1,0,1);
    ans=1;
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
    	ll kk=ksm(i,f[i]);
		ans=((ans%mod)*(kk%mod))%mod;
	}    
    printf("%lld",ans);     
}
   

include被我吃了