数学篇之高斯消元
众所周知，高斯消消乐很好玩（并不），并且理解很简单，代码也很“简单”（蒟蒻到听了n遍还是不会写代码，在此写篇博客记下来）
高斯消元：
高斯消元是用来解线性方程组的，即把一个方程组的系数与方程右边的数写成一个矩阵，再解这个矩阵对应的行列式的值，就可以快速的求解
一个行列式有如下几种初等变换：
1.交换两行（列），行列式的值变号。
2.某行（列）的所有数，同时乘上k，行列式的值相当于原来的k倍（但某行（列）加上某个数的k倍值是不变的）
3.某行（列）的所有数同时加上a,行列式的值不变
so高斯消元应该怎么消呢？
（高斯消元以列为单位消）
step1：先将第一行第一列的数化为1，并且同一行的数做相同变换
step2：再将其余行的第一列化为0（通过加/减1的k倍），并且同一行的数做相同变换
step3：这时，第一行就处理完了，再将原本的第二行视作新的第一行，且新的第一列为原本的第二列（就是把原来矩阵的第一行第一列扔掉），做相同的变换，一直处理到原本的第n-1行，这样矩阵就消完了。接下来就是回带求解
当然，如果有一行全是0的时候会出现无解或有无穷多解，要特判。
因为这是解方程用的，所以输入的矩阵每一行格式如下：
系数1 系数2....................系数n 等号右边的数（这点很重要）
总体格式如下：
|a11................a1n b1|
|a21...............a2n b2|
|...................................|
|an1...............ann bn|
其中a都是系数，b为等号右边的数
高斯消元的目的是把所有的a组成的矩阵消成单位矩阵，这样最后消出来的方程就是
a11*x=b1
a22*y=b2
.....
ann*k=bn
所有的a和b都是消完后的数
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> using namespace std; int n,mo=100000007; double a[1001][1001]; int main() { bool sc=0; scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++)//读入没什么好说的 for(int j=1;j<=n+1;j++) scanf("%lf",&a[i][j]); int bj,flag=0; for(int i=1;i<=n;i++) {bj=i; while(a[bj][i]==0&&bj<=n) bj+=1; if(bj==n+1){ flag=1;continue;//如果有一列全0，那么它就没有价值了 } for(int j=1;j<=n+1;j++)swap(a[i][j],a[bj][j]);//交换，使第一行第一列的数不为0 double kk=a[i][i];//确保对角线上的数是1 for(int j=1;j<=n+1;j++) {a[i][j]/=kk;//其余数跟着处理 }
//接下来这一坨可能会比较难理解，在下面再讲一下
for(int j=1;j<=n;j++)//这一坨就是把经过处理对角线后的矩阵消成纯正的单位矩阵（就是除了对角线以外的数都清0） {if(i!=j){double k=a[j][i];//k=这行第一个数 for(int m=1;m<=n+1;m++) {a[j][m]-=k*a[i][m];//此行所有的数减去第一个数*k，使第一个数变0，当后面再处理时因为上个数已经是0了，所以没有影响 } } } if(i==n)//消完输出 {for(int j=1;j<=n;j++) {for(int m=1;m<=n+1;m++) cout<<a[j][m]<<" "; cout<<endl; sc=1; } } } if(!sc)printf("False");//sc就是输出啦，如果无输出，就代表无解 }
补锅：
上面一坨东西只保证了对角线是1，但其他数还是一撮魑魅魍魉，我们要把这些魑魅魍魉都消成0.
可能用图来表示要好一些
这货是对角线被处理过的玩意-------------->j从1开始，到n，模拟1到n行，同时，列用k代替。
k每跑完1次，j就+1，即进行下一行。但i是不变的，这样就是以i为“主体”，对i后面的每一行进行操作，使其变为一个更小的方阵。（因为每跑完一遍这一坨，第i列以前就被消成0，除了对角线，那它就消好了，后面就不用管了）这样对角线确实会变，但下一轮循环i的时候对角线会被维护，且之前消成0的数不会被改变
其思路类似下图
第一遍 第二遍（消阴影部分）
第三遍
其实就是把大矩阵消成小矩阵，一直到消完（白色部分是一定不会变化的数，也就是消好的对角线和0）
补锅*2：
很多人问flag是干嘛用的，那是用来判断是无解还是有无穷多解的东西，不过一时懒脑细胞耗尽没有写上
如何判断是有无穷解还是无解呢？
既然我们有了flag=1（系数有一行全是0）,那么这个方程组不是无解就是无穷多解
什么情况下会无解？
那就是有一行系数全是0，但是方程结果不是0，就会无解。
这样我们就可以把消完的矩阵全判一遍，如果都不是无解，就是有无穷多解了
完整版代码如下：
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> using namespace std; int n,mo=100000007; double a[1001][1001]; long double wucha=1e-9; bool pd(int h) { if(a[h][n+1]<wucha)return 1;//这里double类型的数会有一个误差，若这个数等于0，就是小于这个误差 for(int i=1;i<=n;i++) {if(a[h][i]>wucha)return 1; } return 0; } int main() { scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++)//读入没什么好说的 for(int j=1;j<=n+1;j++) scanf("%lf",&a[i][j]); int bj,flag=0; for(int i=1;i<=n;i++) {bj=i; while(a[bj][i]==0&&bj<=n) bj+=1; if(bj==n+1){ flag=1;continue;//如果有一列全0，那么它就没有价值了 } for(int j=1;j<=n+1;j++)swap(a[i][j],a[bj][j]);//交换，使第一行第一列的数不为0 double kk=a[i][i];//确保对角线上的数是1 for(int j=1;j<=n+1;j++) {a[i][j]/=kk;//其余数跟着处理 } for(int j=1;j<=n;j++)//这一坨就是把经过处理对角线后的矩阵消成纯正的单位矩阵（就是除了对角线以外的数都清0） {if(i!=j){double k=a[j][i];//k=这行第一个数 for(int m=1;m<=n+1;m++) {a[j][m]-=k*a[i][m];//此行所有的数减去第一个数*k，使第一个数变0，当后面再处理时因为上个数已经是0了，所以没有影响 } } } if(i==n)//消完输出 {for(int j=1;j<=n;j++) {for(int m=1;m<=n+1;m++) cout<<a[j][m]<<" "; cout<<endl; } } } if(flag) {for(int i=1;i<=n;i++) if(!pd(i)){printf("No Solution!");return 0; } printf("Many Many Solutions!");//瞎写的不要在意那么多细节（比如语法什么的） } }
吐血三升后肝出来的高消
高斯消消乐真好玩QwQ
诸位大佬们有觉得注释不详细的地方说出来好不好
