双曲线与基本不等式

已知双曲线 \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\) 的左右焦点分别为 \(F_1,F_2\) ，过 \(F_1\) 且垂直于 \(x\) 轴的直线与该双曲线的左支交于 \(A,B\) 两点，\(AF_2,BF_2\) 分别交 \(y\) 轴于 \(P,Q\) 两点，若 \(\triangle PQF_2\) 的周长为 \(16\) ，则 \(\dfrac{b^2}{a+1}\) 的最大值为 \(\underline{\qquad\qquad}\) .

解析：由 \(\triangle PQF_2\) 的周长为 \(16\) 得

\[PO+PF_2=8,AF_1+AF_2=16 \]

而双曲线的通径 \(AB=\dfrac{2b^2}{a}\) ，所以 \(AF_1=\dfrac{b^2}{a}\) ，又 \(AF_2-AF_1=2a\) ，所以

\[AF_1=8-a=\dfrac{b^2}{a}\Longrightarrow b^2=8a-a^2 \]

所以

\[\dfrac{b^2}{a+1}=\dfrac{8a-a^2}{a+1}=\dfrac{-t^2+10t-9}{t}=-\Big(t+\dfrac{9}{t}\Big)+10\leqslant4 \]

其中 \(t=a+1>0\) ，当且仅当 \(t=\dfrac{9}{t}\) ，即 \(t=3\) ，\(a=2 , b=2\sqrt{3}\) 时，等号成立.