【题目】
已知椭圆 \(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\) 的左顶点为 \(A\) ，右焦点为 \(F\) ，上顶点为 \(B\) ，过 \(F\) 的直线 \(l\) 交椭圆 \(C\) 于 \(P,Q\) .当 \(P\) 与 \(B\) 重合时，\(\triangle APF\) 与 \(\triangle AQP\) 的面积分别为 \(\dfrac{3\sqrt{3}}{2},\dfrac{9\sqrt{3}}{10}\) .
\((1)\) 求椭圆 \(C\) 的方程；
\((2)\) 在 \(x\) 轴上找一点 \(M\) ，当 \(l\) 变化时，\(\overrightarrow{MP}\cdot\overrightarrow{MQ}\) 为定值.
【解析】
\((1)\) 作 \(QN\perp x\) 轴于 \(N\) ，则
\[\dfrac{S_{\triangle APF}}{S_{\triangle AQF}}=\dfrac{PO}{QN}=\dfrac{OF}{NF}=\dfrac{5}{3}\Longrightarrow QN=\dfrac{3}{5}b,NF=\dfrac{3}{5}c\Longrightarrow P(\dfrac{8}{5}c,-\dfrac{3}{5}b)
\]
故有
\[\begin{cases}\dfrac{64c^2}{25a^2}+\dfrac{9b^2}{25b^2}=1\\[1ex]\dfrac{1}{2}(a+c)b=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\\[1ex] a^2=b^2+c^2\end{cases}\Longrightarrow \begin{cases}a=2\\[1ex] b=\sqrt{3}\\[1ex] c=1\end{cases}
\]
所以椭圆 \(C\) 的标准方程为 \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1\) .
\((2)\) 设 \(P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2),M(a,0)\) .
①当直线 \(l\) 的斜率不为 \(0\) 时，设其方程为 \(x=my+1\) .联立直线与椭圆方程得
\[(3m^2+4)y^2+6my-9=0
\]
由韦达定理得
\[y_1+y_2=-\dfrac{6m}{3m^2+4}\; ,\;y_1y_2=-\dfrac{9}{3m^2+4}
\]
故有
\[\begin{array}{l}x_1+x_2=m(y_1+y_2)+2=\dfrac{8}{3m^2+4} \\[1ex] x_1x_2=m^2y_1y_2+m(y_1+y_2)+1=\dfrac{-12m^2+4}{3m^2+4}\end{array}
\]
故
\[\begin{array}{rl}\overrightarrow{MP}\cdot\overrightarrow{MQ}&=(x_1-a,y_1)\cdot(x_2-a,y_2) \\[1ex] &=x_1x_2-a(x_1+x_2)+a^2+y_1y_2 \\[1ex] &=\dfrac{-4(3m^2+4)+11-8a}{3m^2+4}+a^2\end{array}
\]
则当 \(11-8a=0\) 即 \(a=\dfrac{11}{8}\) 时，\(\overrightarrow{MP}\cdot\overrightarrow{MQ}=-\dfrac{135}{64}\) ，为定值.
②当 \(l\) 的斜率为 \(0\) 时，求得 \(P(-2,0),Q(2,0)\) ，此时
\[\overrightarrow{MP}\cdot\overrightarrow{MQ}=(\dfrac{11}{8}+2,0)\cdot(\dfrac{11}{8}-2,0)=\dfrac{27}{8}\times(-\dfrac{5}{8})+0=-\dfrac{135}{64}
\]
综上，存在点 \(M(\dfrac{11}{8},0)\) 使得 \(\overrightarrow{MP}\cdot\overrightarrow{MQ}\) 为定值.
