裂项相消

已知数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n\) ，\(a_1=1\) ，\(S_{n+1}=S_n+2a_n+1\) ，数列 \(\Big\{\dfrac{2^n}{a_n\cdot a_{n+1}}\Big\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(T_n\) ，则下列选项正确的是 \((\qquad)\)

A. \(\{a_n+1\}\) 为等差数列

B. \(\{a_n+1\}\) 为等比数列

C. \(a_n=2^n-1\)

D. \(T_n<1\)

解析：

由题意得

\[a_{n+1}=2a_n+1\;\Longrightarrow\;a_{n+1}+1=2(a_n+1)\;\Longrightarrow\;\dfrac{a_{n+1}+1}{a_n+1}=2 \]

所以 \(\{a_n+1\}\) 是以 \(2\) 为公比，\(2\) 为首项的等比数列。所以

\[a_n+1=2^n\;\Longrightarrow\;a_n=2^n-1 \]

故选项 B、C 正确，选项 A 错误。

\[\dfrac{2^n}{(2^n-1)\cdot(2^{n+1}-1)}=\dfrac{1}{2^n-1}-\dfrac{1}{2^{n+1}-1} \]

所以

\[\begin{align}T_n&=\dfrac{1}{2-1}-\dfrac{1}{2^2-1}+\dfrac{1}{2^2-1}-\dfrac{1}{2^3-1}+\cdots+\dfrac{1}{2^n-1}-\dfrac{1}{2^{n+1}-1}\\[2ex]&=1-\dfrac{1}{2^{n+1}-1}<1\end{align} \]

所以选项 D 正确。

答案：BCD