数列通项
已知数列 \(\{a_n\}\) 中，\(a_1=5\) ，\(a_2=2\) ，\(a_n=2a_{n-1}+3a_{n-2}\;(n\geqslant3)\) ，对于这个数列的递推公式作一研究，能否写出它的通项公式？
解析：
由题意得 \(a_{n+2}=2a_{n+1}+3a_{n}\;(n\geqslant1)\) ，设 \(a_{n+2}-\lambda a_{n+1}=\mu(a_{n+1}-\lambda a_{n})\) ，变形得
\[a_{n+2}=(\lambda+\mu)a_{n+1}-\lambda\mu a_{n}
\]
对比系数得 \(\lambda+\mu=2,\lambda\mu=-3\) ，解得
\[\begin{cases}\lambda=3\\[1ex]\mu=-1\end{cases}\quad or\quad \begin{cases}\lambda=-1\\[1ex]\mu=3\end{cases}
\]
当 \(\lambda=-1,\mu=3\) 时，\(a_{n+2}+a_{n-1}=3(a_{n+1}+a_{n})\) ，则
\[\dfrac{a_{n+2}+a_{n+1}}{a_{n+1}+a_{n}}=3
\]
所以 \(\{a_{n+1}+a_{n}\}\) 是以 \(7\) 为首项，\(3\) 为公比的等比数列，得
\[a_{n+1}+a_n=7\cdot3^{n-1}\quad\cdots (1)
\]
当 \(\lambda=3,\mu=-1\) 时，\(a_{n+2}-3a_{n-1}=-1(a_{n+1}-3a_{n})\) ，则
\[\dfrac{a_{n+2}-3a_{n+1}}{a_{n+1}-3a_{n}}=-1
\]
所以 \(\{a_{n+1}-3a_{n}\}\) 是以 \(-13\) 为首项，\(-1\) 为公比的等比数列，得
\[a_{n+1}-3a_{n}=-13\cdot(-1)^{n-1}\quad\cdots(2)
\]
\((1)-(2)\) 得
\[a_n=\dfrac{7}{4}\cdot3^{n-1}+\dfrac{13}{4}\cdot(-1)^{n-1}
\]
