P1077摆花

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总共要摆m盆花，而每种花最多有a[i]盆。仔细思索，发现它是一个多重背包求方案数问题。但是我蒟蒻的不会，于是跑去问大佬。

以下状态转移方程及化简from rqy

如果第i个物品有a[i]，每个的体积是b[i],设f[i][j]为前i个物品占用体积为j的空间的方案数

则：f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-b[i]]+f[i-1][j-2*b[i]]+………………+f[i-1][j-a[i]*b[i]]   （f[i][j]可以由f[i-1][j]什么都不选得来，可以由f[i-1][j-b[i]]再选一个第i种物品得来……）

运用到这个题里，显然每盆花的体积是1，状态转移方程就是：

f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1]+f[i-1][j-2]+..........+f[i-1][j-a[i]]

看到这里，我们就可以写出三层循环的代码了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m,a[105];
long long f[105][105];
const int mod=1000007;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
      scanf("%d",&a[i]);
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)//注意循环顺序
        {
          for(int k=0;k<=min(j,a[i]);k++)
          {
           f[i][j]+=f[i-1][j-k];
           f[i][j]=(f[i][j]+mod)%mod;
          }
        }
    }
    printf("%d",(f[n][m]+mod)%mod);
}

这样就可以ac了

但是这个方程很长有木有，看起来好像可以化简有木有

对比f[i][j-[b[i]]=f[i-1][j-b[i]]+f[i-1][j-2*b[i]]+......+f[i-1][j-b[i]-(a[i]-1)*b[i]]+f[i-1][j-b[i]-a[i]*b[i]]

发现f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-b[i]]-f[i-1][j-(a[i]+1)*b[i]]

amazing!

那这个化简后的方程怎么理解呢？

这就相当于说f[i][j]要么从f[i-1][j]一盆第i种花也不选，直接推过来，要么第i种已经选了1盆了，再来一盆第i种（f[i][j-b[i]]）,但是如果你第i种已经选了ai盆了，就不能再继续选了，所以要把选了ai盆后再选的方案数减掉（因为选ai盆是合法的，而选ai+1盆才是不合法的，所以是减f[i-1][j-(a[i]+1)*b[i]]）

但是蒟蒻懒得不会打代码qwq