2019高考理科数学（天津卷）

\(1 .\quad\)已知 \(a\in R\) .设函数 \(f(x)=\begin{cases}x^2-2ax+2a , x\leq1 \\ x-a\ln x , x>1\end{cases}\quad\) ，若关于 \(x\) 的不等式 \(f(x)\geq0\) 在 \(\rm R\) 上恒成立，则 \(a\) 的取值范围为 \((\qquad)\)

\(A.[0,1]\qquad\qquad\qquad B.[0,2]\)

\(C.[0,\rm e]\qquad\qquad\qquad D.[1,\rm e]\)

[解析]

设 \(f_1(x)=x^2-2ax+2a,f_2(x)=x-a\ln x\) ，对于 \(f_1(x)\) 有对称轴 \(x=a\) ，且 \(f_1(1)=1,f_1(0)=2a\) .

①当 \(a<0\) 时，存在 \(x_0\leq1\) 使得 \(f_1(x_0)<0\) ，故不符.

②当 \(0\leq a\leq 1\) 时，

\[f_1(x)=x^2-2ax+2a=(x-a)^2+a(2-a)\geq0 \]

\[f_2(x)=x-a\ln x\geq x-a(x-1)=(1-a)x+a>0 \]

符合.

③当 \(a>1\) 时，\(f_1(x)\) 在 \((-\infty,1]\) 上单调递减，则 \(f_1(x)\geq f_1(1)=1\) ，符合 . 求得

\[{f_2}^{'}(x)=\dfrac{x-a}{x} \]

故 \(f_2(x)\) 在 \((1,a)\) 上单调递减，在 \((a,+\infty)\) 上单调递增.依题意有 \(f_2(x)_{\rm min}=f_2(a)=a-a\ln a\geq0\) ，解得 \(1<a\leq \rm e\) .

综上， \(a\) 的取值范围是 \([0,\rm e]\) .

[答案] \(C\)

\(2 .\quad\)在四边形 \(ABCD\) 中，\(AD//BC,AB=2\sqrt{3},AD=5,\angle A=30^\circ\) ，点 \(E\) 在 \(CB\) 的延长线上，且 \(AE=BE\) ，则 \(\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AE}=\)________.

[解析]

如图，建立平面直角坐标系，则 $A(-1,0),E(0,-\sqrt{3}),B(2,-\sqrt{3}),D(4,0)$ . 故

\[\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AE}=(2,\sqrt{3})\cdot(1,-\sqrt{3})=-1 \]

[答案] \(-1\)

\(3 .\quad\)设椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)\) 的左焦点为 \(F\) ，上顶点为 \(B\) . 已知椭圆的短轴长为 \(4\) ，离心率为 \(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\) .

\((1)\) 求椭圆的方程；

\((2)\) 设点 \(P\) 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 \(M\) 为直线 \(PB\) 与 \(x\) 轴的交点，点 \(N\) 在 \(y\) 轴的负半轴上，如 \(|ON|=|OF|\) (\(O\) 为原点)，且 \(OP\perp MN\) ，求直线 \(PB\) 的斜率.

[解析]

\((1)\) 由题意知

\[\begin{cases}2b=4 \\[1ex] \dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{5}}{5} \\[1ex] a^2=b^2+c^2\end{cases} \]

解得：\(a=\sqrt{5} , b=2 , c=1\) ，则椭圆的标准方程为 \(\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{4}=1\) .

\((2)\) 求得 \(F(-1,0),N(0,-1)\) ，由题意知直线 \(PB\) 斜率存在，设其方程为 \(y=kx+2\) .联立直线 \(PB\) 与椭圆的方程得

\[(4+5k^2)x^2+20kx=0 \]

解得

\[x_1=0\quad,\quad x_2=-\dfrac{20k}{4+5k^2} \]

由于点 \(B\) 的横坐标为 \(0\) ，故点 \(P\) 的横坐标为 \(-\dfrac{20k}{4+5k^2}\) ，代入直线 \(PB\) 方程得 \(P(-\dfrac{20k}{4+5k^2},\dfrac{8-10k^2}{4+5k^2})\) .
求得 \(M(-\dfrac{2}{k},0)\) ，因为 \(OP\perp MN\) ，所以

\[\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{MN}=(-\dfrac{20k}{4+5k^2},\dfrac{8-10k^2}{4+5k^2})\cdot(\dfrac{2}{k},-1)=0 \]

解得 \(k=\pm\dfrac{2\sqrt{30}}{5}\) .

[答案] \((1)\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{4}=1\quad(2)k=\pm\dfrac{2\sqrt{30}}{5}\)