单调性讨论

已知函数 \(f(x)={\rm e}^x,g(x)=ax^2+x+1.\)

(1) 设 \(F(x)=\dfrac{g(x)}{f(x)}\) ，讨论函数 \(F(x)\) 的单调性；

(2) 若 \(a=\dfrac12\) ，证明：\(f(x)>g(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 上恒成立.

解析：

(1) 由已知得 \(F(x)=\dfrac{ax^2+x+1}{{\rm e}^x}\) ，则

\[F'(x)=\dfrac{(2ax+1){\rm e}^x-(ax^2+x+1){\rm e}^x}{e^{2x}}=\dfrac{-x[ax-(2a-1)]}{{\rm e}^x} \]

令 \(F'(x)=0\) ，得 \(x=0\) 或 \(x=\dfrac{2a-1}{a}.\)

① 当 \(a>\dfrac12\) 时，\(\dfrac{2a-1}{a}>0\) ，则 \(F(x)\) 在 \((-\infty,0)\) 上单调递减，在 \((0,\dfrac{2a-1}{a})\) 上单调递增，在 \((\dfrac{2a-1}{a},+\infty)\) 上单调递减；

② 当 \(a=\dfrac12\) 时，\(F'(x)\leqslant0\) ，则 \(F(x)\) 在 \({\rm R}\) 上单调递减；

③ 当 \(0<a<\dfrac12\) 时， \(\dfrac{2a-1}{a}<0\) ，则 \(F(x)\) 在 \((-\infty,\dfrac{2a-1}{a})\) 上单调递减，在 \((\dfrac{2a-1}{a},0)\) 上单调递增，在 \((0,+\infty)\) 上单调递减；

④ 当 \(a<0\) 时，\(\dfrac{2a-1}{a}>0\) ，则 \(F(x)\) 在 \((-\infty,0)\) 上单调递增，在 \((0,\dfrac{2a-1}{a})\) 上单调递减，在 \((\dfrac{2a-1}{a},+\infty)\) 上单调递增。

(2) 若 \(a=\dfrac12\) ，则 \(g(x)=\dfrac12x^2+x+1\) ，设 \(h(x)=f(x)-g(x)={\rm e}^x-\dfrac12x^2-x-1\) ，则

\[h'(x)={\rm e}^x-x-1 \]

令 \(p(x)=h'(x)\) ，则 \(p'(x)={\rm e}^x-1\) ，当 \(x>0\) 时，\(p'(x)>0\) ，则 \(h'(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 上单调递增，则 \(h'(x)>h'(0)=0\) ，则 \(h(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 上单调递增，即 \(h(x)>h(0)=0\) ，所以 \(f(x)>g(x)\) ，得证。