三角函数的图像

已知函数 \(f(x)=2\sin(\omega x+\varphi),(\omega>0,0<\varphi<\pi),f\Big(\dfrac{\pi}{8}\Big)=\sqrt2,f\Big(\dfrac{\pi}{2}\Big)=0\) ，且 \(f(x)\) 在 \((0,\pi)\) 上单调，下列说法正确的是 \((\qquad)\)

A. \(\omega=\dfrac12\)

B. \(f\Big(-\dfrac{\pi}{8}\Big)=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{2}\)

C. 函数 \(f(x)\) 在 \(\Big[-\pi,-\dfrac{\pi}{2}\Big]\) 上单调递增

D. 函数 \(f(x)\) 的图像关于点 \(\Big(\dfrac{3\pi}{4},0\Big)\) 对称

解析：

结合题目条件，画出唯一符合题意得图像如下

由图可得

\[\dfrac{T}{8}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}8=\dfrac{3\pi}{8} \]

所以

\[T=3\pi,\omega=\dfrac23 \]

所以

\[f(x)=2\sin\Big(\dfrac23x+\dfrac{2\pi}{3}\Big) \]

易知选项 \(A\) 错误；而 \(f\Big(-\dfrac{\pi}{8}\Big)=2\sin\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{2}\) ，故选项 \(B\) 错误；求得 \(f(x)\) 的单调递增区间为 \(\Big[-\dfrac{7\pi}{4}+3k\pi,-\dfrac{\pi}{4}+3k\pi\Big],k\in{\rm Z}\) ，当 \(k=0\) 时，\(\Big[-\pi,-\dfrac{\pi}{2}\Big]\subseteq\Big[-\dfrac{7\pi}4,-\dfrac{\pi}{4}\Big]\) ，故选项 \(C\) 正确；求得 \(f(x)\) 的对称中心为 \(\Big(-\pi+\dfrac32k\pi,0\Big)\) ，故选项 \(D\) 错误。

答案：\(C\) .