双曲线离心率

双曲线 \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) 的离心率为 \(e_1\) ，\(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=-1\) 的离心率为 \(e_2\) ，则 \(e_1+e_2\) 的最小值为 \(\underline{\qquad\qquad}\) .

解析：设 \(a^2+b^2=c^2(a,b,c>0)\) ，则 \(e_1=\dfrac ca\) ，\(e_2=\dfrac cb\) ，又

\[\dfrac{2}{e_1+e_2}=\dfrac1c\cdot\dfrac{2}{\dfrac1a+\dfrac1b}\leqslant\dfrac1c\cdot\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}=\dfrac1{\sqrt2} \]

所以 \(e_1+e_2\geqslant2\sqrt2\) ，当且仅当 \(a=b\) 时，等号成立。

答案：\(2\sqrt2\)