等概率随机采样问题

1. 输入包含两个整数m和n，其中m<n。输出[0,n-1]内的m个随机数，要求：每个数选择出现的概率相等（也就是m/n），且按序输出。

　　依次考虑整数0,1,2,...,n-1，并通过一个适当的随机测试对每个整数进行选择。通过按序访问整数，可以保证输出结果是有序的。 if m=2 and n=5，那么选择的每一个数字的概率都应该是2/5。

　　分析过程：在0,1,2,3,4这五个数字中

　　第一次遇到0时，它的选择概率应该是2/5，如果选中了，我们开始测试第二个数1，这个时候因为1选中了，所以1这个数字的选中概率就变小了，变成1/4了，有人说这似乎不对吧，因为题目说让每一个数字选中的概率是一样大的，而现在？一个2/5，一个1/4，这怎么行呢？其实不是这样的，认真思考一下就知道了，数字1选中的概率等于什么？

　　数字1选中的概率p(1) = 数字0选中的概率 *(1/4)+数组０没选中的概率＊(2/4)这样推算下　(2/5 * 1/4) + (3/5 * 2/4) = 8/20 = 2/5

　　select = m, remaining = n

　　for i in [0,n):

　　　　if (rand() % remaining) < select:

　　　　　　print i

　　　　　　select --

　　　　remianing--

 

　　代码遵守的规则应该是要从r个剩余的整数中选出s个，我们以概率s/r选择下一个数。这个概率的选择方式和我们上面证明的是一样的。所以在程序结束的时候一定会打印出m个数字，且每一个数字的被选择概率相同，为m/n。 

　　这个题目还有其他的解法，将问题定义为蓄水池抽样。先把前k个数放入蓄水池中，对第k+1，我们以k/(k+1)的概率决定是否要把它换入蓄水池，换入时我们可以随机挑选一个作为替换位置，这样一直到样本空间N遍历完，最后蓄水池中留下的就是采样结果。这样的方法得到的结果每一个数字被选择的概率也是k/n。

2. 问题扩展：如何从n个对象（可以以此看到这n个对象，但事先不知道n的值）中随机选择一个？比如在不知道一个文本中有多少行，在这样的情况下要求你随机选择文件中一行，且要求文件的每一行被选择的概率相同。 在知道n这个总对象个数的情况下，谁都知道概率是1/n. 但是我们现在不知道，怎么办呢？

　　考虑这样是不是可以，总是以1/i的概率去选择每一次遍历的对象，比如从1,2,3,....,N， 每一次遍历到x时，总是以1/x的概率去选择它。

　　总选择第一个行，并以概率1/2选择第二行,以1/3选择第三行，也就是说设结果为result，遍历第一个时result = 1,第二个以1/2的概率替让result = 2,这样一直遍历概率性的替换下去，最终的result就是你的结果。被选择的概率就是1/n。

　　第x个数被选择的概率 = x被选择的概率 * (x+1没被选择的概率) * (x+2没有被选择的概率) *......*(N没有被选择的概率)  

　　被选择的概率 = 1/2  * 2/3 * 3/4 * 4/5 .....* (n-1/n) 我想你知道答案了吧？ 对！ 是1/n.这样就可以在不知道N的大小的情况下等概率的去选择任意一个对象了！

参考伪代码如下：

i = 0

while more input lines:

　　with prob 1.0/++i

　　choice = this.line

print choice

3. 已知rand(),以p的概率产生0，以1-p的概率产生1，现在要求设计一个新随机函数newRand(), 使其以1/n的等概率产生1~n之间的任意一个数。
　　可以通过已知随机函数rand()产生等概率产生0和1的新随机函数Rand()，然后调用k（k为整数n的二进制表示的位数）次Rand()函数，得到一个长度为k的01序列，以此序列所形成的整数即为1~n之间的数字。
　　1)：计算整数n的二进制表示所拥有的位数k，k = 1 +log2n（log以2为底n）

　　2)：调用K次Rand()产生随机数。注意：从产生序列得到的整数有可能大于n，如果大于n的话，则重新产生直至得到的整数不大于n。

4. 给定一个函数rand5()，该函数可以随机生成1-5的整数，且概率一样。现要求使用该函数构造函数rand7()，使得可以随机等概率的生成1-7的整数。
　　很多人的第一反应是利用rand5() + rand()%3来实现rand7()函数，这个方法确实可以产生1-7之间的随机数，但是数字生成的概率是不相等的。rand()%3 产生0的概率是1/5，而产生1和2的概率都是2/5，所以这个方法产生6和7的概率大于产生5的概率。
　　正确的方法是利用rand5()函数生成1-25之间的数字，然后将其中的1-21映射成1-7，丢弃22-25。例如生成(1，1)，(1，2)，(1，3)，则看成rand7()中的1，如果出现剩下的4种，则丢弃重新生成。

　　基于，rand()产生[0,N-1]，把rand()视为N进制的一位数产生器，那么可以使用rand()*N+rand()来产生2位的N进制数，以此类推，可以产生3位，4位，5位...的N进制数。这种按构造N进制数的方式生成的随机数，必定能保证随机，而相反，借助其他方式来使用rand()产生随机数(如 rand5() + rand()%3 )都是不能保证概率平均的。 

题目3：给定一个函数rand()能产生0到n-1之间的等概率随机数，问如何产生0到m-1之间等概率的随机数？

int random(int m , int n)
{
　　int k = rand();
　　int max = n-1;
　　while(k < m)
　　{
　　　　k = k*n + rand(); 生成n进制数
　　　　max = max*n + n-1; 生成n进制所能表示的刚好大于等于m的数
　　}
　　return k/(max/n); 此时k是小于m
}

5. 如何产生如下概率的随机数？0出1次，1出现2次，2出现3次，n-1出现n次？

int random(int size)
{
　　while(true)
　　{
　　　　int m = rand(size);
　　　　int n = rand(size);
　　　　if(m + n < size)
　　　　　　return m+n;
　　}
}

 采用这种方法保证：

　　1 只有 1

　　2 可以有 1 1 / 0 2 / 2 0

　　3 可以有 1 2 / 2 1 / 0 3 / 3 0