糖果传递
from黄学长
题解
首先，最终每个小朋友的糖果数量可以计算出来，等于糖果总数除以n，用ave表示。
假设标号为i的小朋友开始有Ai颗糖果，Xi表示第i个小朋友给了第i-1个小朋友Xi颗糖果，如果Xi<0，说明第i-1个小朋友给了第i个小朋友Xi颗糖果，X1表示第一个小朋友给第n个小朋友的糖果数量。 所以最后的答案就是ans=|X1| + |X2| + |X3| + ……+ |Xn|。
对于第一个小朋友，他给了第n个小朋友X1颗糖果，还剩A1-X1颗糖果；但因为第2个小朋友给了他X2颗糖果，所以最后还剩A1-X1+X2颗糖果。根据题意，最后的糖果数量等于ave，即得到了一个方程：A1-X1+X2=ave。
同理，对于第2个小朋友，有A2-X2+X3=ave。最终，我们可以得到n个方程，一共有n个变量，但是因为从前n-1个方程可以推导出最后一个方程，所以实际上只有n-1个方程是有用的。
尽管无法直接解出答案，但可以用X1表示出其他的Xi，那么本题就变成了单变量的极值问题。
对于第1个小朋友，A1-X1+X2=ave -> X2=ave-A1+X1 = X1-C1(假设C1=A1-ave，下面类似）
对于第2个小朋友，A2-X2+X3=ave -> X3=ave-A2+X2=2ave-A1-A2+X1=X1-C2
对于第3个小朋友，A3-X3+X4=ave -> X4=ave-A3+X3=3ave-A1-A2-A3+X1=X1-C3
……
对于第n个小朋友，An-Xn+X1=ave。
我们希望Xi的绝对值之和尽量小，即|X1| + |X1-C1| + |X1-C2| + ……+ |X1-Cn-1|要尽量小。注意到|X1-Ci|的几何意义是数轴上的点X1到Ci的距离，所以问题变成了：给定数轴上的n个点，找出一个到他们的距离之和尽量小的点，而这个点就是这些数中的中位数，证明略。
证明就是 随着X1从很小增加，一些值+1，一些值-1，一开始-1的值多，后来+1的值多，所以取中间最小......
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<algorithm> 4 #include<cmath> 5 using namespace std; 6 typedef long long ll; 7 const int maxn=1e6+7; 8 ll n,arg,mid,ans; 9 ll a[maxn],tmp[maxn],sum[maxn]; 10 int main(){ 11 cin>>n; 12 for(ll i=1;i<=n;i++) {cin>>a[i];sum[i]=sum[i-1]+a[i];} 13 arg=sum[n]/n; 14 for(ll i=2;i<=n;i++){ 15 tmp[i]=sum[i-1]-(i-1)*arg; 16 } 17 sort(tmp+1,tmp+n+1); 18 if(n%2==0) mid=(tmp[n/2]+tmp[n/2+1])/2; 19 else mid=tmp[(n+1)/2]; 20 for(ll i=1;i<=n;i++){ 21 ans+=abs(mid-tmp[i]); 22 } 23 cout<<ans<<endl; 24 return 0; 25 }
