三等分点

等边三角形 \(ABC\) 中，点 \(D,E\) 分别在边 \(BC,AC\) 上，且 \(|BD|=\dfrac{1}{3}|BC|,|CE|=\dfrac{1}{3}|CA|,AD,BE\) 相交于点 \(P\) . 求证： \(AP\perp CP\) .

解法一

如图，以 \(BC\) 边中点 \(O\) 为原点建立平面直角坐标系：设三角形边长为 \(6\) . 则 \(A(0,3\sqrt{3}),B(-3,0),C(3,0),D(-1,0),\)\(E(2,\sqrt{3})\) .

故直线 \(AD\) 的方程为$$\dfrac{y-0}{3\sqrt{3}-0}=\dfrac{x+1}{0+1}\Longrightarrow y=3\sqrt{3}(x+1)$$直线 \(BE\) 的方程为$$\dfrac{y-0}{\sqrt{3}-0}=\dfrac{x+3}{2+3}\Longrightarrow y=\dfrac{\sqrt{3}}{5}(x+3)$$联立直线 \(AD\) 与 \(BE\) 的方程解得 \(P(-\dfrac{6}{7},\dfrac{3\sqrt{3}}{7})\) . 而$$k_{AP}\cdot k_{CP}=\dfrac{3\sqrt{3}-\dfrac{3\sqrt{3}}{7}}{0+\dfrac{6}{7}}\cdot\dfrac{0-\dfrac{3\sqrt{3}}{7}}{3+\dfrac{6}{7}}=-1$$所以 \(AP\perp CP\) .

解法二

设 \(\overrightarrow{AB}=\vec{a},\overrightarrow{AC}=\vec{b}\) ，因为 \(A,P,D\) 三点共线，设 \(\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AD}\) ， \(B,P,E\) 三点共线，设 \(\overrightarrow{BP}=n\overrightarrow{BE}\) ，则

\[\overrightarrow{AP}=\dfrac{2m}{3}\vec{a}+\dfrac{m}{3}\vec{b}\; ,\;\overrightarrow{BP}=-n\vec{a}+\dfrac{2n}{3}\vec{b} \]

又

\[\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}=(1-n)\vec{a}+\dfrac{2n}{3}\vec{b} \]

所以

\[\begin{cases}\dfrac{2m}{3}=1-n \\ \dfrac{m}{3}=\dfrac{2n}{3}\end{cases}\Longrightarrow\begin{cases}m=\dfrac{6}{7} \\ n=\dfrac{3}{7}\end{cases} \]

则

\[\overrightarrow{AP}=\dfrac{4}{7}\vec{a}+\dfrac{2}{7}\vec{b}\;,\;\overrightarrow{BP}=-\dfrac{3}{7}\vec{a}+\dfrac{2}{7}\vec{b} \]

所以

\[\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BP}=\dfrac{4}{7}\vec{a}-\dfrac{5}{7}\vec{b} \]

设等边三角形的边长为 \(1\) ，则

\[\begin{array}{rll}\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{CP}&=(\dfrac{4}{7}\vec{a}+\dfrac{2}{7}\vec{b})\cdot(\dfrac{4}{7}\vec{a}-\dfrac{5}{7}\vec{b})\\[1ex]&=\dfrac{16}{49}\vec{a}^2-\dfrac{12}{49}\vec{a}\cdot\vec{b}-\dfrac{10}{49}\vec{b}^2 \\[1ex]&=(\dfrac{16}{49}-\dfrac{6}{49}-\dfrac{10}{49}) \\[1ex] &=0\end{array} \]

所以 \(\overrightarrow{AP}\perp\overrightarrow{CP}\) ，即 \(AP\perp CP\) .