斜率和问题

如图，已知椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\) 经过点 \(P(\sqrt3,\dfrac12)\) ，离心率 \(e=\dfrac{\sqrt3}{2}\) ，直线 \(l\) 的方程为 \(x=\dfrac{4\sqrt3}{3}\) .

(1) 求椭圆 \(C\) 的方程；

(2) \(AB\) 是经过右焦点 \(F\) 的任意一条弦 (不经过点 \(P\) ) ，设直线 \(AB\) 与 \(l\) 相交于点 \(M\) ，记直线 \(PA,PB,PM\) 的斜率依次为 \(k_1,k_2,k_3\) . 问：是否存在 \(\lambda\) ，使得 \(k_1+k_2=\lambda k_3\) ? 若存在，求出 \(\lambda\) 的值，若不存在，请说明理由.

解析：

(1) 依题意有

\[\begin{cases}\dfrac{3}{a^2}+\dfrac{1}{4b^2}=1 \\[1ex] \dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt3}{2}\\[1ex]a^2=b^2+c^2\end{cases}\Longrightarrow\begin{cases}a^2=4\\b^2=1\end{cases} \]

则椭圆的标准方程为 \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\) .

(2) ①当直线 \(AB\) 的斜率为 \(0\) 时，其方程为 \(y=0\) ，解得 \(k_1=1-\dfrac{\sqrt3}{2},k_2=-1-\dfrac{\sqrt3}{2},k_3=-\dfrac{\sqrt3}{2}\) ，则

\[k_1+k_2=-\sqrt3=2k_3\Longrightarrow\lambda=2 \]

②当直线 \(AB\) 的斜率不为 \(0\) 时，设为 \(x=my+\sqrt3\) ，\(A(x_1,y_1),B)(x_2,y_2)\) 联立

\[\begin{cases}x=my+\sqrt3\\x^2+4y^2=4\end{cases}\Longrightarrow (m^2+4)y^2+2\sqrt3my-1=0 \]

得 \(y_1+y_2=-\dfrac{2\sqrt3m}{m^2+4},y_1y_2=-\dfrac{1}{m^2+4}\) .

\[\begin{align}k_1+k_2&=\dfrac{y_1-\dfrac12}{x_1-\sqrt3}+\dfrac{y_2-\dfrac12}{x_2-\sqrt3}=\dfrac{y_1-\dfrac12}{my_1}+\dfrac{y_2-\dfrac12}{my_2}=\dfrac2m-\dfrac{1}{2m}\cdot\dfrac{y_1+y_2}{y_1y_2}\\[2ex]&=\dfrac2m-\dfrac{1}{2m}\cdot\dfrac{-\dfrac{2\sqrt3m}{m^2+4}}{-\dfrac{1}{m^2+4}}=\dfrac{2}{m}-\sqrt3\end{align} \]

解得 \(M(\dfrac{4}{\sqrt3},\dfrac{1}{\sqrt3m})\) ，则 \(k_3=\dfrac{\dfrac12-\dfrac{1}{\sqrt3m}}{\sqrt3-\dfrac{4}{\sqrt3}}=\dfrac{1}{m}-\dfrac{\sqrt3}{2}\) ，所以 \(k_1+k_2=2k_3\) ，综上，存在 \(\lambda=2\) 满足题设条件 .