积化和差与和差化积

一、求证：$\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]$

证明：因为 $$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$ $$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$ 将以上两式的左右两边分别相加，得 $$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta$$ 即 $$\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]$$ 同理得到 $$\cos\alpha\sin\beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]$$ $$\cos\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]$$ $$\sin\alpha\sin\beta=-\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]$$ 由于公式的左边为积的形式，右边为和或差的形式，故把上述四个公式称为 积化和差 公式.

$\quad$

二、求证：$\sin\theta+\sin\varphi=2\sin\dfrac{\theta+\varphi}{2}\cos\dfrac{\theta-\varphi}{2}$

证明：由上一题的证明有 $$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta$$ 设 $\alpha+\beta=\theta,\alpha-\beta=\varphi$ .那么 $$\alpha=\dfrac{\theta+\varphi}{2},\beta=\dfrac{\theta-\varphi}{2}$$ 把 $\alpha,\beta$ 的值代入上式，即得 $$\sin\theta+\sin\varphi=2\sin\dfrac{\theta+\varphi}{2}\cos\dfrac{\theta-\varphi}{2}$$ 同理得 $$\sin\theta-\sin\varphi=2\cos\dfrac{\theta+\varphi}{2}\sin\dfrac{\theta-\varphi}{2}$$ $$\cos\theta+\cos\varphi=2\cos\dfrac{\theta+\varphi}{2}\cos\dfrac{\theta-\varphi}{2}$$ $$\cos\theta-\cos\varphi=-2\sin\dfrac{\theta+\varphi}{2}\sin\dfrac{\theta-\varphi}{2}$$ 我们把上述四个公式称为和差化积公式.

例题

$1$、已知 $\sin(\alpha+\beta)=\dfrac{1}{2},\sin(\alpha-\beta)=\dfrac{1}{3}$ ，求 $\sin\alpha\cos\beta$ .

解析：$\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]=\dfrac{5}{12}$

$2$、设 $A,B,C$ 是 $\triangle ABC$ 的三个内角，求证：

$$\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=4\sin A\sin B\sin C$$

证明：

$$\begin{array}{rl}\;&\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C \\[2ex] =&2\sin(A+B)\cos(A-B)-2\sin(A+B)\cos(A+B)\\[2ex] =&2\sin(A+B)[\cos(A-B)-\cos(A+B)]\\[2ex] =&2\sin(A+B)2\sin A\sin B\\[2ex] =&4\sin A\sin B\sin C\end{array}$$

练习

已知 $A+B+C=\pi$ ，求证：

$(1)\;\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}$

$(2)\;\cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}$