[BZOJ 1096][ZJOI2007]仓库建设

Description

L公司有N个工厂，由高究竟分布在一座山上。

如图所看到的，工厂1在山顶。工厂N在山脚。 因为这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天。以节省费用。

突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨。于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。

因为地形的不同。在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂眼下已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂。其产品应被运往其它的仓库进行储藏，而因为L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N。故产品仅仅能往山下运（即仅仅能运往编号更大的工厂的仓库）。当然运送产品也是须要费用的。如果一件产品运送1个单位距离的费用是1。如果建立的仓库容量都都是足够大的。能够容下全部的产品。你将得到下面数据： 工厂i距离工厂1的距离Xi（当中X1=0）;  工厂i眼下已有成品数量Pi;  在工厂i建立仓库的费用Ci; 请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

第一行包括一个整数N。表示工厂的个数。接下来N行每行包括两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

仅包括一个整数，为能够找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

32

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20。运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。假设仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。【数据规模】对于20%的数据， N ≤500；对于40%的数据。 N ≤10000。对于100%的数据， N ≤1000000。

全部的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

Source

裸DP非常水。

。。

可是O(n^2)承受不起这么大的范围。一定TLE，仅仅能採取小于O(n)的斜率优化DP，详细就是维护一个双向队列，使得队列内的点形成下凸的函数图像，这样就能舍掉非常多不必继续循环DP的非最优解，详细能够參考JSOI集训队论文《单调性优化在动态规划中的应用》

以下是我花了将近半个小时，依照上面的论文推出来的：

推完以后就能够做了。每次舍掉队首一定不是最优解的元素，维护队列中的斜率单调递增(清除斜率单调递减的部分)后再加入新的f[i],i∈[1,n]

#include <stdio.h>
#define MAXN 1000500
long long int f[MAXN],x[MAXN],c[MAXN],sum[MAXN],sump[MAXN],p[MAXN],q[MAXN]; 
//f[i]=在第i个工厂修仓库时的全部最少总费用
//f[i]=min{f[j]+w[i,j]+c[i]},c[i]=第i个工厂修仓库的费用，w[i,j]=把i到j的货物运到j的费用
//sum[i]=前i个工厂距离和
//q[]数组用于模拟队列
long long int getF(int i,int j) //求f[j]+w[i,j]
{
 return f[i]+sum[i]-f[j]-sum[j];
}
int main()
{
 int i,j,n;
 //输入
 scanf("%d",&n);
 for(i=1;i<=n;i++)
 {
  scanf("%lld%lld%lld",&x[i],&p[i],&c[i]);
  sum[i]=sum[i-1]+x[i]*p[i];
  sump[i]=sump[i-1]+p[i];
 }
 int h=0,t=1;
 for(i=1;i<=n;i++)
 {
  //DP斜率优化，维护下凸函数
  //f[j]+sum[j]-f[i]-sum[i]
  //-----------------------<x[i],i>j,证明i状态比j状态更好
  //    sump[j]-sump[i]
  //队首部分仅仅需从最优的状态開始即可，队尾部分要舍掉不单调递增的部分后再入队
  while(h<t&&getF(q[h+1],q[h])<x[i]*(sump[q[h+1]]-sump[q[h]])) h++; 
  f[i]=f[q[h]]+sum[q[h]]-x[i]*sump[q[h]]+x[i]*sump[i]-sum[i]+c[i];
  while(h<t&&getF(q[t],i)*(sump[q[t-1]]-sump[q[t]])<=getF(q[t-1],q[t])*(sump[q[t]]-sump[i])) t--; //队尾斜率比前面元素小的出队
  q[++t]=i; //新的入队
 }
 printf("%lld\n",f[n]);
 return 0;
}