斐波那契数列

1202年，意大利数学家斐波那契(Leonardo Fibonacci，约1170—1250)出版了他的《算盘全书(Liber Abacci)》。他在书中提出了一个关于兔子繁殖的问题:

如果一对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)。而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子?

在第1个月时，只有1对小兔子，过了1个月，那对兔子成熟了，在第3个月时便生下1对小兔子，这时有两对兔子，再过1个月，成熟的兔子再生1对小兔子，而另1对小兔子长大，有3对小兔子。如此推算下去，我们可以得到一个表格:

\[\begin{array}{c|c|c|c}\hline 时间(月)&初生兔子(对)&成熟兔子(对)&总兔子数(对) \\ \hline1&1&0&1 \\ \hline2&0&1&1 \\ \hline 3&1&1&2 \\ \hline 4&1&2&3 \\ \hline 5&2&3&5 \\ \hline 6&3&5&8 \\ \hline 7&5&8&13 \\ \hline 8&8&13&21 \\ \hline 9&13&21&34 \\ \hline 10&21&34&55 \\ \hline\end{array} \]

由此可知。从第1个月开始，以后每个月的兔子总对数是

\[1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,\cdots \]

你发现这个数列的规律了吗?

如果用 \(F_n\) 表示第 \(n\) 个月的兔子的总对数，可以看出，

\[F_n=F_{n-1}+F_{n-2} \]

这是一个由递推关系给出的数列，称为斐波那契数列。

现用特征根法求该数列的通项公式

由递推公式得特征方程为

\[x^2-x-1=0 \]

解得

\[x_1=\dfrac{1+\sqrt5}{2},x_2=\dfrac{1-\sqrt5}{2} \]

设

\[F_n=A\cdot\left(\dfrac{1+\sqrt5}{2}\right)^n+B\cdot\left(\dfrac{1-\sqrt5}{2}\right)^n \]

将 \(F_1=F_2=1\) 代入得

\[\begin{cases}A\cdot\left(\dfrac{1+\sqrt5}{2}\right)+B\cdot\left(\dfrac{1-\sqrt5}{2}\right)=1 \\[2ex] A\cdot\left(\dfrac{1+\sqrt5}{2}\right)^2+B\cdot\left(\dfrac{1-\sqrt5}{2}\right)^2=1\end{cases} \]

解得

\[\begin{cases}A=\dfrac{1}{\sqrt5} \\[2ex] B=-\dfrac{1}{\sqrt5}\end{cases} \]

所以

\[F_n=\dfrac{1}{\sqrt5}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt5}{2}\right)^n\right] \]