两角和的正切

[题目]

如图，正方形 \(ABCD\) 的边长为 \(1\) ，\(P,Q\) 分别为边 \(AB,DA\) 上的点.当 \(\triangle APQ\) 的周长为 \(2\) 时，求 \(\angle PCQ\) 的大小.

[解析]

设 \(\angle DCQ=\alpha , \angle BCP=\beta\) ，则 \(DQ=\tan\alpha,PB=\tan\beta\) . 因为

\[DQ+QA+AP+PB=2 \]

\[QA+AP+PQ=2 \]

所以 \(PQ=QD+PB=\tan\alpha+\tan\beta\) ，在 \({\rm Rt}\triangle QAP\) 中 \(QA^2+AP^2=PQ^2\) . 即

\[(1-\tan\alpha)^2+(1-\tan\beta)^2=(\tan\alpha+\tan\beta)^2 \]

化简得

\[\tan\alpha+\tan\beta=1-\tan\alpha\tan\beta \]

故 \(\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}=1\) . 又 \(\alpha+\beta\in(0,\dfrac{\pi}{2})\) ，所以 \(\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{4}\) ，所以 \(\angle PCQ=\dfrac{\pi}{4}\) .