基本不等式中的换元策略

题目：若 \(x>0,y>0\) 且满足 \(x+y=xy\) ，则 \(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{y-1}\) 的最小值为 \(\underline{\qquad\qquad}\) .

方法一：

由 \(x+y=xy\) 得 \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1\) ，所以

\[\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{y-1}=\dfrac{x+y-2}{(x-1)(y-1)}=x+y-2=(x+y)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})-2=\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}\geqslant 2 \]

当且仅当 \(x=y=2\) 时，等号成立。

方法二：

令 \(\dfrac1x=\sin^2\theta,\dfrac1y=\cos^2\theta\) ，则

\[\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{y-1}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{\sin^2\theta}-1}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{\cos^2\theta}-1}=\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}+\dfrac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}\geqslant2 \]

当且仅当 \(\sin^2\theta=\cos^2\theta=\dfrac12\) 时，即 \(x=y=2\) 时，等号成立。

方法三：

令 \(\dfrac1x=\dfrac12+t,\dfrac1y=\dfrac12-t\) ，则 \(x=\dfrac{2}{1+2t}>0,y=\dfrac{2}{1-2t}>0\)

\[\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{y-1}=\dfrac{1}{\dfrac2{1+2t}-1}+\dfrac{1}{\dfrac2{1-2t}-1}=\dfrac{1+2t}{1-2t}+\dfrac{1-2t}{1+2t}\geqslant2 \]

当且仅当 \(1+2t=1-2t=\dfrac12\) 时，即 \(x=y=2\) 时，等号成立。