704. 二分查找

➡️题目链接

参考链接：https://www.programmercarl.com/0704.二分查找.html#_704-二分查找

第一种解法（暴力解法）：

使用暴力解法，遍历数组。

class Solution:
    def search(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        for i in range(len(nums)):
            if nums[i] == target:
                return i
        else:
            return -1

执行用时：40 ms, 在所有 Python3 提交中击败了76.04%的用户

内存消耗：16 MB, 在所有 Python3 提交中击败了50.88%的用户

通过测试用例：47 / 47

 

第二种解法（二分查找）：

这道题目的前提是数组为有序数组，同时题目强调数组中无重复元素，因为一旦有重复元素，使用二分查找法返回的元素下标可能不是唯一的，这些都是使用二分法的前提条件。当看到题目满足上述条件时，就可以思考是不是可以使用二分法。

二分法查找涉及很多的边界条件，逻辑比较简单，但是边界条件容易混乱。到底是 while(left < right) 还是while(left <= right)，到底是right=middle还是right = middle-1呢。

我们在写二分法时经常写乱，通常是对区间的定义没有搞清楚，区间的定义就是不变量。要在二分查找的过程中，保持不变量，就是在while寻找中每一次边界的处理都要坚持根据区间的定义来操作，这就是循环不变量规则。

写二分法，区间的定义一般有两种，左闭右闭即[left, right]，或者左闭右开即[left, right]。

下边我们用两种区间定义分别讲解两种不同的二分写法。

class Solution: # 左闭右闭
    def search(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        left, right = 0, len(nums) - 1  # 定义target在左闭右闭的区间里，[left, right]
        while left <= right:
            middle = left + (right - left) // 2
            
            if nums[middle] > target:
                right = middle - 1  # target在左区间，所以[left, middle - 1]
            elif nums[middle] < target:
                left = middle + 1  # target在右区间，所以[middle + 1, right]
            else:
                return middle  # 数组中找到目标值，直接返回下标
        return -1  # 未找到目标值

class Solution: # 左闭右开
    def search(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        left, right = 0, len(nums)  # 定义target在左闭右开的区间里，即：[left, right)

        while left < right:  # 因为left == right的时候，在[left, right)是无效的空间，所以使用 <
            middle = left + (right - left) // 2

            if nums[middle] > target:
                right = middle  # target 在左区间，在[left, middle)中
            elif nums[middle] < target:
                left = middle + 1  # target 在右区间，在[middle + 1, right)中
            else:
                return middle  # 数组中找到目标值，直接返回下标
        return -1  # 未找到目标值

 

二分法第一种写法

第一种写法，我们定义target是在一个左闭右闭的区间里，也就是[left, right]（这个很重要）。

区间的定义这就决定了二分法的代码应该怎么写，因为定义target在[left, right]区间，所以有如下两点：

1. while (left <= right)要使用<=，因为left==right是有意义的，所以用<=

2. if (nums[middle] > target) right要赋值为middle-1，因为当前这个nums[middle]一定不是target，那么接下来要查找的左区间结束下标位置就是middle-1

例如在数组：1，2，3，4，7，9，10中查找元素2，如图所示：

 

如果定义target是在一个左闭右开的区间里，也就是[left, right)，那么二分法的边界处理方式则截然不同。

有如下两点：

1. while (left < right)，这里使用<，因为left == right在区间[left, right)是没有意义的

2. if (nums[middle] > target) right更新为middle，因为当前nums[middle]不等于target，去左区间继续寻找，而寻找区间是左闭右开区间，所以right更新为middle，即：下一个查询区间不会去比较nums[middle]

在数组：1，2，3，4，7，9，10中查找元素2，如图所示：（注意和方法一的区别）

 复杂度：

二分查找大大缩减了找的次数，举个例子，我们每次都猜中间的数字，那么那样每次就能至少排除一般的数字，最多只需要log2(n)，则时间复杂度是O(logn)，空间复杂度是O(1)，因为使用了一个整数型变量mid来记录中间值。

总结

二分法是非常重要的基础算法，重要的是对区间定义的理解，在循环中要始终坚持根据查找区间的定义来做边界处理。区间的定义就是不变量，那么在循环中坚持根据查找区间的定义来做边界处理，就是循环不变量规则。

还要注意一个小细节，python中的//和/，在python中，/表示浮点整除法，返回浮点结果，也就是结果为浮点数；而在python中表示整数除法，返回大于结果的一个最大整数，也就是除法结果向下取整。

print("6 // 4 = " + str(6 // 4)) #结果：1
print("6 / 4 =" + str(6 / 4)) #结果：1.5