AC自动机
Aho-Corasick automation，该算法在1975年产生于贝尔实验室，是著名的多模匹配算法之一。一个常见的例子就是给出n个单词，再给出一段包含m个字符的文章，让你找出有多少个单词在文章里出现过。要搞懂AC自动机，先得有模式树（字典树）Trie和KMP模式匹配算法的基础知识。KMP算法是单模式串的字符匹配算法，AC自动机是多模式串的字符匹配算法。
要想学好AC自动机，首先你需要了解字典树和KMP
构造字典树
比如说串she，say，her，shr 构造后的图就是：
之所以最后的节点都是灰色的，是标记这个是一个完整的单词的结尾。void insert(char *s) { int len=strlen(s); int root=0; for(int i=0;i<len;i++) { int x=s[i]-'a'; if(!tree[root][x]) { tree[root][x]=pos; pos++; } root=tree[root][x]; } num[root]++;//记录单词的数量 }
构造fail指针
fail的作用：
- 在KMP算法中，当我们比较到一个字符发现失配的时候我们会通过next数组，找到下一个开始匹配的位置，然后进行字符串匹配，当然KMP算法试用与单模式匹配，所谓单模式匹配，就是给出一个模式串，给出一个文本串，然后看模式串在文本串中是否存在。
在AC自动机中，我们也有类似next数组的东西就是fail指针，当发现失配的字符失配的时候，跳转到fail指针指向的位置，然后再次进行匹配操作，AC自动机之所以能实现多模式匹配，就归功于Fail指针的建立。
fail指针的建立：
- 当前节点\(u\)有\(fail\)指针，其\(fail\)指针所指向的节点和\(u\)所代表的字符是相同的。因为\(u\)匹配成功后，我们需要去匹配\(u->child\)，发现失配，
那么就从\(u->fail\)这个节点开始再次去进行匹配\(u->fail->child\)。
fail指针的求法：
- \(Fail\)指针用BFS来求得，对于直接与根节点相连的节点来说，如果这些节点失配，他们的\(Fail\)指针直接指向\(root\)即可，其他节点其\(Fail\)指针求法如下：
假设当前节点为\(father\)，其孩子节点记为\(child\)。求\(child\)的\(Fail\)指针时，首先我们要找到其\(father\)的\(Fail\)指针所指向的节点,假如是\(u\)(father的fail)的话，我们就要看\(u\)的孩子中有没有和\(child\)节点所表示的字母相同的节点，如果有的话，这个节点（\(u->child\))就是\(child\)的\(fail\)指针，如果发现没有，则需要找\(father->fail->fail\)这个节点，然后重复上面过程，如果一直找都找不到，则\(child\)的\(Fail\)指针就要指向root。
如图eg3所示
首先\(root\)最初会进队，然后\(root\),出队，我们把\(root\)的孩子的失配指针都指向\(root\)。因此图中\(h,s\)的失配指针都指向\(root\),如红色线条所示，同时\(h,s\)进队。接下来该\(h\)出队，我们就找\(h\)的孩子的\(fail\)指针，首先我们发现\(h\)这个节点其\(fail\)指针指向\(root\),而\(root\)又没有字符为\(e\)的孩子，则\(e\)的\(fail\)指针是空的，如果为空，则也要指向\(root\),如图中蓝色线所示。并且\(e\)进队，此时\(s\)要出队，我们再找\(s\)的孩子\(a,h\)的\(fail\)指针，我们发现\(s\)的\(fail\)指针指向\(root\),而\(root\)没有字符为\(a\)的孩子，故\(a\)的\(fail\)指针指向\(root\)，\(a\)入队，然后找\(h\)的\(fail\)指针，同样的先看\(s\)的\(fail\)指针是\(root\)，发现\(root\)又字符为\(h\)的孩子，所以\(h\)的\(fail\)指针就指向了第二层的\(h\)节点。\(e,a , h\)的\(fail\)指针的指向如图蓝色线所示。
此时队列中有\(e,a,h\)，\(e\)先出队，找\(e\)的孩子\(r\)的失配指针\(fail\)，我们先看\(e\)的失配指针\(fail\)指向\(root\),\(root\)没有字符为\(r\)的孩子，则\(r\)的失配指针\(fail\)指向了\(root\),并且\(r\)进队，然后\(a\)出队，我们也是先看\(a\)的失配指针\(fail\)，发现也是指向\(root\),root也没有字符为\(y\)的孩子，则\(y\)的\(fail\)指针就会指向\(root\).并且\(y\)进队。然后\(h\)出队，考虑\(h\)的孩子\(e\),则我们看\(h\)的失配指针\(fail\)，指向第二层的\(h\)节点，看这个第二层的节点\(h\)发现有字符值为\(e\)的孩子节点，最后一行的节点\(e\)的失配指针就指向第三层的\(e\)。最后找\(r\)的指针，同样看第二层的\(h\)节点，其孩子节点不含有字符\(r\)，则会继续往前找\(h\)的失配指针找到了根\(root\)，根下面的孩子节点也不存在有字符\(r\)，则最后\(r\)就指向根节点，最后一行节点的\(fail\)指针如绿色虚线所示。
void getfail() { queue<int>qu; for(int i=0;i<26;i++) { if(tree[0][i])//初始化根节点的26个孩子 { fail[tree[0][i]]=0;//根节点的26个孩子的fail指向根节点0 qu.push(tree[0][i]);//将根节点的孩子压入队列 } } while(!qu.empty( )) { int root=qu.front( );//获得队列里面的一个节点序号root qu.pop( ); for(int i=0;i<26;i++)//遍历这个root节点的26个孩子 { if(tree[root][i])//说明存在root节点的第i个孩子 { fail[tree[root][i]]=tree[fail[root]][i];//root节点的第i个孩子的fail指针指向root->fail的第i个孩子 qu.push(tree[root][i]);//将root的第i个孩子压入队列 } else//root的第i个孩子不存在 { tree[root][i]=tree[fail[root]][i];//那root的第i个孩子节点序号就等于root->fail的第i个孩子的节点序号 } } } }假设当前节点为\(father\)，其孩子节点记为\(child\)。求\(child\)的\(Fail\)指针时，首先我们要找到其\(father\)的\(Fail\)指针所指向的节点,假如是\(u\)(father的fail)的话，我们就要看\(u\)的孩子(孩子存在）中有没有和\(child\)节点所表示的字母相同的节点，如果有的话，这个节点（\(u->child\))就是\(child\)的\(fail\)指针，如果发现没有，则需要找\(father->fail->fail\)这个节点，然后重复上面过程，如果一直找都找不到，则\(child\)的\(Fail\)指针就要指向root。
然而这个代码只是将(\(root->fail->child\))的节点序号赋给了\(child\)的\(fail\)，假如\(root->fail\)不存在这个\(child\)节点不是\(root->fail->fail\)吗?
错了吗？是不是存在疑问呢？答案是没错的。这样是对的。这个就要看
else这个语句了。它的涵义是假如\(root\)的第i个孩子不存在，那就将\(root->fail\)的第i个孩子的节点序号赋给\(root\)的第\(i\)个孩子,于是\(root\)的26个孩子不都有节点序号了吗，而且还继承的是\(root->fail\)的i个孩子的序号而root->fail的第i个孩子又是继承root->fail->fail.....。于是在下层遍历root->fail的第i个孩子是有序号的。(root层不存在的孩子节点都继承了root->fail层的孩子节点）while(!qu.empty( )) { int root=qu.front( ); qu.pop( ); for(int i=0;i<26;i++) { if(tree[root][i]) { fail[tree[root][i]]=tree[fail[root]][i]; qu.push(tree[root][i]); } else { tree[root][i]=tree[fail[root]][i]; } } }
文本串的匹配
匹配过程分两种情况：
(1)当前字符匹配，表示从当前节点沿着树边有一条路径可以到达目标字符，如果当前匹配的字符是一个单词的结尾，我们可以沿着当前字符的fail指针，一直遍历到根，如果这些节点末尾有标记（此处标记代表，节点是一个单词末尾的标记），这些节点全都是可以匹配上的节点。我们统计完毕后，并将那些节点标记。此时只需沿该路径走向下一个节点继续匹配即可，目标字符串指针移向下个字符继续匹配；
(2)当前字符不匹配，则去当前节点失败指针所指向的字符继续匹配，匹配过程随着指针指向root结束。重复这2个过程中的任意一个，直到模式串走到结尾为止。
对照上图，看一下模式匹配这个详细的流程，其中模式串为yasherhs。对于\(i=0,1\)。\(Trie\)中没有对应的路径，故不做任何操作；\(i=2,3,4\)时，指针\(j\)走到左下节点\(e\)。因为节点\(e\)的\(num\)信息为1，所以\(ans+1\)，并且将节点\(e\)的\(num\)值设置为-1，表示改单词已经出现过了，防止重复计数，最后\(j\)指向\(e\)节点的失配指针\(fail\)所指向的节点继续查找，以此类推，最后fail指向\(root\)，退出\(for\)循环，这个过程中\(num\)增加了2。表示找到了2个单词she和he。当i=5时，\(root\)代表的节点是\(e\)，\(r\)节点的\(num\)值为1，从而ans+1，循环直到\(fail\)指向\(root\)为止。最后\(i=6,7\)时，找不到任何匹配，匹配过程结束。int query(char *s) { int len=strlen(s); int ans=0; int root=0; for(int i=0;i<len;i++) { int x=s[i]-'a'; root=tree[root][x];//节点序号 for(int j=root;j&&num[j]!=-1;j=fail[j])//j代表的是节点序号 { ans+=num[j]; num[j]=-1; } } return ans; }
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=1e6+100;
int tree[M][26];
int num[M];
int fail[M];
int pos;
void init( )
{
pos=1;
memset(num,0,sizeof(num));
memset(fail,0,sizeof(fail));
memset(tree,0,sizeof(tree));
}
void insert(char *s)
{
int len=strlen(s);
int root=0;
for(int i=0;i<len;i++)
{
int x=s[i]-'a';
if(!tree[root][x])
{
tree[root][x]=pos;
pos++;
}
root=tree[root][x];
}
num[root]++;
}
void getfail()
{
queue<int>qu;
for(int i=0;i<26;i++)
{
if(tree[0][i])
{
fail[tree[0][i]]=0;
qu.push(tree[0][i]);
}
}
while(!qu.empty( ))
{
int root=qu.front( );
qu.pop( );
for(int i=0;i<26;i++)
{
if(tree[root][i])
{
fail[tree[root][i]]=tree[fail[root]][i];
qu.push(tree[root][i]);
}
else
{
tree[root][i]=tree[fail[root]][i];
}
}
}
}
int query(char *s)
{
int len=strlen(s);
int ans=0;
int root=0;
for(int i=0;i<len;i++)
{
int x=s[i]-'a';
root=tree[root][x];
for(int j=root;j&&num[j]!=-1;j=fail[j])
{
ans+=num[j];
num[j]=-1;
}
}
return ans;
}
int main( )
{
int t,n;
char s[1000010];
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
init( );
scanf("%d",&n);
getchar( );
while(n--)
{
scanf("%s",s);
insert(s);
}
fail[0]=0;
getfail( );
scanf("%s",s);
printf("%d\n",query(s));
}
return 0;
}
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