一些问题
1. 堆排序是一种不稳定的排序，时间复杂度是O(nlogn)，最差也是O(nlogn)，堆排序也可看成是一个“完全二叉树”，其中MinHeap经常被当作最小优先队列。堆排序的过程：每次弹出堆的堆顶元素，然后把堆的最右下叫元素交换，然后重新调整堆。
调整堆主要依据：找左/右子节点的最大的那个元素，然后交换，下沉父节点。
堆的插入和删除：
> 插入：放到最右下角，然后调整堆
> 删除：删除指定元素后，用最右下角的元素补充，然后调整堆
2. 给你5个球，每个球被抽到的可能性为30、50、20、40、10，设计一个随机算法，该算法的输出结果为本次执行的结果。
#include <stdlib.h> #include <time.h> #define M 5 int main() { int a[5] = {30,50,20,40,10}; int i,sum,ran; for(i = 0,sum = 0;i < M;i++) { sum += a[i]; } for(i = 0;i < M;i++) { srand(time(NULL)); ran = rand()%sum; if(ran <= a[i]) { printf("%c\t",'A'+i); } } printf("\n"); return 0; }
3. 五笔的编码范围是a ~ y的25个字母，从1位到4位的编码，如果我们把五笔的编码按字典序排序，形成一个数组如下： a, aa, aaa, aaaa, aaab, aaac, … …, b, ba, baa, baaa, baab, baac … …, yyyw, yyyx, yyyy。其中a的Index为0，aa的Index为1，aaa的Index为2，以此类推。
1）编写一个函数，输入是任意一个编码，比如baca，输出这个编码对应的Index；
2）编写一个函数，输入是任意一个Index，比如12345，输出这个Index对应的编码
1）计算出相邻2个同位数编码之间的距离，保存于base[4]中：
base[4] = 1, 即aaaa与aaab相隔；base[3]=base[4]*25+1，即aaa与aab相隔；base[2]=25*base[3]+1，即aa与ab相隔；base[1] = 25*base[2]+1，即a与b相隔
2）编码：给定一个字符编码，从高位向低位扫描。对第i位找出相同位数的，且前面i-1位相同，且第i位是a的编码之间的距离
例如baca：
第一步：找出b的位置，即与a之间的距离d1=('b'-'a')*base[1] + 1
第二步：找出ba的位置，即与ba之间的距离d2 = ('a'-'a')*base[2] + 1
第三步：找出bac的位置，即与baa之间的距离d3 = ('c'-'a')*base[3] + 1
第四步：找出baca的位置，即与baca之间的距离d4 = ('a'-'a')*base[4] + 1
即baca的Index = d1+d2+d3+d4-1
3）解码：给定一个索引值，依次去除base[i]，得到与相同位数的，且前面i-1位相同，且第i位是a的编码之间的距离
4. 最小生成树
Prim算法：把定点集合V分为S（已属于最小生成树的顶点），V-S，然后找到pair (i,j)，i属于S，j属于V-S，保证不出现环。时间复杂度是O(n*n)
Kruskal算法：依次挑选最短的边，加入最小生成树中，这里可能会出现环，因此要加一个判断是否会出现环的步骤。如何判断加入挑选的边是否形成环呢？因此一个额外数组v[]标记节点是否已经属于最小生成树，加入一条边的时候(i,j)，如果v[i] = v[j] = 1，那么说明出现环。因此这里的时间复杂度是O(n*n + eloge)
5. 拓扑排序：用queue辅助实现，对于图G，挑选入度为0的节点加入到queue中，然后从queue头取一个元素，把以s为起始节点的边都删去，并且重新统计节点入度，并把入度为0的节点加入到queue中去。时间复杂度为O(n+e)，其中统计节点入度为O(e)，遍历节点O(n)，对每个边做入度-1操作为O(e)
6. 关键路径(need revisit !)
其中节点活动(边)最早开始时间 = 活动最迟开始时间的节点成为关键节点，由关键节点组成的路径为关键路径。这里的重点是求每个节点的最早开始时间，最晚开始时间。其中，最早开始时间，由图的拓扑排序可以求得，最迟开始时间由图的逆拓扑排序可以求出。
其中节点最早开始时间计算方式如下：
对于v，其所向前依赖的节点s都以计算其最早开始时间，那么etv[v] = max{etv[s] + w(v,s)}，取max保证前面的节点都已完成
对于v，其最迟开始时间ltv[v] = min{etv[s] - w(v,s)}，s为所有依赖v后续节点的集合。
然后对于边：
如果活动ai由弧<j,k>表示，其持续时间记为dut(<j,k>)，则有如下关系
e(i) = ve(j)
l(i) = vl(k) - dut(<j,k>)
那所有e(i)=l(i)的节点即为关键路径上的节点。
6. 最短路径，两者的时间复杂度均为O(n*n*n) （need revisit！）
单源最短路径：Dijstkra算法
每对节点的最短路径：Folyd，其主要思想是 A[i][j] = min{A[i][j], A[i][k] + A[k][j]}
7. 一堆数字，如何快速找出不重复的数字
用2-bitmap，每个数字用两位数字表示，如果是00 -> 01，如果是01 -> 10，如果是10 不变，最后输出 bitmap上编码为01的即为没有重复的数字。
8. 如果用循环数组q[0..m-1]表示队列时,该队列只有一个队头指针front,不设队尾指针rear，求这个队列中从队列投到队列尾的元素个数（包含队头、队尾）。
两种情况：
if rear>front，此时n=rear-front+1；
if rear<front，此时n=rear-front+1+m；此时rear-front是一个负数。
所以综上就是：(rear-front+1+m)%m。
9. 母函数在排列组合中的应用
1） 假设有1元，2元，5元，10元硬币，可以从这三种硬币中找出多少种总值为20的组合方式？比如20个1块钱是一种，而一个10元的加2个5元是一种
2） 面前有三种食物，填充值分别为一成饱的小面包、填充值为三成饱的烤鸡腿和填充值为十成饱的烤乳猪，请问能找到几种吃法恰好每次都能吃成十成饱？
母函数也叫生成函数，wiki 中对母函数有详细的描述，而本文所涉及的母函数则限定为普通的母函数。
具体来说，母函数的表现形式为多项式展开式，如：1+x+x2+x3 每一项的x前面的系数和x的幂级数都保存着我们需要的信息。
比如说给我一堆2块钱的硬币，我们能组合出0,2,4,6,8.....的组合，而系数表示组合的不同方式，幂级数代表总值。
这样无限多个2块钱硬币组合所代表的多项式为 1+x2+x4+x6+x8+..........
可能具体的例子会比较清晰吧：假设给你1元钱，2元钱，3元钱的硬币各一个；其代表的多项式展开如下：
(1+x)(1+x2)(1+x3) = (1+x+x2+x3)(1+x3) = 1+x+x2+2x3+x4+x5+x6
注意最后结果： 1+x+x2+2x3+x4+x5+x6 ，比如其中2x3表示为，总额为3的硬币组合有2种。
了解了母函数所表示的信息之后，我们就把原问题转换为了多项式的乘法了。
3）假设有x1个字母A， x2个字母B,..... x26个字母Z，假设字母A的价值为1，字母B的价值为2,... 字母Z的价值为26。那么，对于给定的字母，可以找到多少价值<=50的单词呢？单词的价值就是组成一个单词的所有字母的价值之和，比如，单词ACM的价值是1+3+14=18，单词HDU的价值是8+4+21=33。(组成的单词与排列顺序无关，比如ACM与CMA认为是同一个单词）
10. 最大重叠区间大小
对一个正整数n，如果n在数据文件中某行的两个正整数（假设为A和B）之间，即A<=n<=B或A>=n>=B，则n属于该行；如果n同时属于行i和j，则i和j有重叠区间；重叠区间的大小是同时属于行i和j的整数个数。例如，行（10 20）和（12 25）的重叠区间为[12 20]，其大小为9；行（20 10）和（12 8）的重叠区间为[10 12]，其大小为3。 输入数据：程序读入已被命名为input.txt的输入数据文本文件，该文件的行数在1到1,000,000之间，每行有用一个空格分隔的2个正整数，这2个正整数的大小次序随机，每个数都在1和2^32-1之间。 输出数据：在标准输出上打印出输入数据文件中最大重叠区间的大小，如果所有行都没有重叠区间，则输出0。
step1：对每行记录按左端节点从小到大排序
step2：顺序遍历，对于位置i，intv[i].left < intv[i-1].right，则区间相交。
a=min(intv[i].right,intv[i-1].right)
b=max(intv[i].right,intv[i-1].right)
step3：相交区间为a-intv[i].left+1（如果大于当前发现的最大重叠区间的话就将其替换）;把b的值赋给intv[i].right,继续下一步的处理；
排序的时间复杂度为O(nlogn),处理的复杂度为O(n)。
