「密码学」—矩阵在模 P情况下的逆元

记：\(Z_m=\{0,1,2,...,m-1\}\)

定义：设\(A\)是定义在集合\(Z_m\)上的\(n\)阶方阵，若存在一个定义在\(Z_m\)上的方阵\(B\)，使得\(A*B=B*A=E(mod\ \ p)\)
则称\(A\)模\(p\)可逆，\(B\)为A的模\(p\)逆矩阵，记为
\(B=A^{-1}(mod\ \ p)\)

定义在集合\(Z_m\)上的\(n\)阶方阵\(A\)模\(p\)可逆的充要条件是：\(p\)和\(det(A)\)无公共素因子，即\(p\)与\(det(A)\)互素。\(gcd(p,det(A))==1\)

\(det(A)\)：矩阵\(A\)对应行列式的的值

\[A=\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{13} & a_{14} \\ \end{matrix} \right] \]

对应的行列式是

\[|A|=\left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{13} & a_{14} \\ \end{matrix} \right| \]

问题:
如何计算\(A^{-1}(mod\ \ 26)?\)
\(A^{-1}=\frac{1}{|A|*A^*}\ \ \ \ \ \ (A^*为A的伴随矩阵)\)

• 设\(B=kA^*\)为\(A\)在模\(26\)情况下的逆，其中\(k\)为待定系数
  \(BA=k*|A|*E\)
  \(BA=E(mod\ \ \ 26)<-->k*|A|=1(mod\ \ \ 26)<-->k=|A|^{-1}(mod\ \ \ 26)\)

习题：
在\(Z_{26}\)上，矩阵$$M=\left[\begin{matrix}4 & 5 \
5 & 19 \
\end{matrix}
\right] $$有模\(26\)的乘法逆元吗？如果有，找到它。

\(|M|=4*19-5*5=51\)
伴随矩阵：

\[M^*=\left[\begin{matrix}19 & -5 \\ -5 & 4 \\ \end{matrix} \right] \]

\(M^{-1}(mod\ \ \ 26)=(|M|^{-1}(mod\ \ \ 26)*M^*)(mod\ \ \ 26)<-->M^{-1}=25*M^*(mod\ \ \ 26)=\)

\[\left[\begin{matrix}19*25\%26 & -5*25\%26+26 \\ -5*25\%26+26 & 4*25\%26 \\ \end{matrix} \right] =\left[\begin{matrix}7 & 5\\ 5 & 22 \\ \end{matrix} \right]\]