2020雅礼中学高三月考3

题目

在四面体 \(ABCD\) 中，\(AB=BD=DC=CA=2\) ，则此四面体体积的最大值是\((\qquad)\)

解析

作 \(BC\) 中点 \(M\) ，连接 \(AM,MD\)，设 \(BC=x,AD=y,AM=MD=m,\angle AMD=\theta\) .

因为 \(AB=CA\) ，所以 \(AM\perp BC\) ，同理 \(DM\perp BC\) ，所以 \(BC\perp\) 面\(AMD\) ，故

\[V_{A-BCD}=\dfrac{1}{3}S_{\triangle AMD}\cdot BC \]

而

\[\begin{array}{rl}S_{\triangle AMD}&=\dfrac{1}{2}\cdot AM\cdot DM\cdot \sin\theta \\[1ex] &=\dfrac12m^2\sqrt{1-\cos^2\theta} \\[1ex] &=\dfrac{1}{2}m^2\sqrt{1-\left(\dfrac{2m^2-y^2}{2m^2}\right)^2} \\[1ex] &=\dfrac14y\sqrt{4m^2-y^2} \\[1ex] &=\dfrac14y\sqrt{16-x^2-y^2}\end{array} \]

所以

\[\begin{array}{rl} V_{A-BCD}&=\dfrac{1}{12}xy\sqrt{16-x^2-y^2} \\[1ex] &=\dfrac{1}{12}\sqrt{x^2y^2(16-x^2-y^2)} \\[1ex] &\leq\dfrac{1}{12}\sqrt{\left[\dfrac{x^2+y^2+(16-x^2-y^2)}{3}\right]^3} \\[1ex] &=\dfrac{16\sqrt3}{27}\end{array} \]

当且仅当 \(x^2=y^2=16-x^2-y^2\) ，即 \(x=y=\dfrac{4\sqrt3}{3}\) 时，等号成立（此处运用了均值不等式的三维形式） .

注：\(\triangle AMD\) 的面积也可利用海伦公式求解，即

\[\begin{array}{rl} S_{\triangle AMD}&=\sqrt{\dfrac{m+m+y}{2}(\dfrac{m+m+y}{2}-y)(\dfrac{m+m+y}{2}-m)(\dfrac{m+m+y}{2}-m)} \\[1ex] &=\sqrt{\dfrac{2m+y}{2}\cdot\dfrac{2m-y}{2}\cdot\dfrac{y}{2}\cdot\dfrac{y}{2}} \\[1ex] &=\dfrac14y\sqrt{4m^2-y^2} \\[1ex] &=\dfrac14y\sqrt{16-x^2-y^2}\end{array} \]