平衡二叉树（常问问题）
平衡二叉树的定义(AVL)：这是一个空的树，或具有二进制以下性质：之差的绝对值不超过1，且它的左子树和右子树都是一颗平衡二叉树。
平衡因子(bf)：结点的左子树的深度减去右子树的深度，那么显然-1<=bf<=1;
非常显然，平衡二叉树是在二叉排序树(BST)上引入的。就是为了解决二叉排序树的不平衡性导致时间复杂度大大下降。那么AVL就保持住了(BST)的最好时间复杂度O(logn)。所以每次的插入和删除都要确保二叉树的平衡。那么怎么保持平衡呢？
我努力看了看数据结构上的解说。可是看的仅仅晕+_+！
我对他的解说非常无语。他所谓的“旋转”操作讲的不明不白，看的我气的蛋疼！你说你旋转。你得说清是怎样旋转？以那个结点为中心，那些或者说那个结点转了。那些结点不动。你就在哪里旋转来旋转去的，谁知道你是咋转的，你在哪慢慢转吧！哥转只是你，另找高明！于是在网上找啊找。仅仅为想搞明确是究竟怎么转的！点击打开链接让我对“旋转”有所领悟，表示感谢。
插入时：
那到底是怎样“转”的呢？
首先必须明确一个核心操作，不让它叫“旋转”！而叫——>“两个结点的变换”
如图：
就拿第一个来说->点100和101的变换：
点101占领点100的位置，点100换到了101的对面的位置。其它点的相对位置不变。
我们能够更直观的理解为：把101结点“上提”一下！
分析：101>100。所以100能够作为101的左孩子；
也就是在二叉排序树中，两个结点这种变换操作是可行的，是符合二叉排序树的性质。
不仅这个简单的图。不论什么复杂的二叉排序树都能够。你能够试试。或许你会说假设点101左边有孩子怎么办？别着急~，当然有办法！
下边正式说这个图的四种不平衡情况（插入时）及操作：
首先还须要明确一个概念->最小不平衡子树的根结点：也就是当你进行插入操作时。找到该须要插入结点的位置并插入后，从该结点起向上寻找（回溯）。第一个不平衡的结点即平衡因子bf变为-2或2。
为什么要引入这个最小不平衡根结点的概念，由于在插入时，对该子树进行保持平衡操作后，其他的结点的平衡因子不会变。也就是整棵树又恢复平衡了。
为什么呢？
你想想不平衡点的bf一定是-2或2吧，经过平衡操作后，他会把一边子树的一个结点分给还有一边的子树，也就是一边的深度分给还有一边，这样就平衡了。
比方。插入前：左边是深度1，右边深度是0；插入后左边深度是2，右边深度是0，经过平衡后左边深度是1。右边深度是1。
那么你说插入前和插入后该根结点所领导的子树的深度变没？？仍是1，显然没变！那么就仍保持了这棵树的平衡了。
以下即四种情况分别为：左左、右右、左右、右左，每种情况又有两个图：①、②，①是该情况的最简单的图形，②是该情况的一般的图形。
设x为最小不平衡子树的根结点。y为刚插入的点
左左：
即在x的左孩子a的左孩子c上插入一个结点y（该结点也能够是c,如图①），即y能够是c，也能够是c的左孩子（如图②）。也能够是c的右孩子（不在画出）
图①就不用说了，结点x和结点a变换，则树平衡了。那么图②就是树中的普通情况了a结点有右孩子d，那要进行x和a变换，那么a的右孩子放哪啊？
非常easy，如图放在x的左孩子上；分析：x>d,d>a,所以d可作为x的左孩子。且可作为a的右孩子中的孩子。下边这种类似情况不再一一分析，自己分析分析~
实现：找到根结点x，与它的左孩子a进行交换就可以使二叉树树再次平衡；
右右：
即在x的右孩子a的右孩子c上插入一个结点y（该结点也能够是c,如图①）。即y能够是c。也能够是c的右孩子（如图②），也能够是c的左孩子（不在画出）
实现：找到根结点x，与它的右孩子a进行交换就可以使二叉树树再次平衡；
左右：
即在x的左孩子a的右孩子c上插入一个结点y（该结点也能够是c,如图①），即y能够是c，也能够是c的右孩子（如图②），也能够是c的左孩子（不在画出）
这个左右和下边的右左，略微复杂了点。须要进行两次交换。才干达到平衡，注意这时y是c的右孩子。终于y作为x的左孩子。若y是c的左孩子。终于y作为a
的右孩子。绘图分析一下~~下边类似，不再敖述。
实现：找到根结点x，让x的左孩子a与x的左孩子a的右孩子c进行交换。然后再让x与x此时的左孩子c进行交换，终于达到平衡。
右左：
即在x的右孩子a的左孩子c上插入一个结点y（该结点也能够是c,如图①）。即y能够是c，也能够是c的右孩子（如图②），也能够是c的左孩子（不在画出）
实现：找到根结点x，让x的右孩子a与x的右孩子a的左孩子c进行交换，然后再让x与x此时的右孩子c进行交换。终于达到平衡；
上边的四种情况包括了全部插入时导致不平衡的情况，上面给出的不过一棵大树中的最小不平衡子树。一定要想清楚，别迷了！
另外一定要注意这个交换操作。比方a与b交换（a在上，b在下），b一定要占领a的位置！
什么意思？就是b要放在（覆盖）储存a的那块内存上。
再通俗点说。若a是x的左孩子，则交换后b要做x的左孩子；这就是所谓的b占领a的位置！
那么怎样找到最小不平衡子树的根结点x。并推断出它是属于那种情况的？
插入一个结点时，我们首先找到须要插入的位置，并插入；数据结构上用的是递归。不要说递归太浪费时空。你想想一个含2^31个结点的平衡二叉树的深度大约是31吧，它递归再多也不就是31层！并且递归代码短小、精悍、富含艺术之美！
所以我觉得对于这个平衡二叉树，用递归非常合适！
显然插入之后就要检查是否出现不平衡的结点。那么怎样检查？
我们知道，你插入的时候用的是递归，一条线找到要插的位置，并插入；那么谁的平衡因子的有可能变呢？
不难想象。仅仅有该条线上的结点的平衡因子有可能改变。那么我们在回溯的时候不就能够找到第一个不平衡的子树的结点？！
但是我们怎样推断该结点的平衡因子是否应该改变，显然要看它被插入结点的一边的深度是否添加；
怎样看它被插入结点的一边的深度是否添加？
如上图，怎样看x的右孩子a（即被插入结点的一边）的深度添加？我们知道在a的右孩子上插入了结点y那么a的bf是一定要减1
那么x结点的bf？可依据a的bf决定是否改变！
若a:bf=-1或1。那么a之前一定为0。表示a的深度添加了，那么x的bf可依据a是x哪一边的孩子决定+1或-1。
若a:bf=0。那么a之前一定为-1或1。表示a的深度每添加，那么不仅x的bf就不用变，该条线上的全部结点的bf都不用变。直接返回就可以；
当然了。那么找到最小不平衡子树的根结点x了，怎样推断它属于哪种不平衡呢？
①依据上边的几种情况，我们须要知道两个方向，在回溯时能够记录一下该结点到下一个结点的方向0：左、1：右为第二个方向。传递给上一层中。那么上层中的方向就是一个方向，有了这两个方向就能确定是哪种不平衡了。
还就上边的图说吧~能够定义一个全局变量secdirection（第二个方向）。也可在递归中定义一个局部变量，返回给上一层。
在回溯到a中时。secdirection=1。到x的时候
x->a的方向也为1，定义firdirection=1；而这时x:bf=-2。那么就找到了最小不平衡子树的根结点x，又知道了两个方向。那么进行对应的平衡操作不即可了。
②事实上我代码中的就是依照①写的，但是刚又想了。事实上不用用个变量记录第二个方向，能够依据a的bf确定它的第二个方向。a:bf=-1说明右孩子的深度添加，y加到右孩子上；
a:bf=1;说明左孩子的深度添加，y加到左孩子上；
好了。找到了最小不平衡子树的根结点x了，也知道了那种不平衡，调用keepbalance(...)就使树平衡了，但是某些结点的平衡因子在变换是变了~~咋办？
我就是一种一种情况推出来的，不知道别人怎么变的，每一种情况都有固定的几个点变了，变成了一个固定的值！
谁有更好的办法，请多多不吝赐教！
下边一一列出（插入操作中）变换后bf改变的结点及值：
左左：前a->bf=1 后 x->bf=0,a->bf=0；右右：前a->bf=-1 后x->bf=0,a->bf=0。显然左左与右右的x与a变换后的bf都为0；
左右、右左中结点bf的改变要依据之前c的bf！
左右：若c->bf=1,则x->bf=-1,a->bf=0,c->bf=0；若c->bf=-1,则x->bf=0,a->bf=1,c->bf=0。若c->bf=0,则x->bf=0,a->bf=0,c->bf=0；
右左：若c->bf=1,则x->bf=0,a->bf=-1,c->bf=0；若c->bf=-1,则x->bf=1,a->bf=0,c->bf=0。若c->bf=0,则x->bf=0,a->bf=0,c->bf=0；
能够发现。当左右、右左的c->bf同样时x与a的bf刚好取相反的值。
好了，到如今插入一个结点的二叉树最终平衡了，对应的平衡因子也改动了！插入算是完毕了。！
删除时：
删除类似插入的操作，蛋又不同，删除会有一些特殊情况须要特殊处理。当然核心操作“保持平衡”是不变的！
删除时少一个结点。也就是该结点所在的子树深度可能会减小，而插入时多一个结点，该结点所在的子树深度可能会添加，
所以递归删除一个结点时，回溯时找到最小不平衡子树的根结点时，要向相反的方向去找属于哪种情况；
如图：
y为要删除的结点；
图①：y结点删除后。回溯到x结点x:bf=-1变为x:bf=-2；则需从相反方向即从x的右孩子的方向向下检查属于哪种情况，显然第一个方向为1：右。
第二个方向看a:bf的值——若为1时，那就相当于插入时‘右左’的情况；若为-1时，那就相当于插入时‘左左’的情况；可如今a:bf既不是1也不是-1
而是0，这就是删除的特殊情况了！
我们最好还是试试对他进行类似于插入时的‘右右’操作，看怎么样~ 如上图，经过变换后该子树平衡了！
可是因子的
改动就跟插入时的‘右右’不一样了！此时变为：x:bf=-1,a:bf=1；所以我们最好还是就把a:bf=0也归纳为删除的‘右右’或‘左左’（如图②，不再敖述）操作。
那么删除时因子的改变需在插入时因子的改变中加入上：
左左：前a:bf=0 后x:bf=1,a:bf=-1。 右右：前a:bf=0 后x:bf=-1,a:bf=1；其它不变！
插入时结束结点平衡因子的改动，直接返回（也就是该树已经平衡了）：
回溯时发现儿子结点的平衡因子为0（当发现不平衡结点，并进行平衡操作后。平衡后根结点的bf一定为0。也结束了）
可是删除时结束结点平衡因子的改动。直接返回，就与插入时不一样了：回溯时发现儿子结点的平衡因子为-1或1！
再删除操作中。平衡一个子树后。该子树的深度不一定不变。而仅仅有上边那种特殊情况该子树的深度不变，其它都会变！
能够想象，事实上是非常easy的道理：除了特殊情况其它都与插入的情况一模一样，说白了就是把深度大的子树（根结点的当中一个）向深度小子树贡献的深度，
于是就这样，子树（对于树根的领导）深度不小于原始1该？！
所以继续搜索一个一个，直到根达！
