[算法] 查找相关算法

查找:查询某个关键字是否在（数据元素集合）表中的过程。也称作检索。

主关键字:能够惟一区分各个不同数据元素的关键字

次关键字:通常不能惟一区分各个不同数据元素的关键字

查找成功:在数据元素集合中找到了要查找的数据元素

查找不成功:在数据元素集合中没有找到要查找的数据元素

静态查找:只查找，不改变数据元素集合内的数据元素

动态查找:既查找，又改变（增减）集合内的数据元素

静态查找表:静态查找时构造的存储结构

动态查找表:动态查找时构造的存储结构

平均检索长度（ASL，Average Search Length）:检索过程中对关键码的平均比较次数，衡量检索算法优劣的时间标准。

·ASL是存储结构中对象总数n的函数
·Pi 为检索第 i 个元素的概率
·Ci 为找到第 i 个元素所需的关键码值与给定值的比较次数

查找分类：

·静态查找: 顺序查找 、二分法查找 、分块查找

1.顺序查找：

　　针对线性表里的所有记录，逐个进行关键码和给定值的比较。若某个记录的关键码和给定值比较相等，则检索成功；否则检索失败(找遍了仍找不到)。
存储：可以顺序、链接
排序要求：无
性能分析：

　　·ASL（平均查找长度）：假设查找成功的概率为p，查找失败的概率为q = (1 - p)，
　　　则平均查找长度为(n + 1)(1 - p / 2)。

　　·(n + 1) / 2 < ASL < (n + 1)
优缺点：
　　优点：插入元素可以直接加在表尾Θ(1)
　　缺点：查找时间太长Θ(n)

2.二分查找：

　　先给数据排序（例如按升序排好），形成有序表，然后再将key与正中元素相比，若key小，则缩小至前半部内查找；再取其中值比较，每次缩小1/2的范围，直到查找成功或失败为止。反之，如果key大，则缩小至后半部内查找。

下面是二分查找的代码：

int BinSearch(vector<int> s,int key) {
    int low = 0,high = s.size() - 1,middle;
    while(low <= high) {
        middle = low + (high - low) / 2;
        if(s[middle] == key) {
            return middle;
        }
        else if(s[middle] < key) {
            low = middle + 1;
        }
        else {
            high = middle - 1;
        }
    }
    return -1;
}

性能分析：
　　·最大检索长度：

　　·失败的检索长度：或

　　·ASL（平均检索长度）：约为(n > 50)

优缺点：
　　优点：平均检索长度与最大检索长度相近，检索速度快
　　缺点：要排序、顺序存储，不易更新(插/删)

 3.分块查找（顺序与二分法的折衷）

　　"按块有序"，设线性表中共有n个数据元素，将表分成b块，不需要均匀，每一块可能不满，每一块中的关键码不一定有序，但前一块中的最大关键码必须小于后一块中的最小关键码。
索引表：
　　存储各块中的最大关键码及各块起始位置，可能还需要块中元素个数（每一块可能不满）。由于表是分块有序的，所以索引表是一个递增有序表。
分块查找分两个阶段：
（1）确定待查元素所在的块 （2）在块内查找待查的元素
性能分析：
分块查找为两级查找：
·先在索引表中确定待查元素所在的块；设在索引表中确定块号的时间开销是ASLb
·然后在块内查找待查的元素。 在块中查找记录的时间开销为ASLw
ASL(n) = ASLb + ASLw

　　假设索引表的长度为b，主表中每个子表的长度为s，并假设在索引表上和在主表上均采取顺序查找算法，则索引顺序表上查找算法的平均查找长度为：
ASL = (b + 1) / 2 + (s + 1) / 2 = (b + s) / 2 + 1

　　若采用二分法查找确定记录所在的子表，则查找成功时的平均检索长度为
ASL = ASLb + ASLw，约为 log2(b + 1) - 1 + (s + 1) / 2

当s = n^(1/2)时，ASL取得最小值 n^(1/2) + 1

优缺点：
　　优点：(1)插入、删除相对较易； (2)没有大量记录移动
　　缺点：(1)增加一个辅助数组的存储空间； (2)初始线性表分块排序，当大量插入/删除时，或结点分布不均匀时，速度下降

·动态查找

·散列查找

　　查找某一条记录需要进行一系列的"比较"。查找的效率依赖于比较的次数。能否在记录的关键字和存储地址之间构造这样一种关系 f ，使得关键字和存储地址一一对应 ？此对应关系 f 称为散列函数。

几个重要概念:
　　·负载因子：α=n/m（散列表的空间大小为m，填入表中的结点数为n）
　　·冲突：某个散列函数对于不相等的关键码计算出了相同的散列地址，在实际应用中，不产生冲突的散列函数极少存在。
　　·同义词：发生冲突的两个关键码
　　·散列函数：把关键码值映射到存储位置的函数，通常用 h 来表示：Address ＝ Hash ( key )

构造散列函数时的几点要求：
　　（1）散列函数的定义域必须包括需要存储的全部关键码，如果散列表允许有 m 个地址时，其值域必须在 0 到 m-1 之间。
　　（2）散列函数计算出来的地址应能均匀分布在整个地址空间中：若 key 是从关键码集合中随机抽取的一个关键码，散列函数应能以同等概率取 0 到 m-1 中的每一个值。
　　（3）散列函数应是简单的，能在较短的时间内计算出结果。

常用散列函数选取方法：

1. 除余法

　　H(key) = key % p 或 H(key) = key % p + c 这里 p < m；余数总在 0 ～ p-1 之间。

　　示例：有一个关键码 key = 962148，散列表大小 m = 25，即 HT[25]。取质数 p= 23。散列函数 hash ( key ) = key % p。则散列地址为 hash ( 962148 ) = 962148 % 23 = 12。可以按计算出的地址存放记录。需要注意的是，使用上面的散列函数计算出来的地址范围是 0到 22，因此，从23到24这几个散列地址实际上在一开始是不可能用散列函数计算出来的，只可能在处理冲突时达到这些地址。

选取 p 为质数的理由：
　　设 key 值都为奇数，选 p 为偶数；则 H(key) = key % p ，结果为奇数，一半单元被浪费掉。
　　设 key 值都为 5 的倍数，选 p 为 95；则 H(key) = key % p ，结果为： 0、5、10、15、…… 90 。4/5 的单元被浪费掉。

2. 折叠法

　　将关键字从左到右分割成位数相等的几部分，最后一部分位数不够时可以短些，然后将这几部分叠加求和，并按散列表表长，取后几位作为散列地址。比如关键字是9876543210，散列表表长是3位，将其分为四组，然后叠加求和：987 + 654 + 321 + 0 = 1962，取后3位962作为散列地址。
　　折叠法事先不需要知道关键字的分布，适合关键字位数较多的情况。

3. 平方取中法

　　e.g: (4731)^2 ＝ 223 82 361 ；选取 82 （在 m ＝100 情况下）。
　　此方法在词典处理中使用十分广泛。它先计算构成关键码的标识符的内码的平方，然后按照散列表的大小取中间的若干位作为散列地址。
　　设标识符可以用一个计算机字长的内码表示。因为内码平方数的中间几位一般是由标识符所有字符决定，所以对不同的标识符计算出的散列地址大多不相同，即使其中有些字符相同。

4. 基数转换法

　　将关键字k转换为另外一种数字基数，再对表的大小取模。如：k=(345)10 地址为(423)9 % 表的大小

5. 直接定址法　

　　H(key) = key 或 H(key) = a ×key ＋ b 如：k1, k2 分别有值 10 、1000；选10 、1000 作为存放地址。

　　以上介绍了几种常用的散列函数。在实际工作中应根据关键码的特点，选用适当的方法。有人曾用“轮盘赌”的统计分析方法对它们进行了模拟分析，结论是平方取中法最接近于“随机化”。

哈希冲突：

　　对于不同的关键字可能得到同一哈希地址，即 key1≠ key2 ，而 f(key1) ＝ f(key2) ，这种现象称为哈希冲突。

哈希冲突解决方法

1、开放定址法
　　用开放定址法解决冲突的做法是：当冲突发生时，使用某种探查(亦称探测)技术在散列表中形成一个探查(测)序列。沿此序列逐个单元地查找，直到找到给定的关键字，或者碰到一个开放的地址(即该地址单元为空)为止（若要插入，在探查到开放的地址，则可将待插入的新结点存人该地址单元）。查找时探查到开放的地址则表明表中无待查的关键字，即查找失败。

注意：
　　①用开放定址法建立散列表时，建表前须将表中所有单元(更严格地说，是指单元中存储的关键字)置空。
　　②空单元的表示与具体的应用相关。
按照形成探查序列的方法不同，可将开放定址法区分为线性探查法、线性补偿探测法、随机探测等。

（1）线性探查法(Linear Probing)

该方法的基本思想是：
    将散列表T[0..m-1]看成是一个循环向量，若初始探查的地址为d(即h(key)=d)，则最长的探查序列为：
      　　d，d+l，d+2，…，m-1，0，1，…，d-1
    即:探查时从地址d开始，首先探查T[d]，然后依次探查T[d+1]，…，直到T[m-1]，此后又循环到T[0]，T[1]，…，直到探查到T[d-1]为止。
探查过程终止于三种情况：

　　(1)若当前探查的单元为空，则表示查找失败（若是插入则将key写入其中）；
　　(2)若当前探查的单元中含有key，则查找成功，但对于插入意味着失败；
　　(3)若探查到T[d-1]时仍未发现空单元也未找到key，则无论是查找还是插入均意味着失败(此时表满)。

利用开放地址法的一般形式，线性探查法的探查序列为：
        h_i=(h(key)+i)％m 0≤i≤m-1 //即d_i=i

用线性探测法处理冲突，思路清晰，算法简单，但存在下列缺点：

　　① 处理溢出需另编程序。一般可另外设立一个溢出表，专门用来存放上述哈希表中放不下的记录。此溢出表最简单的结构是顺序表，查找方法可用顺序查找。
　　② 按上述算法建立起来的哈希表，删除工作非常困难。假如要从哈希表 HT 中删除一个记录，按理应将这个记录所在位置置为空，但我们不能这样做，而只能标上已被删除的标记，否则，将会影响以后的查找。
　　③ 线性探测法很容易产生堆聚现象。所谓堆聚现象，就是存入哈希表的记录在表中连成一片。按照线性探测法处理冲突，如果生成哈希地址的连续序列愈长 ( 即不同关键字值的哈希地址相邻在一起愈长 ) ，则当新的记录加入该表时，与这个序列发生冲突的可能性愈大。因此，哈希地址的较长连续序列比较短连续序列生长得快，这就意味着，一旦出现堆聚 ( 伴随着冲突 ) ，就将引起进一步的堆聚。

（2）线性补偿探测法 

线性补偿探测法的基本思想是：
　　将线性探测的步长从 1 改为 Q ，即将上述算法中的 j ＝ (j ＋ 1) % m 改为： j ＝ (j ＋ Q) % m ，而且要求 Q 与 m 是互质的，以便能探测到哈希表中的所有单元。

　　【例】 PDP-11 小型计算机中的汇编程序所用的符合表，就采用此方法来解决冲突，所用表长 m ＝ 1321 ，选用 Q ＝ 25 。

（3）随机探测 

随机探测的基本思想是：
　　将线性探测的步长从常数改为随机数，即令： j ＝ (j ＋ RN) % m ，其中 RN 是一个随机数。在实际程序中应预先用随机数发生器产生一个随机序列，将此序列作为依次探测的步长。

　　这样就能使不同的关键字具有不同的探测次序，从而可以避 免或减少堆聚。基于与线性探测法相同的理由，在线性补偿探测法和随机探测法中，删除一个记录后也要打上删除标记。

2、拉链法

　　拉链法解决冲突的做法是：将所有关键字为同义词的结点链接在同一个单链表中。若选定的散列表长度为m，则可将散列表定义为一个由m个头指针组成的指针数 组T[0..m-1]。凡是散列地址为i的结点，均插入到以T[i]为头指针的单链表中。T中各分量的初值均应为空指针。在拉链法中，负载因子α可以大于 1，但一般均取α≤1。

　　【例】设有 m ＝ 5 ， H(K) ＝ K mod 5 ，关键字值序例 5 ， 21 ， 17 ， 9 ， 15 ， 36 ， 41 ， 24 ，按外链地址法所建立的哈希表如下图所

          
与开放定址法相比，拉链法有如下几个优点：

　　①拉链法处理冲突简单，且无堆积现象，即非同义词决不会发生冲突，因此平均查找长度较短；
　　②由于拉链法中各链表上的结点空间是动态申请的，故它更适合于造表前无法确定表长的情况；
　　③开放定址法为减少冲突，要求负载因子α较小，故当结点规模较大时会浪费很多空间。而拉链法中可取α≥1，且结点较大时，拉链法中增加的指针域可忽略不计，因此节省空间；
　　④在用拉链法构造的散列表中，删除结点的操作易于实现。只要简单地删去链表上相应的结点即可。而对开放地址法构造的散列表，删除结点不能简单地将被删结 点的空间置为空，否则将截断在它之后填人散列表的同义词结点的查找路径。这是因为各种开放地址法中，空地址单元(即开放地址)都是查找失败的条件。因此在 用开放地址法处理冲突的散列表上执行删除操作，只能在被删结点上做删除标记，而不能真正删除结点。

　　拉链法的缺点是：指针需要额外的空间，故当结点规模较小时，开放定址法较为节省空间，而若将节省的指针空间用来扩大散列表的规模，可使装填因子变小，这又减少了开放定址法中的冲突，从而提高平均查找速度。