比较大小

已知 \(M=\dfrac{{\rm e}^{2020}+1}{{\rm e}^{2021}+1} , N=\dfrac{{\rm e}^{2021}+1}{{\rm e}^{2022}+1}\) ，则 \(M,N\) 的大小关系为 \(\underline{\qquad\qquad}\).

解析：

法一：令 \(f(x)=\dfrac{{\rm e}^{x-1}+1}{{\rm e}^{x}+1}\) ，则 \(f'(x)=\dfrac{{\rm e}^{x-1}-{\rm e}^x}{({\rm e}^{x}+1)^2}<0\) ，则 \(f(x)\) 在 \({\rm R}\) 上单调递减，则 \(f(2021)>f(2022)\) ，则 \(M>N\) .

法二：因为

\[M-N=\dfrac{{\rm e}^{2020}+1}{{\rm e}^{2021}+1}-\dfrac{{\rm e}^{2021}+1}{{\rm e}^{2022}+1}=\dfrac{{\rm e}^{2020}({\rm e}-1)^2}{({\rm e}^{2021}+1)({\rm e}^{2022}+1)}>0 \]

所以 \(M>N\) .