概率中的递推模型

2020年暑假期间，湖南某新开发区的景区在各大媒体循环播放广告，观众甲首次看到该景区的广告后，不来此景区的概率为 \(\dfrac{6}{13}\) ，从第二次看广告起，若前一次不来此景区，则这次来此景区的概率是 \(\dfrac23\) ，若前一次来此景区，则这次来此景区的概率 \(\dfrac45\) . 记观众甲第 \(n\) 次看到广告后不来此景区的概率为 \(P_n\) ，若当 \(n\geqslant2\) 时，\(P_n\leqslant M\) 恒成立，则 \(M\) 的最小值为 \((\qquad)\)

A. \(\dfrac{17}{65}\)

B. \(\dfrac{6}{13}\)

C. \(\dfrac{3}{13}\)

D. \(\dfrac2{15}\)

解析：

依题意有

\[P_n=\dfrac{1}{3}P_{n-1}+\dfrac15(1-P_{n-1}) \]

变形得

\[P_n-\dfrac3{13}=\dfrac2{15}(P_{n-1}-\dfrac3{13}) \]

所以 \(\{P_n-\dfrac3{13}\}\) 是以 \(\dfrac3{13}\) 为首项，\(\dfrac2{15}\) 为公比的等比数列，则

\[P_n-\dfrac3{13}=\dfrac3{13}\cdot\Big(\dfrac2{15}\Big)^{n-1}\;\Longrightarrow\;P_n=\dfrac3{13}\cdot\Big(\dfrac2{15}\Big)^{n-1}+\dfrac{3}{13} \]

易知 \(P_n\) 单调递减，故当 \(n\geqslant2\) 时， \((P_n)_{\max}=P_2=\dfrac{17}{65}\) ，所以 \(M\geqslant\dfrac{17}{65}\) ，答案选 A。