机器学习：Python实现聚类算法(二)之AP算法
1.算法简介
AP(Affinity Propagation)通常被翻译为近邻传播算法或者亲和力传播算法，是在2007年的Science杂志上提出的一种新的聚类算法。AP算法的基本思想是将全部数据点都当作潜在的聚类中心(称之为exemplar)，然后数据点两两之间连线构成一个网络(相似度矩阵)，再通过网络中各条边的消息(responsibility和availability)传递计算出各样本的聚类中心。
2.相关概念(假如有数据点i和数据点j)
（图1） （图2） （图3）
1）相似度： 点j作为点i的聚类中心的能力，记为S(i,j)。一般使用负的欧式距离，所以S(i,j)越大，表示两个点距离越近，相似度也就越高。使用负的欧式距离，相似度是对称的，如果采用其他算法，相似度可能就不是对称的。
2）相似度矩阵：N个点之间两两计算相似度，这些相似度就组成了相似度矩阵。如图1所示的黄色区域，就是一个5*5的相似度矩阵(N=5)
3) preference：指点i作为聚类中心的参考度(不能为0)，取值为S对角线的值(图1红色标注部分)，此值越大，最为聚类中心的可能性就越大。但是对角线的值为0，所以需要重新设置对角线的值，既可以根据实际情况设置不同的值，也可以设置成同一值。一般设置为S相似度值的中值。(有的说设置成S的最小值产生的聚类最少，但是在下面的算法中设置成中值产生的聚类是最少的)
4）Responsibility(吸引度):指点k适合作为数据点i的聚类中心的程度，记为r(i,k)。如图2红色箭头所示，表示点i给点k发送信息，是一个点i选点k的过程。
5）Availability(归属度):指点i选择点k作为其聚类中心的适合程度，记为a(i,k)。如图3红色箭头所示，表示点k给点i发送信息，是一个点k选diani的过程。
6）exemplar：指的是聚类中心。
7）r (i, k)加a (i, k)越大,则k点作为聚类中心的可能性就越大,并且i点隶属于以k点为聚类中心的聚类的可能性也越大
3.数学公式
1）吸引度迭代公式:
（公式一）
说明1：Rt+1(i,k)表示新的R(i,k)，Rt(i,k)表示旧的R(i,k)，也许这样说更容易理解。其中λ是阻尼系数，取值[0.5,1)，用于算法的收敛
说明2：网上还有另外一种数学公式：
（公式二）
sklearn官网的公式是：
（公式三）
我试了这两种公式之后，发现还是公式一的聚类效果最好。同样的数据都采取S的中值作为参考度，我自己写的算法聚类中心是5个，sklearn提供的算法聚类中心是十三个，但是如果把参考度设置为p=-50，则我自己写的算法聚类中心很多，sklearn提供的聚类算法产生标准的3个聚类中心(因为数据是围绕三个中心点产生的)，目前还不清楚这个p=-50是怎么得到的。
2）归属度迭代公式
说明：At+1(i,k)表示新的A(i,k)，At(i,k)表示旧的A(i,k)。其中λ是阻尼系数，取值[0.5,1)，用于算法的收敛
4.详细的算法流程
1）设置实验数据。使用sklearn包中提供的函数，随机生成以[1, 1], [-1, -1], [1, -1]三个点为中心的150个数据。
def init_sample(): ## 生成的测试数据的中心点 centers = [[1, 1], [-1, -1], [1, -1]] ##生成数据 Xn, labels_true = make_blobs(n_samples=150, centers=centers, cluster_std=0.5, random_state=0) #3数据的长度，即：数据点的个数 dataLen = len(Xn) return Xn,dataLen
2）计算相似度矩阵，并且设置参考度，这里使用相似度矩阵的中值
def cal_simi(Xn): ##这个数据集的相似度矩阵，最终是二维数组 simi = [] for m in Xn: ##每个数字与所有数字的相似度列表，即矩阵中的一行 temp = [] for n in Xn: ##采用负的欧式距离计算相似度 s =-np.sqrt((m[0]-n[0])**2 + (m[1]-n[1])**2) temp.append(s) simi.append(temp) ##设置参考度，即对角线的值，一般为最小值或者中值 #p = np.min(simi) ##11个中心 #p = np.max(simi) ##14个中心 p = np.median(simi) ##5个中心 for i in range(dataLen): simi[i][i] = p return simi
3）计算吸引度矩阵，即R值。
如果有细心的同学会发现，在上述求R和求A的公式中，求R需要A，求A需要R，所以R或者A不是一开始就可以求解出的，需要先初始化，然后再更新。(我开始就陷入了这个误区，总觉得公式有问题，囧)
##初始化R矩阵、A矩阵 def init_R(dataLen): R = [[0]*dataLen for j in range(dataLen)] return R def init_A(dataLen): A = [[0]*dataLen for j in range(dataLen)] return A ##迭代更新R矩阵 def iter_update_R(dataLen,R,A,simi): old_r = 0 ##更新前的某个r值 lam = 0.5 ##阻尼系数,用于算法收敛 ##此循环更新R矩阵 for i in range(dataLen): for k in range(dataLen): old_r = R[i][k] if i != k: max1 = A[i][0] + R[i][0] ##注意初始值的设置 for j in range(dataLen): if j != k: if A[i][j] + R[i][j] > max1 : max1 = A[i][j] + R[i][j] ##更新后的R[i][k]值 R[i][k] = simi[i][k] - max1 ##带入阻尼系数重新更新 R[i][k] = (1-lam)*R[i][k] +lam*old_r else: max2 = simi[i][0] ##注意初始值的设置 for j in range(dataLen): if j != k: if simi[i][j] > max2: max2 = simi[i][j] ##更新后的R[i][k]值 R[i][k] = simi[i][k] - max2 ##带入阻尼系数重新更新 R[i][k] = (1-lam)*R[i][k] +lam*old_r print("max_r:"+str(np.max(R))) #print(np.min(R)) return R
4）计算归属度矩阵，即A值
##迭代更新A矩阵 def iter_update_A(dataLen,R,A): old_a = 0 ##更新前的某个a值 lam = 0.5 ##阻尼系数,用于算法收敛 ##此循环更新A矩阵 for i in range(dataLen): for k in range(dataLen): old_a = A[i][k] if i ==k : max3 = R[0][k] ##注意初始值的设置 for j in range(dataLen): if j != k: if R[j][k] > 0: max3 += R[j][k] else : max3 += 0 A[i][k] = max3 ##带入阻尼系数更新A值 A[i][k] = (1-lam)*A[i][k] +lam*old_a else : max4 = R[0][k] ##注意初始值的设置 for j in range(dataLen): ##上图公式中的i!=k 的求和部分 if j != k and j != i: if R[j][k] > 0: max4 += R[j][k] else : max4 += 0 ##上图公式中的min部分 if R[k][k] + max4 > 0: A[i][k] = 0 else : A[i][k] = R[k][k] + max4 ##带入阻尼系数更新A值 A[i][k] = (1-lam)*A[i][k] +lam*old_a print("max_a:"+str(np.max(A))) #print(np.min(A)) return A
5）迭代更新R值和A值。终止条件是聚类中心在一定程度上不再更新或者达到最大迭代次数
##计算聚类中心 def cal_cls_center(dataLen,simi,R,A): ##进行聚类，不断迭代直到预设的迭代次数或者判断comp_cnt次后聚类中心不再变化 max_iter = 100 ##最大迭代次数 curr_iter = 0 ##当前迭代次数 max_comp = 30 ##最大比较次数 curr_comp = 0 ##当前比较次数 class_cen = [] ##聚类中心列表，存储的是数据点在Xn中的索引 while True: ##计算R矩阵 R = iter_update_R(dataLen,R,A,simi) ##计算A矩阵 A = iter_update_A(dataLen,R,A) ##开始计算聚类中心 for k in range(dataLen): if R[k][k] +A[k][k] > 0: if k not in class_cen: class_cen.append(k) else: curr_comp += 1 curr_iter += 1 print(curr_iter) if curr_iter >= max_iter or curr_comp > max_comp : break return class_cen
6）根据求出的聚类中心，对数据进行分类
这个步骤产生的是一个归类列表，列表中的每个数字对应着样本数据中对应位置的数据的分类
##根据聚类中心划分数据 c_list = [] for m in Xn: temp = [] for j in class_cen: n = Xn[j] d = -np.sqrt((m[0]-n[0])**2 + (m[1]-n[1])**2) temp.append(d) ##按照是第几个数字作为聚类中心进行分类标识 c = class_cen[temp.index(np.max(temp))] c_list.append(c)
7）完整代码及效果图
from sklearn.datasets.samples_generator import make_blobs import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt ''' 第一步：生成测试数据 1.生成实际中心为centers的测试样本300个， 2.Xn是包含150个(x,y)点的二维数组 3.labels_true为其对应的真是类别标签 ''' def init_sample(): ## 生成的测试数据的中心点 centers = [[1, 1], [-1, -1], [1, -1]] ##生成数据 Xn, labels_true = make_blobs(n_samples=150, centers=centers, cluster_std=0.5, random_state=0) #3数据的长度，即：数据点的个数 dataLen = len(Xn) return Xn,dataLen ''' 第二步：计算相似度矩阵 ''' def cal_simi(Xn): ##这个数据集的相似度矩阵，最终是二维数组 simi = [] for m in Xn: ##每个数字与所有数字的相似度列表，即矩阵中的一行 temp = [] for n in Xn: ##采用负的欧式距离计算相似度 s =-np.sqrt((m[0]-n[0])**2 + (m[1]-n[1])**2) temp.append(s) simi.append(temp) ##设置参考度，即对角线的值，一般为最小值或者中值 #p = np.min(simi) ##11个中心 #p = np.max(simi) ##14个中心 p = np.median(simi) ##5个中心 for i in range(dataLen): simi[i][i] = p return simi ''' 第三步：计算吸引度矩阵，即R 公式1：r(n+1) =s(n)-(s(n)+a(n))-->简化写法，具体参见上图公式 公式2：r(n+1)=(1-λ)*r(n+1)+λ*r(n) ''' ##初始化R矩阵、A矩阵 def init_R(dataLen): R = [[0]*dataLen for j in range(dataLen)] return R def init_A(dataLen): A = [[0]*dataLen for j in range(dataLen)] return A ##迭代更新R矩阵 def iter_update_R(dataLen,R,A,simi): old_r = 0 ##更新前的某个r值 lam = 0.5 ##阻尼系数,用于算法收敛 ##此循环更新R矩阵 for i in range(dataLen): for k in range(dataLen): old_r = R[i][k] if i != k: max1 = A[i][0] + R[i][0] ##注意初始值的设置 for j in range(dataLen): if j != k: if A[i][j] + R[i][j] > max1 : max1 = A[i][j] + R[i][j] ##更新后的R[i][k]值 R[i][k] = simi[i][k] - max1 ##带入阻尼系数重新更新 R[i][k] = (1-lam)*R[i][k] +lam*old_r else: max2 = simi[i][0] ##注意初始值的设置 for j in range(dataLen): if j != k: if simi[i][j] > max2: max2 = simi[i][j] ##更新后的R[i][k]值 R[i][k] = simi[i][k] - max2 ##带入阻尼系数重新更新 R[i][k] = (1-lam)*R[i][k] +lam*old_r print("max_r:"+str(np.max(R))) #print(np.min(R)) return R ''' 第四步：计算归属度矩阵，即A ''' ##迭代更新A矩阵 def iter_update_A(dataLen,R,A): old_a = 0 ##更新前的某个a值 lam = 0.5 ##阻尼系数,用于算法收敛 ##此循环更新A矩阵 for i in range(dataLen): for k in range(dataLen): old_a = A[i][k] if i ==k : max3 = R[0][k] ##注意初始值的设置 for j in range(dataLen): if j != k: if R[j][k] > 0: max3 += R[j][k] else : max3 += 0 A[i][k] = max3 ##带入阻尼系数更新A值 A[i][k] = (1-lam)*A[i][k] +lam*old_a else : max4 = R[0][k] ##注意初始值的设置 for j in range(dataLen): ##上图公式中的i!=k 的求和部分 if j != k and j != i: if R[j][k] > 0: max4 += R[j][k] else : max4 += 0 ##上图公式中的min部分 if R[k][k] + max4 > 0: A[i][k] = 0 else : A[i][k] = R[k][k] + max4 ##带入阻尼系数更新A值 A[i][k] = (1-lam)*A[i][k] +lam*old_a print("max_a:"+str(np.max(A))) #print(np.min(A)) return A ''' 第5步：计算聚类中心 ''' ##计算聚类中心 def cal_cls_center(dataLen,simi,R,A): ##进行聚类，不断迭代直到预设的迭代次数或者判断comp_cnt次后聚类中心不再变化 max_iter = 100 ##最大迭代次数 curr_iter = 0 ##当前迭代次数 max_comp = 30 ##最大比较次数 curr_comp = 0 ##当前比较次数 class_cen = [] ##聚类中心列表，存储的是数据点在Xn中的索引 while True: ##计算R矩阵 R = iter_update_R(dataLen,R,A,simi) ##计算A矩阵 A = iter_update_A(dataLen,R,A) ##开始计算聚类中心 for k in range(dataLen): if R[k][k] +A[k][k] > 0: if k not in class_cen: class_cen.append(k) else: curr_comp += 1 curr_iter += 1 print(curr_iter) if curr_iter >= max_iter or curr_comp > max_comp : break return class_cen if __name__=='__main__': ##初始化数据 Xn,dataLen = init_sample() ##初始化R、A矩阵 R = init_R(dataLen) A = init_A(dataLen) ##计算相似度 simi = cal_simi(Xn) ##输出聚类中心 class_cen = cal_cls_center(dataLen,simi,R,A) #for i in class_cen: # print(str(i)+":"+str(Xn[i])) #print(class_cen) ##根据聚类中心划分数据 c_list = [] for m in Xn: temp = [] for j in class_cen: n = Xn[j] d = -np.sqrt((m[0]-n[0])**2 + (m[1]-n[1])**2) temp.append(d) ##按照是第几个数字作为聚类中心进行分类标识 c = class_cen[temp.index(np.max(temp))] c_list.append(c) ##画图 colors = ['red','blue','black','green','yellow'] plt.figure(figsize=(8,6)) plt.xlim([-3,3]) plt.ylim([-3,3]) for i in range(dataLen): d1 = Xn[i] d2 = Xn[c_list[i]] c = class_cen.index(c_list[i]) plt.plot([d2[0],d1[0]],[d2[1],d1[1]],color=colors[c],linewidth=1) #if i == c_list[i] : # plt.scatter(d1[0],d1[1],color=colors[c],linewidth=3) #else : # plt.scatter(d1[0],d1[1],color=colors[c],linewidth=1) plt.show()
迭代11次出结果：
补充说明：这个算法重点在讲解实现过程，执行效率不是特别高，有优化的空间。以后我会补充进来
5.sklearn包中的AP算法
1）函数：sklearn.cluster.AffinityPropagation
2）主要参数：
damping : 阻尼系数，取值[0.5,1)
convergence_iter ：比较多少次聚类中心不变之后停止迭代，默认15
max_iter ：最大迭代次数
preference :参考度
3）主要属性
cluster_centers_indices_ : 存放聚类中心的数组
labels_ :存放每个点的分类的数组
n_iter_ : 迭代次数
4）示例
preference(即p值)取不同值时的聚类中心的数目在代码中注明了。
from sklearn.cluster import AffinityPropagation from sklearn import metrics from sklearn.datasets.samples_generator import make_blobs import numpy as np ## 生成的测试数据的中心点 centers = [[1, 1], [-1, -1], [1, -1]] ##生成数据 Xn, labels_true = make_blobs(n_samples=150, centers=centers, cluster_std=0.5, random_state=0) simi = [] for m in Xn: ##每个数字与所有数字的相似度列表，即矩阵中的一行 temp = [] for n in Xn: ##采用负的欧式距离计算相似度 s =-np.sqrt((m[0]-n[0])**2 + (m[1]-n[1])**2) temp.append(s) simi.append(temp) p=-50 ##3个中心 #p = np.min(simi) ##9个中心， #p = np.median(simi) ##13个中心 ap = AffinityPropagation(damping=0.5,max_iter=500,convergence_iter=30, preference=p).fit(Xn) cluster_centers_indices = ap.cluster_centers_indices_ for idx in cluster_centers_indices: print(Xn[idx])
6.AP算法的优点
1） 不需要制定最终聚类族的个数
2） 已有的数据点作为最终的聚类中心，而不是新生成一个族中心。
3）模型对数据的初始值不敏感。
4）对初始相似度矩阵数据的对称性没有要求。
5）.相比与k-centers聚类方法，其结果的平方差误差较小。
7.AP算法的不足
1）AP算法需要事先计算每对数据对象之间的相似度，如果数据对象太多的话，内存放不下，若存在数据库，频繁访问数据库也需要时间。
2）AP算法的时间复杂度较高，一次迭代大概O(N3)
3）聚类的好坏受到参考度和阻尼系数的影响。
