全概率公式

甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品。若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率。

解析：

设事件\(A\) 为“从乙箱中取一个正品”，事件 \(B_1\) 为“从甲箱中取出 \(2\) 个产品都是正品”， 事件 \(B_2\) 为“从甲箱中取出 \(1\) 个正品，\(1\) 个次品”，事件 \(B_3\) 为“从甲箱中取出 \(2\) 个产品都是次品”， 则事件 \(B_1 , B_2 , B_3\) 彼此互斥。

\[P(B_1)=\dfrac{C_5^2}{C_8^2}=\dfrac{5}{14},P(B_2)=\dfrac{C_5^1C_3^1}{C_8^2}=\dfrac{15}{28},P(B_3)=\dfrac{C_3^2}{C_8^2}=\dfrac{3}{28} \]

又

\[P(A|B_1)=\dfrac{2}{3},P(A|B_2)=\dfrac{5}{9},P(A|B_3)=\dfrac{4}{9} \]

所以，根据全概率公式得

\[\begin{align}P(A)&=P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)+P(B_3)P(A|B_3)\\[2ex]&=\dfrac{5}{14}\cdot\dfrac23+\dfrac{15}{28}\cdot\dfrac59+\dfrac{3}{28}\cdot\dfrac49=\dfrac{7}{12}\end{align} \]