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数分笔记

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数学分析 I

符号说明(部分)

存在唯一:\(\exist|\)\(\exist!\)

使得:\(\operatorname{s.t.}\)(so that/such that)

非:\(\neg\)

正整数:\(\mathbb{Z}^+,\mathbb{N}_+,\mathbb{Z}_+,\mathbb{N}^+\)

定义为:\(\triangleq\)\(\dot=\)

笛卡尔乘积

\(A\times B=\{(a,b)|a\in A,b\in B\}\)\((a,b)\) 为有序对)

\(A\times B\times C=\{(a,b,c)|...\}\) VS \((A\times B)\times C=\{((a,b),c)|...\}\)

\(\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times \mathbb{R}\)

映射

仅讨论单值函数。

三要素:\((f,A,B)\)

\(A\):定义域。\(B\):值集。\(f(A)=\{f(x)\in B|x\in A\}\):值域。

一元实值函数:\((f,A)\)\(B=\mathbb{R}\))。

未给出 \(A\),自然定义域,使得其有意义的所有实数(?)。

单射、满射、双射。

有限集、无限集

\(\exist n\in\mathbb{Z}^{+}\),s.t. \(A\)\({1,2,3,\dots,n}\) 存在一个双射,则称 \(A\) 为有限集,且 \(\#A=n\)

不是有限集的集合被称为无限集。

可列集

\(A\)\(\mathbb{Z}^+\) 之间存在一个双射,则称 \(A\) 为可列集。

\[\begin{align} &\Z^+&\to&\N&\to&\Z&\to&\Q\\ &n&\to&n-1&\to&&\to& \end{align} \]

等势

证明 \((0,1)\) 不是可列集(康托对角线法,反证法):

假设 \((0,1)=\{r_n\}_{n=1}^{+\infin}\)

\(r_i=0.\overline{x_1^{(i)}x_2^{(i)}x_3^{(i)}\dots}\),其中 \(x_{i}^{(j)}\in\{0,1,\dots,9\}\)

\(r=0.\overline{x_1x_2x_3\dots}\),满足 \(x_i\in\{1,2,\dots,8\}-\{x_i^{(i)}\}\)

\(r\in(0,1)\)\(r\not\in \{r_n\}_{n=1}^{+\infin}\),矛盾。

\((0,1)\) 为不可数集。

数集与确界原理

约定:\(\empty\) 是有界集(有上界和下界)。

实数集

\[\R=\{\alpha\sub\Q|1.\alpha \neq \empty;2.\alpha \neq \Q;3.\forall x\in\alpha,若 y\in Q且 y<x,则 y\in \alpha;4.\forall a\in \alpha,\exist b\in \alpha,\texttt{s.t.}b>a\} \]

上确界

\(\sup S\)

定义:设 \(A\) 是一个 \(\R\) 的非空子集。

\(\exist \eta \in \R\)\(\texttt{s.t.}\)

  1. \[\forall x\in A, x\le \eta \]

  2. \[\forall(\alpha\in \R 且)\alpha < \eta,\exist x_0\in A, \texttt{s.t.}x_0 > \alpha \]

    等价于:

    \[\forall \epsilon \in \R 且 \epsilon>0,\exist x_0\in A,\texttt{s.t.} x_0>\eta-\epsilon \]

下确界

\(\inf S\)

定义:与上确界类似。

确界原理

非空有界(实)数集必存在确界。

例题:设 \(A=\{\frac{1}{n}|,n\in\Z^+\}\),证明:\(\sup A=1,\inf A = 0\)

证明:先证 \(\sup A = 1\)

  1. \[\forall x\in A, x\le 1 \]

  2. \[\forall \alpha < 1,取x_0=1\in A,x_0=1>\alpha \]

再证 \(\inf A = 0\)

  1. \[\forall x \in A, x\ge 0 \]

  2. \[\forall \beta>0,取 y_0=\frac{1}{\lfloor\frac{1}{\beta}\rfloor+1},则有 y_0<\beta \]

证明阿基米德性质

\(\forall x,y\in \R\),且 \(x>0\),一定 \(\exist n_0\in\Z^+\),s.t. \(n_0x>y\),证明:

\(A=\{nx|n\in \Z^+\}\),下用反证法证明。

假设上述结论不成立,即有 \(\forall n\in \Z^+\) 成立 \(nx\le y\)

故有 \(A\) 为一个非空的有上界实数集。

由确界原理知:\(\sup A\in \R\),不妨设 \(\sup A = \alpha\)

因为 \(x>0\),所以 \(-x<0\),从而 \(\alpha-x<\alpha\)

由于 \(\alpha = \sup A\),所以 \(\alpha - x\) 必不是 \(A\) 的上界。

所以 \(\exist m\in \Z^+\),s.t. \(\alpha -x<mx\),即 \(\alpha<(m+1)x\)

因为 \((m+1)x\in A\),所以 \(\alpha<(m+1)x\)\(\alpha\) 是上确界矛盾。

Dirichlet 函数

\(D:\R\to \R\)

\[x\mapsto D(x)= \begin{cases} 1&,x\in \Q\\ 0&,x\in \R-\Q \end{cases} \]

Riemann 函数

\(R:[0,1]\to \R\)

\[x\mapsto R(x)= \begin{cases} \frac{1}{q}&,x\in(0,1]\cap \Q,x=\frac{p}{q},p,q\in \Z^+,(p,q)=1\\ 0&,x=0或x\in[0,1]-\Q \end{cases} \]

隐函数

与显函数相对,无显式表达式,例如:\(x^2+y^2=1\)

复合函数

\[(f\circ g)(x)=f(g(x)) \]

其他

\[(f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x)\\ (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)\\ \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)} \]

具有某些特性的函数

有界函数

\(f:A\to \R\) 是一个函数。

\(f(A)\) 是一个有界集,则称 \(f\) 是一个有界函数。

\(\Leftrightarrow \exist M>0,\forall x\in A,|f(x)|\leqslant M\)

约定 \(\sup f(A)写成\sup_\limits{x\in A} f(x)\),称为 “\(f\)\(A\) 上的上确界”。下确界类似。

单调函数

\(f:D\to \R\) 是一个函数。

\(\forall x_1,x_2\in D,x_1<x_2\),有 \(f(x_1)\leqslant(\geqslant)f(x_2)\),称 \(f\)\(D\) 上单增(减),简记作 \(f\nearrow\)(应该为一个往右弯曲的箭头)。

注意区分“单调递增”和“严格单调递增”(\(\uparrow\))。

反函数定理:若 \(f:D\to f(D)\) 是一个严格单增的函数,则 \(f\) 必存在反函数 \(g:f(D)\to D\),s.t.\(f\circ g=id_{f(D)}\)\(g\circ f=id_D\)

证明:仅需证明 \(f:D\to f(D)\) 为单射。

反证法:若 \(f:D\to f(D)\) 不是单射,则存在 \(x_1,x_2\in D\)\(x_1 \neq x_2\),s.t. \(f(x_1)=f(x_2)\)

于是若 \(x_1<x_2\),由 \(f\uparrow\)……矛盾。

下证 \(g\uparrow\)

任取 \(y_1,y_2\in f(D)\),满足 \(y_1<y_2\)

\(\exist x_1,x_2\in D, \texttt{s.t.} x_1=g(y_1),x_2=g(y_2)\)

因为 \(y_1<y_2\),所以 \(x_1<x_2\)。(\(x_1=x_2\) 不合题意,\(x_1>x_2\Rightarrow y_1>y_2\))。


2024.9.19

\(\forall a, b\in \R,n\in\Z^+,b^{n}-a^n=(b-a)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1})\).

\(b>a>0,n\in \Z^{+}-\{1\}\) 时有 \(b^n-a^n<(b-a)\times n\times b^{n-1}\)

命题:设 \(a>0,n\in \Z^{+}-\{1\}\),则 \(\exist! x\in \{y\in \R|y>0\}\),s.t. \(x^{n}=a\)

证明:先证唯一性

​ 假设有 \(x_1,x_2\in R\),s.t. \((x_1)^n=(x_2)^n=a\),则

\(0=a-a=(x_1)^n-(x_2)^n=(x_1-x_2)((x_1)^{n-1}+\dots+(x_2)^{n-1})\),故 \(x_1-x_2=0\)\(x_1=x_2\)

​ 再证存在性:

​ 令 \(E=\{t\in\R|t>0 且 t^n<a\}\)

​ 令 \(\tilde t=\frac{a}{a+1}\in\R\),则 \(0<\tilde t<1 且 \tilde t<a\),故 \((\tilde t)^n<\tilde t<a\),故 \(\tilde t\in E\),所以 \(E\neq\varnothing\)

​ 令 \(t^*=a+2\),下可证明 \(t^*\)\(E\) 的一个上界。

\(t^*>a 且 t^*>1\),故 \((t^*)^{n}>t^*>a\)

​ 从而 \(\forall t\in E\),有 \(t^{n}<a<(t^*)^{n}\Rightarrow(t^*)^{n}>t^n\),从而 \(t^*\)\(E\) 的一个上界。

​ 从而 \(E\) 是一个有上界的非空实数集,由确界原理知 \(\sup E\in \R\)

​ 令 \(\sup E=\alpha\),首先 \(\alpha\geqslant \frac{a}{1+a}\),下证 \(\alpha^n=a\)

​ 假设 \(\alpha^n<a\),选取一个 \(h\in(0,1)且 h<\frac{a-\alpha^n}{n(1+\alpha)^{n-1}}\)

​ 于是 \((\alpha + h)^n-\alpha^n<hn(\alpha+h)^{n-1}<h\times n(1+\alpha)^{n-1}<a-\alpha^n\Rightarrow(\alpha+h)^n<a\)

\(\Rightarrow(\alpha+h)\in E\)\(\alpha=\sup E\) 矛盾。

​ 假设 \(\alpha^{n}>a\),令 \(k=\frac{\alpha^n-a}{n\alpha^{n-1}}\),则 \(0<k<\alpha\)

​ 如果 \(t\in \R\)\(t\ge \alpha -k>0\),则有

\(\alpha^n-t^n\le \alpha^n-(\alpha-k)^n<k\times n\alpha^{n-1}=\alpha^n-a\Rightarrow t^{n}>a\Rightarrow t\not\in E\)

\(\Rightarrow \alpha-k\)\(E\) 的一个上界,与 \(\alpha=\sup E\) 矛盾。

\(a>0,b\in \R\),定义 \(a^b\)

  1. \(b\in \Z^+\) 时,\(a^b\triangleq a\times a\times\dots a\)\(n\)\(a\) 相乘)。

    \(b=0,a^{0}\triangleq 1\)

  2. \(b\in \Z-\N\) 时,\(a^b\triangleq \frac{1}{a^{-b}}\)

  3. \(b=\frac{m}{n}\in Q,m\in\Z,n\in\Z^+\)\(a^b=(a^{\frac{1}{n}})^m\)

    \[\begin{aligned} f:&\Q\to\R\\ &x\to a^x \end{aligned} \]

  4. \(b\in\R-\Q\)

    \[a^b\triangleq \begin{cases} \sup\{a^x|x\in \Q 且 x<b\}&,a>1\\ \inf\{a^x|x\in\Q 且 x<b\}&,a\in(0,1) \end{cases} \]

    易证上述两个集合均非空。

奇(偶)函数

\(f:D\to \R\) 是一个函数,又设 \(D\) 关于原点对称(即 \(\forall x\in D,-x\in D\))。

\(\forall x\in D,f(-x)=-f(x)\),则 \(f\) 为奇函数。

\(\forall x\in D,f(-x)=f(x)\),则 \(f\) 为偶函数。

周期函数

(一般)又设 \(D\) 满足:\(\exist T\neq 0\),s.t. \(\forall x\in D, x+T\in D\),又 \(f\) 满足:\(\forall x\in D,f(x+T)=f(x)\),称 \(T\)\(f\) 的一个周期。

(书上)设 \(f:D\to \R\) 是一个函数,\(D\) 满足 \(\exist \sigma >0,\forall x\in D,x\pm \sigma \in D\),又 \(f\) 满足:\(\forall x\in D,f(x\pm\sigma)=f(x)\),则称 \(f\) 是一个周期函数。

按照一般的定义,\(f:(0,+\infin)\to \R\) 也可以是周期函数(单侧)。

数列极限

\[\begin{aligned} f:&\Z^+\to \R\\ &n\mapsto f(n)\stackrel{\text{写作}}{=}a_n \end{aligned} \]

\(\{a_n\}\) 是一个(实)数列,称 \(a_n\) 为数列 \(\{a_n\}\) 的通项。

注意:存在双侧数列,下标取遍 \(\Z\)

\(\{a_n\}\) 是一个数列,若 \(\exist a\in \R\),使得 \(\forall(\epsilon\in \R且)\epsilon>0,\exist N\in\Z^+,\forall(n\in\Z^+且)n>N\),成立 \(|a_n-a|<\epsilon\),则称数列 \(\{a_n\}\) 收敛于 \(a\),记作 \(\lim_{n\to+\infin}a_n=a\),或 \(a_n\overset{n\to +\infin}{\longrightarrow} a(a_n\to a(n\to+\infin))\)

否则,则称 \(\{a_n\}\) 发散:\(\forall a\in \R\),使得 \(\exist \epsilon_0>0,\forall N\in\Z^+,\exist n>N\),成立 \(|a_n-a|\ge\epsilon_0\)

("\(\epsilon-N\)" 语言)

例题:书上 P22 例3~6。

收敛与发散

\(\{a_n\}\) 是一个数列。

收敛

\(\exist a\in \R\),有 \(\forall \epsilon>0,\exist N\in \Z^+,\forall n>N\),成立 \(|a_n-a|<\epsilon\),则称 \(\{a_n\}\) 收敛于 \(a\)

\(\exist a\in \R\),有 \(\forall \epsilon>0\)\(\{a_n\}\) 中仅有有限多项不属于 \((a-\epsilon,a+\epsilon)\) 中,则称 \(\lim_{n\to +\infin}a_n=a\)

发散

\(\forall a\in \R\),有 \(\exist \epsilon_0>0,\forall N\in\Z^+,\exist n_N>N\),成立 \(|a_{n_{N}}-a|\ge\epsilon_0\),则称 \(\{a_n\}\) 发散。

\(\forall a\in \R\),有 \(\exist \epsilon>0\)\(\{a_n\}\) 中有无限多项不属于 \((a-\epsilon,a+\epsilon)\) 中,则称 \(\{a_n\}\) 发散。

证明 \(\{(-1)^{n+1}\}\) 发散。

证:

  1. \(a=1\),取 \(\epsilon_0=\frac{1}{2}>0\)\(\forall N\in\Z\),取 \(n_N=2N>N\),成立 \(|(-1)^{n_N+1}-1|=2\ge \frac{1}{2}=\epsilon\)

    由数列不以 \(a\) 为极限的定义得于是可得 \(1\) 不是 \(\{(-1)^{n+1}\}\) 的极限。

  2. 类似的,可以证明 \(a=-1\) 不是 \(\{(-1)^{n+1}\}\) 的极限。

  3. \(a\neq 1\)\(a\neq -1\),令 \(\epsilon_0=min\{|a-1|,|a+1|,\frac{1}{2}\}>0\)\(\forall N\in \Z^+\),取 \(n_N=2N>N\),成立 \(|(-1)^{n_N+1}-a|=|-1-a|\ge \epsilon_0\)

    于是可得,\(a\) 不是 \(\{(-1)^{n+1}\}\) 的极限。

综上所述,\(\{(-1)^{n+1}\}\) 发散。

另证:\(\lim_{n\to+\infin}a_{2n}=x\)\(\lim_{n\to+\infin} a_{2n-1}=y\),则 \(\{a_n\}\) 收敛等价于 \(x=y\)

子列

定义(书上 P31 定义 1)。

特别的,若 \(\{a_n\}\) 的子列 \(\{a_{n_k}\}\) 从第 \(i\) 项开始和 \(\{a_n\}\) 从第 \(j\) 项开始”一摸一样“,则称 \(\{a_{n_k}\}\)\(\{a_n\}\) 的一个平凡子列。(注意:\(i,j\) 可以相同也可以不同,要求 \(n_i=j,n_{i+1}=j+1\dots\))即”去掉 \(\{a_n\}\) 中有限多项得到平凡子列 \(\{a_{n_k}\}\)“。否则称为非平凡子列

例题

P24 例8,例9

无穷大数列

\(\{a_n\}\) 是无穷大数列等价于 \(\lim_{n\to\infin}a_n=\infin\),定义为(”\(M-N\)“ 语言):

\(\forall M>0,\exist N\in\Z^+,\forall n>N(\Leftrightarrow n\in\cup(+\infin)\cap\Z^+\Leftrightarrow n\in(N,+\infin)\cap\Z^+)\),有 \(|a_n|>M\)

称当 \(n\) 趋向于 \(+\infin\) 时,\(a_n\) 趋向于 \(\infin\)。记作 \(a_n\to \infin(n\to+\infin)\) 或把括号内的写在箭头上。

例:\(\{(-1)^nn\}\)

另:正(负)无穷大数列……:\(\{n\}\)\(\{-n\}\))。

收敛数列的性质

  1. 唯一性:若 \(\lim\limits_{n\to+\infin}a_n=a\in\R\)\(\lim\limits_{n\to+\infin}a_n=b\in\R\),则 \(a=b\)

    证明:

    \(\because\)\(\lim\limits_{n\to+\infin}a_n=a\in\R\)\(\lim\limits_{n\to+\infin}a_n=b\in\R\)

    \(\therefore\forall \epsilon>0\)\(\exist N_1\in\Z^+,\forall n>N_1\),有 \(|a_n-a|<\epsilon\)\(\exist N_2\in\Z^+,\forall n>N_2\),有 \(|a_n-b|<\epsilon\)

    \(N=N_1+N_2\in\Z^+\)\(|a-b|\le|a_{2N}-a|+|b-a_{2N}|<2\epsilon\) \(\Rightarrow a=b\)

  2. 有界性:若 \(\lim\limits_{n\to+\infin}a_n=a\in\R\),则 \(\{a_n\}\) 有界。

    证明:\(\because\)……特别地,取 \(\epsilon=1\)\(\exist N\in\Z^+,\forall n>N\),有 \(|a_n-a|<1\),即 \(|a_n|<|a|+1\)

  3. 保号性:若 \(\lim\limits_{n\to+\infin}a_n=a>0(<0)\),则 \(\exist N\in\Z^+,\forall n>N\),有 \(a_n>(<)0\)

    证明:……特别地,取 \(\epsilon=\frac{a}{2}>0\)\(\exist N\in\Z^+,\forall n>N\),有 \(|a_n-a|<\epsilon=\frac{a}{2}\Rightarrow a_n>\frac{a}{2}>0\)

  4. 保不等式性

    若两数列存在极限且从某一项开始 \(a_n\le b_n\) 恒成立,则 \(a=\lim a_n\le \lim b_n=b\)(反证法:令 \(\epsilon=\frac{|b-a|}{3}\)\(n\) 足够大时 \(a_n\in(a-\epsilon,a+\epsilon)\)\(b_n\in(b-\epsilon,b+\epsilon)\)\(a_n\) 必然比 \(b_n\) 大)。

    注意,就算 \(a_n<b_n\),极限也是 \(\le\),例如 \(\{\frac{1}{n+1}\}\)\(\{\frac{1}{n}\}\)

  5. 迫敛性(夹逼原则、两边夹法则)

    \(\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}\) 是三个数列,若 \(\exist N_0\in\Z^+\)\(\forall n>N_0\)\(a_n\le c_n\le b_n\),且 \(\lim\limits_{n\to+\infin}a_n=\lim\limits_{n\to+\infin}b_n=a\in\R\),则 \(\lim\limits_{n\to+\infin}c_n=a\)

    证明:\(\because\)…… \(a-\epsilon< a_n\le c_n\le b_n<a + \epsilon\)……

\(a_n\ge 0,n=1,2,\dots\),且 \(\lim\limits_{n\to+\infin}a_n=a\in \R\),证明 \(\lim\limits_{n\to+\infin}\sqrt {a_n}=\sqrt a\)

证明:

  1. \(a=0\),因为 \(\lim\limits_{n\to+\infin}a_n=0\),所以 \(\forall \epsilon>0,\exist N\in\Z^+,\forall n>N,|a_n|<\epsilon^2\Rightarrow |\sqrt{a_n}|<\epsilon\)

  2. \(a\neq 0\)分母有理化),\(|\sqrt{a_n}-\sqrt a|=\frac{|a_n-a|}{|\sqrt{a_n}+\sqrt a|}\)

    \(\because \lim\limits_{n\to+\infin}a_n=a>0\)\(\therefore \exist N\in\Z^+,\forall n>N,a_n>\frac{a}{4}\Rightarrow\sqrt{a_n}>\frac{\sqrt{a}}{2}\Rightarrow0<\frac{1}{\sqrt{a_n}+\sqrt a}<\frac{2}{3\sqrt{a}}\)

    \(\forall \epsilon>0,\exist \tilde N>N,\forall n>\tilde N\)\(|a_n-a|<\frac{3\sqrt{a}}{2}\times \epsilon\)……即证。

例(迫敛性)

证明 \(n^{\frac{1}{n}}\to 1(n\to +\infin)\)

证明:令 \(h_n=n^{\frac{1}{n}}-1\),则 \(d\),则 \(0<h_n<\frac{2}{n}\)……

证明:\(\lim_{n\to+\infin}\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}=0\)

证:\(\forall \epsilon>0\),因为 \(\lim_{n\to+\infin}\frac{\left(\frac{1}{\epsilon}\right)^n}{n!}=0\)(上节课证明过),

所以 \(\exist N\in\Z^+,\forall n>N\),有 \(\frac{\left(\frac{1}{\epsilon}\right)^n}{n!}<1\),即 \(\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}<\epsilon\)

由极限定义知:

\[\lim_{n\to+\infin}\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}=0 \]

或者用 Stirling 公式。

收敛数列四则运算

\(\lim_{n\to+\infin}a_n=a\in\R\)\(\lim_{n\to+\infin}b_n=b\in\R\),则:

  1. \[\lim_{n\to+\infin}(a_n\pm b_n)=a\pm b \]

    证明:

    \[0\le|a_n+b_n-(a+b)|\le|a_n-a|+|b_n-b| \]

    两边的极限都是 \(0\)

  2. \[\lim_{n\to+\infin}(a_nb_n)=a\cdot b \]

    证明:

    \[\begin{aligned} 0\le|a_nb_n-ab|&=|a_nb_n-a_nb+a_nb-ab|\\ &\le|a_n||b_n-b|+|b||a_n-a| \end{aligned} \]

    两边极限都是 \(0\)。(\(a_n\) 有界,故可以找到绝对值的上界)。

  3. \(\forall n\in\Z^+,b_n\neq 0,b\neq 0\),则有

    \[\lim_{n\to+\infin}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b} \]

     2024-09-24 102208.png

命题:数列 \(\{a_n\}\) 收敛 \(\Leftrightarrow\) \(\{a_n\}\) 的所有非平凡子列收敛。

证明:\(\Rightarrow\) 对于任意 \(\{a_{n_{k}}\}\)\(\{a_n\}\) 的非平凡子列,总有 \(n_{k}\ge n\),易证。

\(\Leftarrow\) \(\{a_{2k}\},\{a_{3k}\},\{a_{2k-1}\}\) 都是 \(\{a_n\}\) 的非平凡子列。由题知:他们均收敛。

\(\{a_{6k}\}\)\(\{a_{3k}\}\)\(\{a_{2k}\}\) 的公共子列,且也是 \(\{a_{n}\}\) 的非平凡子列。设其极限为 \(a\)…… \(\{a_{2k}\},\{a_{3k}\}\) 极限均为 \(a\)

\(\{a_{6k-3}\}\)\(\{a_{2k-1}\}\)\(\{a_{3k}\}\)……从而 \(\lim_{n\to+\infin}a_{2n-1}=a\)

于是有 \(\lim_{n\to+\infin}a_n=a\)

数列极限存在的一些判定条件

单调有界定理

(在实数系中,)若 \(\{a_n\}\) 单调(递增/递减)有(上/下)界,则 \(\{a_n\}\) 收敛。

证明:

  1. \(\{a_n\}\) 单增有上界,令 \(E=\{a_n|n\in \Z^+\}\sub \R\),且 \(E\neq \varnothing\)\(E\) 有上界,有确界原理知:\(E\) 存在上确界,令 \(\alpha=\sup E\in \R\),下证明:\(\lim_{n\to+\infin}a_n=\alpha\)

    因为 \(\alpha=\sup E\),所以:

    1. \(\forall n\in\Z^+,a_n\le\alpha\)
    2. \(\forall \epsilon>0,\exist a_{n_0}\in E\),使得 \(a_{n_{0}}>\alpha-\epsilon\)

    于是有对于任意的 \(\epsilon>0\),取 \(N=n_0\in\Z^+,\forall n>N\),有 \(a-\epsilon<a_{n_0}\le a_n\le \alpha\le\alpha+\epsilon\)

    \(|a_n-\alpha|<\epsilon\)

  2. 单减同理。

  • 例:\(a_n=\sum_{i=1}^n\frac{1}{n^2}\),证明其收敛。

    只需证明 \(a_n\) 单增并用裂项相消求任意上界(比如 \(2\))。

  • 例:\(a_{n}=\sum_{i=0}^n\frac{1}{n!}\),证明收敛。

    单增。裂项,有上界 \(3\)

  • P34 例三

  • 重要极限:P34 例四

    \(\forall n\in\Z^+\),令 \(b_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\),证明 \(\{b_n\}\) 收敛。

    证明:\(b_1=2,n\in\Z^+-\{1\}\)

    \[\begin{aligned} b_{n}&=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\\ &=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left(\frac{1}{n}\right)^k\\ &=1+1+\sum_{k=2}^{n}\frac{n(n-1)\dots(n-k+1)}{k!n^k}\\ &=2+\sum_{k=2}^n\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})\dots(1-\frac{k-1}{n})\\ b_{n+1}&=2+\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n+1})\dots(1-\frac{k-1}{n+1}) \end{aligned} \]

    所以 \(\forall n\in\Z^+,b_n<b_{n+1}\)

    \[b_n\le2+\sum_{k=2}^n\frac{1}{k!}<3 \]

    (由上面第二个例题知)故有界。

  • P35 例五,证明任意数列都存在单调子列。

致密性定理

任何一个有界数列必有收敛子列。

证明:任何数列必有单调子列(P35例五),该子列有界,故……

柯西收敛准则

P36

\(\{a_n\}\) 收敛等价于 \(\forall\epsilon>0,\exist N\in\Z^+,\forall n,m>N\)\(|a_n-a_m|<\epsilon\),则称 \(\{a_n\}\) 是一个 Cauchy 列(基本列)。

等价定义:\(\forall\epsilon>0,\exist N\in\Z^+,\forall n>N,p\in \Z^+\)\(|a_n-a_{n+p}|<\epsilon\)

书上 P36 证明等价。

证明 Cauchy 列 \(\{a_n\}\) 有界:

特别地,对于 \(\epsilon=1\),有 \(\exist N\in\Z^+,\forall n>N,p\in\Z^+\),有 \(|a_{n+p}-a_n|<\epsilon\)

\(\Rightarrow \forall p\in\Z^+,|a_{N+1+p}|<|a_{N+1}|+1\),则其有界 \(\max\{|a_1|,|a_2|,\dots,|a_{N+1}|+1\}\)

则由致密性定理知:存在子列 \(\{a_{n_k}\}\) 有极限 \(\zeta\)

\(\forall \epsilon>0,\exist N\in\Z^+\),使得 \(\forall n>N\)\(|a_n-\zeta|=|a_n-a_{n_{N+K}}+a_{n_{N+K}}-\zeta|\le|a_n-a_{n_{N+K}}|+|a_{n_{N+K}}-\zeta|<\epsilon\)


\(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}=\ln n+\epsilon_n\)

\(\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}\frac{1}{i}=(\sum_{i=1}^{2n}\frac{1}{i})-(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i})=\ln 2+\epsilon_{2n}-\epsilon_n\)


确界原理 \(\Rightarrow\) 单调有界定理 \(\Rightarrow\) 致密性定理 \(\Rightarrow\) Cauchy 收敛准则。

证明:\(\{a_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\}\) 不收敛

证:只需证明 \(\{a_n\}\) 不是柯西列

\(\exist \epsilon_0>0,\forall N\in\Z^+,\exist n_N>N,\exist p_N\in\Z^+\),有 \(|a_{n_N+p_N}-a_{n_N}|\ge \epsilon_0\)

因为:\(1,\frac{1}{2},\frac13+\frac14,\frac15+\frac16+\frac17+\frac18,\dots\) 均大于等于 \(\frac12\)

\(D\subseteq \R\)\(x_0\in\R\),若 \(\exist\{x_n\}\) 满足 \(\forall n\in\Z^+,x_n\in D,\forall n,m\in\Z^+ 且 n\neq m,则 x_n\neq x_m\),且 \(\lim_{n\to+\infin}x_n=x_0\),则称 \(x_0\)\(D\) 的一个聚点。

函数极限

\(f:D\to \R\) 是一个函数。

\[\begin{aligned} &y=f(x),x\in D,&x_0\in\R\\ x&\to+\infin&y&\to+\infin\\ x&\to-\infin&y&\to-\infin\\ x&\to\infin&y&\to\infin\\ x&\to x_0&y&\to y_0\in\R\\ x&\to x_0+&y&不趋向于任意实数或+\infin或-\infin\\ x&\to x_0-&\\ \end{aligned} \]

共 30 种可能。

先考虑极限存在的情况:

  1. \(\epsilon-M\) 语言)若 \(+\infin\)\(D\) 的一个无限聚点,若 \(\exist a\in\R,\forall \epsilon>0,\exist M>0,\forall x\in D且 x>M\),有 \(|f(x)-a|<\epsilon\)。称 \(f\)\(x\) 趋向于 \(+\infin\) 时以 \(a\) 为极限,记作 \(\lim_\limits{x\to+\infin\\x\in D}f(x)=a\)\(x\in D\) 可不写)。

  2. \(-\infin\) 类似 1。

  3. \(\infin\)\(D\) 的一个无限聚点,若…… \(\forall x\in D 且 |x|>M\) ……

    例 证明:\(\lim_\limits{x\to+\infin}\frac{1}{x}=0\)\(\lim_\limits{x\to-\infin}\frac{1}{x}=0\)\(\lim_\limits{x\to\infin}\frac{1}{x}=0\)

    只证第一个:\(\forall \epsilon>0,\exist M=\frac1{\epsilon}\),则 \(\forall x>M\)\(|\frac1x-0|=\frac{1}{x}<\frac1M=\epsilon\)

  4. \(\epsilon-\delta\) 语言)若 \(x_0\)\(D\) 的一个聚点,若 \(\exist a\in \R\)\(\forall \epsilon>0,\exist \delta>0,\forall x\in D 且 0<|x-x_0|<\delta\),有 \(|f(x)-a|<\epsilon\),称当 \(x\to x_0\) 时以 \(a\) 为极限,记作 \(\lim_\limits{x\to x_0}f(x)=a\)

  5. \(x_0\)\(D\) 上一个聚点且 \(\exist\{x_n\}\) 两两不同,\(x_n>x_0\)\(x_n\in D\),s.t. \(\lim_\limits{n\to+\infin}x_n=x_0\),若 \(\exist a\in \R\)\(\forall \epsilon >0,\exist\delta>0,\forall x\in D 且 0<x-x_0<\delta\),有 \(|f(x)-a|<\epsilon\),则称 \(f\)\(x\to x_0+\) 时以 \(a\) 为极限,记作 \(\lim_\limits{x\to x_0+}f(x)=a\)

  6. 类似 5。

函数极限的性质

以下为了方便总假设 \(f\)\(\mathring{U}(x_0;\tilde\delta)\) 上有定义(\(x_0\in\R,\tilde\delta>0\))。

  1. 唯一性:若 \(\lim_{x\to x_0} f(x)=a\in\R\),又 \(\lim_{x\to x_0} f(x)=b\in\R\),则 \(a=b\)

  2. 局部有界性:若 \(\lim_{x\to x_0} f(x)=a\in\R\),则 \(\exist \delta>0,M>0,\forall x\in\mathring U(x_0;\delta)\),有 \(|f(x)|\le M\)

  3. 局部保号性:若 \(\lim_{x\to x_0} f(x)=a\in\R\),且 \(a>0\),则 \(\exist \delta>0,\forall x\in\mathring U(x_0;\delta)\),有 \(f(x)>\frac{a}{2}>0\)\(a<0\) 同理。

  4. 局部保不等式性:若 \(\lim_{x\to x_0} f(x)=a\in\R,\lim_{x\to x_0} g(x)=b\in\R\),且 \(\exist \delta_1>0,\forall x\in\mathring U(x_0;\delta_1)\),有 \(f(x)\le g(x)\),则 \(a\le b\)。(反过来叙述:若 \(a<b\),则 \(f(x)\le g(x)\))。

  5. (迫敛性)夹逼原理:设 \(f,g,h\)\(x_0\) 的一个去心邻域 \(\mathring U(x_0;\tilde\delta)\) 内有定义,且满足 \(\forall x\in\mathring U(x_0;\tilde\delta)\),有 \(f(x)\le g(x)\le h(x)\),又 \(\lim_{x\to x_0} f(x) = \lim_{x\to x_0} h(x)=a\in\R\),则 \(\lim_{x\to x_0}g(x)=a\)

  6. (四则运算):设 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=a\in\R,\lim_{x\to x_0}g(x)=b\in\R\),则有

    1. \(\lim_{x\to x_0}(f(x)\pm g(x))=a\pm b\)
    2. \(\lim_{x\to x_0} f(x)\cdot g(x)=ab\)
    3. \(b\neq 0\),则 \(\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a}{b}\)

    注意:需要保证极限均存在。

  7. 复合函数求极限的一些充分条件

    例:若 \(\lim_{x\to a}g(x)=A,\lim_{y\to A}f(y)=B\),问:是否有 \(\lim_{x\to a}f(g(x))=B\)

    否,反例:

    \[\begin{aligned} g(x)&\equiv 0\\ f(x)&=\begin{cases} 1&,y=0\\ 0&,y\neq 0 \end{cases} \end{aligned} \]

    \(\lim_{x\to a}g(x)=A,\lim_{y\to A} f(y)=B\),存在 \(a\) 的某个去心邻域 \(\mathring U(a)\),使得 \(\forall x\in\mathring U(a),g(x)\in D_f\),如果满足以下条件之一:

    1. \(\exist a\) 的某个去心邻域 \(\tilde{\mathring{U}}(a)\sub \mathring U\),且 \(\forall x\in\tilde{\mathring U}(a),g(x)\neq A\)

      证明:

      \[\lim_{y\to A}f(y)=B\Leftrightarrow\forall \epsilon>0,\exist \delta>0,\forall y\in\{t\in D_f|0<|t-A|<\delta\},|f(y)-B|<\epsilon \]

      \[\lim_{x\to a}g(x)=A\Leftrightarrow\forall \delta>0,\exist \gamma>0,\forall x\in\{s\in D_g|0<|s-a|<\gamma\},|g(x)-A|<\delta \]

      由条件知 \(0<|g(x)-A|\),故可用变量替换 \(g(x)\)

    2. \(\lim_{y\to A} f(y)=f(A) 且 A\in \R\)(常用)

    3. \(A=\infin(+\infin 或 -\infin),B\in \R\)

    则有 \(\lim_{x\to a}f(g(x))=\lim_{y\to A}f(y)=B\)。(变量替换)

海涅定理(Heine Theorem)

\(f\)\(\mathring U(x_0;\delta)\) 内有定义,则有

  1. \(\lim_{x\to x_0}f(x)\) 存在,则 \(\forall \{x_{n}\}(x_n\in\mathring U(x_0;\delta))\)\(\lim_{n\to +\infin}x_n=x_0\),由 \(\lim_{n\to+\infin}f(x_n)\) 存在且等于 \(\lim_{x\to x_0}f(x)\)。(易证)

  2. \(\forall \{x_n\}(x_n\in\mathring U(x_0;\delta))\)\(\lim_{n\to +\infin}x_n=x_0\),对应的函数值数列 \(\{f(x_n)\}\) 均收敛,则 \(\lim_{x\to x_0}f(x)\) 必存在。\(\exist a\in \R\),使得:

    1. \(\lim_{n\to+\infin}f(x_n)=a\)

      证明:取 \(\{y_n\}\) 满足 \(y_n\in\mathring U(x_0;\delta)\)\(\lim_{n\to +\infin}y_n=x_0\),由题意 \(\{f(y_n)\}\) 收敛,不妨设 \(\lim_{n\to+\infin}f(y_n)=a\in\R\)

      再任取 \(\{x_n\}\),满足 \(x_n\in\mathring U(x_0;\delta)\)\(\lim_{n\to+\infin}x_n=x_0\),由题意 \(\{f(x_n)\}\) 收敛。

      再任取 \(\{z_n\}\)\(z_{2k-1}=y_k 且 z_{2k}=x_k\),则满足 \(z_n\in\mathring U(x_0;\delta)\)\(\lim_{n\to+\infin}z_n=x_0\),由题意 \(\{f(z_n)\}\) 收敛且极限与 \(\{f(y_n)\}\)\(\{f(x_n)\}\) 相同,故 \(\lim_{n\to+\infin}f(x_n)=a\)

    2. \(\lim_{x\to x_0}f(x)=a\)

      \(f(x)\)\(x\to x_0\) 时不以 \(a\) 为极限,则 \(\exist \epsilon_0>0,\forall \delta>\tilde\delta>0,\exist x\in\mathring U(x_0;\tilde\delta)\)\(|f(x)-a|\ge\epsilon_0\)

      依次取 \(\tilde\delta=\min\{\delta,\frac1n\}\)\(n=1,2,\dots\)),\(\exist x_n\in\mathring U(x_0;\tilde\delta)\),使得 \(|f(x_n)-a|\ge \epsilon_0\),则 \(x_n\in\mathring U(x_0,\delta)\),且 \(\lim_{n\to+\infin}x_n=x_0\),由 2.1 知 \(\{f(x_n)\}\) 收敛于 \(a\),与 \(|f(x_n)-a|\ge \epsilon_0\) 矛盾,故 \(\lim_{x\to x_0} f(x) = a\)

柯西准则

\(f\)\(\mathring U(x_0;\rho)\) 上有定义,则 \(\lim_{x\to x_0} f(x)\) 存在等价于 \(\forall \epsilon>0,\exist\delta >0,\forall x_1,x_2\in\mathring U(x_0;\delta)\),有 \(|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon\)

(充分性好证)

必要性证明:

\(\mathring U(x_0;\rho)\) 中任取一个数列 \(\{x_n\}\) 满足 \(\lim_{n\to+\infin}x_n=x_0\),……,从而得到 \(\{f(x_n)\}\) 是一个 Cauchy 列,由数列极限的柯西收敛原理知:\(\{f(x_n)\}\) 收敛,设为 \(\lim_{n\to+\infin}f(x_n)=a\in\R\)

对于题设中的 \(\epsilon>0\)\(\exist N_1\in\Z^+,\forall n>N_1\),有 \(|f(x_n)-a|<\epsilon\)(且 \(x_{n}\in\mathring U(x_0,\delta)\)),\(\forall x\in\mathring U(x_0;\delta)\),有 \(|f(x)-a|\le|f(x)-f(x_{N+1})|+|f(x_{N+1})-a|<2\epsilon\)

由题知:\(\lim_{x\to x_0}f(x)=a\)。得证。

重要极限
  1. \(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\)

    \(\forall x\in(0,\frac{\pi}{2}),\sin x<x<\tan x\),故 \(\cos x < \frac{\sin x}{x}<1\),当 \(x\to 0+\) 时,三者极限均为 \(1\)

  2. \(\lim_{x\to\infin}(1+\frac{1}{x})^x=e\)

    证明基础:\(\lim_{n\to+\infin}(1+\frac{1}{n})^n=e\)

    书上 P54

无穷小量与无穷大量

无穷小量

\(x_0\in\R,\rho >0\) 为常数,\(f\)\(\mathring U(x_0;\rho)\) 上面有定义,若 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=0\),则称 \(f\) 为当 \(x\to x_0\) 时的无穷小量,记作 \(f(x)=o(1),x\to x_0\)

\(f\) 在某个 \(x_0\) 的邻域上有界,则称 \(f\) 为当 \(x\to x_0\) 时的有界量。

无穷小量阶的比较

注意:两个无穷小量的比值可能不存在,这组无穷小量不能比较。

\(f,g\) 都是当 \(x\to x_0\) 时的无穷小量。

  1. \(\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=0\):则称当 \(x\to x_0\) 时,\(f\)\(g\) 的高阶无穷小量,也称当 \(x\to x_0\) 时,\(g\)\(f\) 的低阶无穷小量,记作 \(f(x)=o(g(x)),x\to x_0\)

    \(o(g(x))\) 的含义(“小欧 ”):

    \[o(g(x))=\left\{在 \mathring U(x_0) 上有意义的 f|\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0\right\} \]

    所以上面的 \(=\) 其实是 \(\in\),只是记作 \(=\)

    例:\(o(x^2)+o(x)=o(x)\)

  2. 若存在两个正数 \(K\le L\) 及一个 \(x_0\) 的去心邻域 \(\mathring U(x_0)\),使得 \(\forall x\in \mathring U(x_0)\),有 \(K\le\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|\le L\),则称 \(f\)\(g\) 为当 \(x\to x_0\) 时的同阶无穷小量。

    特别地,若 \(\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=c\neq 0\),则 \(f\)\(g\) 为当 \(x\to x_0\) 时的同阶无穷小量。

    注意:\(x^2\)\(x^2\sin\frac1x\) 不是 \(x\to 0\) 时的同阶无穷小量,但是 \(x^2\)\(x^2(\sin\frac1x+2)\)\(x\to 0\) 时的同阶无穷小量,即使他们相除的极限不存在。

    \(\exist L>0\),以及一个 \(\mathring U(x_0)\),使得 \(\forall x\in \mathring U(x_0)\),有 \(|\frac{f(x)}{g(x)}|\le L\),则记作 \(f(x)=O(g(x)),x\to x_0\)(“大欧”,不要求 \(f,g\) 均为无穷小量)。(几乎不用

  3. 等价无穷小量。

    \(\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = 1\),则称 \(f\)\(g\) 为当 \(x\to x_0\) 时的等价无穷小量,记作 \(f(x)\sim g(x),x\to x_0\)

等价替换定理:设 \(f,g,h\)\(\mathring U(x_0)\) 上有定义,且 \(f(x)=o(1),x\to x_0\)\(g(x)=o(1),x\to x_0\),且 \(f(x)\sim g(x),x\to x_0\),则有:

  1. \(\lim_{x\to x_0}f(x)h(x)=A\in \R\),则 \(\lim_{x\to x_0} g(x)h(x)=A\)
  2. \(\lim_{x\to x_0}\frac{h(x)}{f(x)}=B\in\R\),则 \(\lim_{x\to x_0}\frac{h(x)}{g(x)}=B\)

无穷大量

\(f\)\(\mathring U(x_0,\rho),(\rho >0)\) 上有定义,若 \(\forall G>0,\exist 0<\delta <\rho,\forall x\in \mathring U(x_0,\delta)\),成立 \(f(x)>G\),则称 \(f\)\(x\to x_0\) 时以 \(+\infin\) 为“极限”,记作 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infin\),(\(-\infin,\infin\) 同理)。

\[\lim_{x\to+\infin}f(x)=+\infin\Leftrightarrow\forall G>0,\exist M>0,\forall x\in(M,+\infin)(\cap D_f),有 f(x)>G \]

例:证明 \(\lim_{x\to+\infin}e^x=+\infin\)

证:

\[\because \lim_{n\to+\infin} e^n=+\infin(e^n=(1+e-1)^{n}\ge 1+n(e-1))\\ \therefore \forall G>0,\exist N\in \Z^+,\forall n<N,e^n>G\\ 又 \because e^x 单增\\ \therefore\dots(从整数到实数) \]

例:\(\lim_{x\to+\infin}a^x=+\infin\Rightarrow \lim_{x\to-\infin}a^x=0\)

证:由题 \(\forall G>0,\exist M>0,\forall x>M,a^x>G\)

所以 \(\forall \epsilon>0\),令 \(G=\frac{1}{\epsilon}>0,\exist M>0,\forall x>M\),有 \(a^x>G=\frac1\epsilon\),于是令 \(x=-t\),有 \(\frac{1}{a^t}>\frac1\epsilon\)\(\forall t<-M\),有 \(0<a^t<\epsilon\)

渐近线

\(y=f(x),x\in D\) 的函数图像是一条“曲线”(平面曲线)。

  • 连续曲线
  • 光滑曲线
  • 分段光滑曲线

如果点 \((x,y)\) 沿着曲线 \(y=f(x)\) 连续变化如下:

当点 \((x,y)\) 的两个坐标之一趋向于无穷时,此点到某一定直线 \(y=kx+b\)(或 \(x=C\)\(C\) 是常数))的距离趋向于 \(0\),则称此直线为曲线 \(y=f(x)\) 的一条渐近线。

  • \(y=C\) 水平渐近线

  • \(x=C\) 垂直渐近线

    \(\exist x_0\in D_f'\),且 \(\lim_{x\to x_0+}f(x)=\infin\)(或 \(\pm\infin\))或 \(\lim_{x\to x_0-}f(x)=\infin,\pm\infin\),称 \(x=x_0\)\(y=f(x)\) 的垂直渐近线。

  • \(y=kx+b\) 斜渐近线..

    \(k,b\) 为待定常数。

    \[\begin{aligned} &\lim_{x\to +\infin}\frac{|f(x)-(kx+b)|}{\sqrt{1+k^2}}=0\\ \Rightarrow&\lim_{x\to+\infin}(f(x)-(kx+b))=0\\ \end{aligned} \]

    \(\lim_{x\to+\infin}\frac{f(x)}{x}=k\in\R\)\(\lim_{x\to +\infin}(f(x)-kx)=b\in\R\),则称 \(y=kx+b\)\(y=f(x)\) 的一条(右)斜渐近线。

    左渐近线同理。

例:求曲线 \(y=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}\) 的渐近线。

解:函数 \(y=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}\) 的定义域为 \((1,+\infin)\cup(-\infin,-1)\)

\(\because \lim_{x\to1+}\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}=+\infin,\therefore x = 1\) 是曲线 \(y=f(x)\) 的一条垂直渐近线。(\(x\to-1-\) 同理)

\[\lim_{x\to+\infin}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infin}\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=\lim_{x\to+\infin}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}=1\\ \lim_{x\to+\infin}(\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}-x)=\lim_{x\to+\infin}\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}(x-\sqrt{x^2-1})=1\cdot 0=0 \]

所以 \(y=x\)\(y=f(x)\) 的(右)(斜)渐近线,左斜渐近线同理。

*例:求 \(y=\ln x\) 的渐近线。

解:\(\lim_{x\to0+}\ln x=-\infin\),所以 \(x=0\)\(y=\ln x\) 的渐近线。

\(\lim_{x\to+\infin}\frac{\ln x}{x}=0\)(后面再证,\(\lim_{n\to+\infin}\frac{n^k}{a^n}=0\))……

函数连续定理

\(f:D\to\R\) 是一个函数,\(x_0\in D\)

\(\forall \epsilon>0,\exist \delta>0,\forall x\in U(x_0,\delta)\cap D\),有 \(|f(x)-f(x_0)|<\epsilon\),则称 \(f\)\(x_0\) 处连续。

(孤立点的定义:设 \(D\)\(\R\) 的一个非空子集,若 \(x_0\in D\)\(\exist \delta >0\),s.t. \(U(x_0;\delta)\cap D=\{x_0\}\),则称 \(x_0\)\(D\) 的一个孤立点。)

注:

  1. \(x_0\in D'\),则 \(f\)\(x_0\) 处连续 \(\Leftrightarrow\lim_{x\to x_0}f(x) =f(x_0)\)
  2. \(f\)\(D\) 的孤立点处“自动”连续

\(\forall x\in D,x_0\in D\),令 \(\Delta x=x-x_0\),称 \(\Delta x\) 为自变量 \(x\) 的增量

\(\forall y\in f(D),y_0\in f(D)\),令 \(\Delta y=y-y_0\),称 \(\Delta y\) 为因变量 \(y\) 的增量

\(\Delta y|_{x=x_0}\) 为函数 \(y=f(x)\)\(x=x_0\) 处的函数增量。

\(f\)\(x_0\) 处连续,则有 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=f(\lim_{x\to x_0}x)\)

右连续:\(\lim_{x\to x_0+}f(x)=f(x_0)\),左同理。

\(f\)\(x_0\) 处连续等价于 \(f\)\(x_0\) 处既左连续又右连续。

间断点(不连续点)及其分类

\(f:D\to \R\) 是一个函数。

(间断点的考虑范围是 \(D'\cup D\) 记作 \(\overline D\)(称作 \(D\) 的闭包))(\(D'\) 应该是 \(\{x|\forall \delta>0,U(x,\delta)\cap D\neq \varnothing\}\)

  1. 可弃间断点:若 \(\lim_{x\to x_0+}f(x)=\lim_{x\to x_0-}f(x)=a\),且 \(f(x)\)\(x_0\) 处无定义或 \(a\neq f(x_0)\),则称 \(x_0\)\(f(x)\) 的可弃间断点。

    \[f(x)=\begin{cases}\frac{\sin x}{x}&,x\neq 0\\ 0&,x=0\end{cases} \]

    \(x=0\)\(f(x)\) 可弃间断点。

  2. 跳跃间断点:若 \(\lim_{x\to x_0+}f(x)\neq\lim_{x\to x_0-}f(x)\),无论 \(f\)\(x_0\) 处是否有定义,都称 \(x_0\)\(f\) 的跳跃间断点。

    \[f(x)=\begin{cases}e^x&,x>0\\0&,x\le 0\end{cases} \]

    \(x=0\)\(f(x)\) 的跳跃间断点。

  3. 除去前两种(第一类间断点)的间断点都称为第二类间断点。

    \(x=0\)\(f(x)=e^{\frac1x}\) 的第二类间断点(右极限不存在)。

分段连续\(f\)\([a,b]\) 区间上仅有有限个间断点。

黎曼函数 \(R(x)\)\(\Q\cap(0,1)\)\(R(x)\) 所有间断点且为可去间断点。

连续函数的性质

Th. 若 \(f\)\(x_0\) 处连续,\(g\)\(y_0=f(x_0)\) 处连续,且 \(g\circ f\)\(x_0\) 处的某个邻域有定义,则 \(g\circ f\)\(x_0\) 处连续。

\[\lim_{x\to x_0}g(f(x))\overset{g连续}=g(\lim_{x\to x_0}f(x))\overset{f连续}=g(f(x_0)) \]

连续函数的局部性质

  1. 局部有界性

  2. 局部保号性

  3. 四则运算

    \(f,g\)\(x_0\) 处连续,则 \(f\pm g,f\cdot g\)\(x_0\) 处均连续。

    进一步,若 \(g(x_0)\neq 0\),则 \(\frac{f}{g}\)\(x_0\) 处也连续。

  4. 复合函数连续性

    \(f\)\(x_0\) 处连续,\(g\)\(y_0=f(x_0)\) 处连续,且 \(g\circ f\)\(U(x_0)\) 上有定义,则 \(g\circ f\)\(x_0\) 处连续。

连续函数的基本性质

  1. 有界性定理

    \(f\)\([a,b]\) 上连续,则 \(f\)\([a,b]\) 上有界。

    证明:反证法,假设 \(f\)\([a,b]\) 上无界,不妨设 \(f\)\([a,b]\) 上无上界。

    \(f\)\([a,b]\) 上有上界 \(\Leftrightarrow \exist M>0,\forall x\in [a,b],\texttt{s.t.}f(x)\le M\)

    \(f\)\([a,b]\) 上无上界 \(\Leftrightarrow \forall M>0,\exist x\in[a,b],\texttt{s.t.}f(x)>M\)。特别地,\(\forall n\in\Z^+,\exist x_n\in[a,b],\texttt{s.t.}f(x_n)>n(*)\)

    因为数列 \(\{x_n\}\) 中每一项均在 \([a,b]\) 中,所以 \(\{x_n\}\) 有界。

    由致密性定理知,存在 \(\{x_n\}\) 的一个收敛子列 \(\{x_{n_k}\}\),不妨设其极限为 \(x_0\)

    又因为 \(\forall k\in \Z^+,a\le x_{n_k}\le b\),所以 \(a\le \lim_{k\to +\infin}x_{n_k}\le b\Rightarrow x_0\in[a,b]\),不妨设 \(x_0\in(a,b)\)(右连续左连续的要单独讨论)。

    由题意知 \(f\)\(x_0\) 上连续,故有 \(\lim_{k\to +\infin}f(x_{n_k})=f(x_0)\in\R\),又由 \((*)\)\(\lim_{k\to+\infin}f(x_{n_k})=+\infin\),矛盾。

  2. 最值定理

    \(f\)\([a,b]\) 上连续,则 \(f\)\([a,b]\) 上可取到最大值和最小值,即 \(\exist x_1\in[a,b],\texttt{s.t.} f(x_1)=\sup f([a,b])\)\(\exist x_2\in[a,b],\texttt{s.t.} f(x_2)=\inf f([a,b])\)

    证明:由 1 和确界定理可设 \(f([a,b])\) 上确界为 \(\alpha\),下证 \(\exist x_1\in[a,b],\texttt{s.t.}f(x_1)=\alpha\)

    用反证法,假设 \(\forall x\in [a,b]\),均有 \(f(x)<\alpha\),令 \(g(x)=\frac{1}{\alpha-f(x)},x\in[a,b]\),有 \(\forall x\in [a,b],g(x)>0\)\(g(x)\) 连续。

    由有界性定理知,\(g\)\([a,b]\) 上有上界,设为 \(G>0\),于是 \(\forall x\in [a,b]\)\(0<g(x)=\frac{1}{\alpha-f(x)}\le G\),从而 \(f(x)\le \alpha-\frac{1}{G},\forall x\in[a,b]\),矛盾。

  3. 以下两个定理等价

    • 介值定理

      \(f\)\([a,b]\) 上连续,由此可令 \(m=\min f([a,b]),M=\max f([a,b])\),则 \(\forall \mu\in[m,M],\exist x_0\in[a,b],\texttt{s.t.}f(x_0)=\mu\)

      推论:若 \(f\)\([a,b]\) 上连续,则 \(f([a,b])=[m,M]\)

    • 根的存在性定理(零点存在性定理)

      \(f\)\([a,b]\) 上连续,且 \(f(a)\cdot f(b)<0\),则 \(\exist x^*\in(a,b),\texttt{s.t.}f(x^*)=0\)

      证明:不妨设 \(f(a)<0,f(b)>0\)

      \(E=\{x\in[a,b]|f(x)>0\}\),因为 \(b\in E\),所以 \(E\neq \varnothing\)

      又因为 \(\forall x\in E\),有 \(a\le x\le b\),所以 \(E\) 有界,由确界原理得 \(E\) 存在上下确界,设 \(\alpha=\inf E\in \R\)

      因为 \(f(a)<0\),又 \(f\)\(a\) 处右连续,由局部保号性知,\(\exist b-a>\delta_1>0,\forall x\in[a,a+\delta_1)\),有 \(f(x)<0\),所以 \(\alpha\neq a\)

      因为 \(f(b)>0\)\(f\)\(b\) 处左连续,所以由局部保号性知,\(\exist \delta_2>0,\forall x\in[b-\delta_2,b]\),有 \(f(x)>0\),所以 \(\alpha\neq b\)\(\because b-\frac{\delta_2}{2}\in E,\therefore b-\frac{\delta_2}{2}\ge\alpha\))。

      下证 \(f(\alpha)=0\),用反证法,假设 \(f(\alpha)\neq 0\),不妨设 \(f(\alpha)>0\),因为 \(\alpha\in[a,b]\),所以 \(f\)\(\alpha\) 处连续,于是由连续函数的局部保号性知,\(\exist\delta_3>0,\forall x\in U(\alpha,\delta_3),f(x)>0\),即 \(U(\alpha,\delta_3)\in E\),与 \(\alpha=\inf E\) 矛盾。当 \(f(\alpha)<0\) 时类似的可得出矛盾。

      从而 \(f(\alpha)=0\),令 \(x^*=\alpha\) 即得结论成立。

例:设 \(a>1\)\(n\in\Z^+\),证明方程 \(x^n=a\) 有唯一正实根。

证:令 \(f(x)=x^n-a,f(0)=-a<0,f(2a)=(2a)^n-a\ge 2^n\cdot a-a>0\)……

例(不动点):设 \(a,b\in \R,a<b\)\(f\)\([a,b]\) 上连续,且满足 \(f([a,b])\subseteq [a,b]\),证明:\(\exist x_0\in[a,b],\texttt{s.t.}f(x_0)=x_0\),这种 \(x_0\) 被称为 \(f\)不动点

证明:令 \(g(x)=f(x)-x,x\in[a,b]\)\(g\)\([a,b]\) 上也连续,且有 \(g(a)=f(a)-a\ge 0\),若 \(f(a)=a\),令 \(x_0=a\) 即可,若 \(f(b)=b\),令 \(x_0=b\) 即可,若 \(f(a)\neq a\)\(f(b)\neq b\),则 \(g(a)>0,f(b)<0\),则……。

反函数连续性定理

(若存在反函数)

设函数 \(f:[a.b]\to f([a,b])\) 是连续函数且严格单调(不妨设单增),则 \(f^{-1}:f([a,b])\to[a,b]\) 一定存在(\(f\) 是一个双射),且在 \(f([a,b])\) 上连续,且 \(f^{-1}\)\(f\) 严格单调性一致。

证明:因为 \(f\) 单增以及 \(f\) 连续,所以 \(f([a,b])=[f(a),f(b)]\),下面证明 \(f^{-1}\)\((f(a),f(b))\) 上连续(\(f^{-1}\)\(f(a)\) 处右连续,\(f(b)\) 处左连续类似证明)。

任取 \(y_0\in(f(a),f(b)),\exist x_0\in(a,b),\texttt{s.t.}f(x_0)=y_0,\forall \epsilon>0,\exist x_1\in(a,b),x_2\in(a,b),\texttt{s.t.}x_1<x_0<x_2\),且 \(x_0-x_1<\frac{\epsilon}2,x_2-x_0<\frac \epsilon 2\),设 \(f(x_1)=y_1,f(x_2)=y_2\),由 \(f\) 严格单增得:\(y_1<y_0<y_2\),令 \(\delta =\min\{y_0-y_1,y_2-y_0\}>0,\forall y\in(y_0-\delta,y_0+\delta)\sub(y_1,y_2)\),有 \(x=f^{-1}(y)\in(x_1,x_2)\Rightarrow|x-x_0|<\epsilon\),所以 \(f^{-1}\)\(y_0\) 处连续。

基本初等函数在其定义域内是连续的

  1. \(f(x)=C\)

  2. \(f(x)=\sin x,\sec x,\cos x,\csc x,\tan x,\cot x\)

  3. \(f(x)=e^x\)

    \(e^{a+b}=e^ae^b\) 由有理数推广到实数。

证明 \(e^{\alpha\beta}=(e^{\alpha})^\beta\),先证 \(\ln x^{\alpha}=\alpha \ln x\)\(\alpha\in\N\Rightarrow \alpha\in \Z\Rightarrow\alpha \in \Q\),故 \(\ln (e^\alpha)^\beta=\beta\ln e^{\alpha}=\alpha\beta\ln e\)

函数的一致连续性

\(f\)\(D\) 上有定义,若 \(\forall \epsilon >0,\exist \delta >0,\forall x_1,x_2\in D且|x_1-x_2|<\delta\) 成立 \(|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon\),则称 \(f\)\(D\) 上一致连续。

例:\(f(x)=\frac{1}{x}\)\((0,1)\) 上连续,但不是一致连续。

例:\(f(x)=x\)\(\R\) 上一致连续。

例:\(f(x)=x^2\)\(\R\) 上不是一致连续。

​ 证:\(\exist \epsilon_0=1,\forall \delta >0,\exist N\in\Z^+,\texttt{s.t.}\frac{1}{N}<\delta\),令 \(x_1=N+1+\frac{1}{N+1}\in \R,x_2=N+1\in \R\),满足 \(x_1-x_2=\frac{1}{N+1}<\frac1{N}<\delta\),但 \(|f(x_1)-f(x_2)|=|2+\frac{1}{(N+1)^2}|>\epsilon_0=1\)

​ 但是 \(f(x)=x^2\)\([1,2]\) 上一致连续。

定理:设 \(f\) 在区间 \(I\) 上有定义,则 \(f\)\(I\) 上一致连续 \(\Leftrightarrow\)\(I\) 中任取两个数列 \(\{x_n\},\{\tilde x_n\}\),满足 \(\lim_{n\to+\infin}(x_n-\tilde x_n)=0\),则 \(\lim_{n\to+\infin}(f(x_n)-f(\tilde x_n))=0\)

​ 证:\(\Rightarrow\) 易证。

\(\Leftarrow\):用反证法,假设 \(f\)\(I\) 上不一致连续,即 \(\exist \epsilon_0>0,\forall \delta >0,\exist \tilde x,\tilde{\tilde x}\in I 且 |\tilde x-\tilde{\tilde x}|<\delta\),成立 \(|f(\tilde x)-f(\tilde{\tilde x})|\ge \epsilon_0\),对于每个 \(\delta_n=\frac1n>0\)\(\exist \tilde x_n,\tilde{\tilde x_n}\in I\)\(|\tilde x_n-\tilde{\tilde x_n}|<\delta_n\),成立 \(|f(\tilde x_n)-f(\tilde{\tilde x})|\ge \epsilon_0\),取这样的数列即证。

(一致连续性定理)Cantor 定理:设 \(a,b\in\R,a<b\),则 \(f\)\([a,b]\) 上连续 \(\Leftrightarrow\) \(f\)\([a,b]\) 上一致连续。

例:设 \(a,b\in\R,a<b\)\(f\)\((a,b)\) 上一致连续 \(\Leftrightarrow\) \(\lim_{x\to a-}f(x),\lim_{x\to b+}f(x)\) 均存在且 \(f\)\((a,b)\) 连续。

例(书上例 12):若 \(f\)\(I_1,I_2\) 上都一致连续,且 \(I_1\cap I_2\neq \varnothing\),则 \(f\)\(I_1\cup I_2\) 上一致连续。

\(\lim_{x\to0}(1+x)^\frac1x=e\Rightarrow \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1,\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1\)

(若 \(f\)\(x_0\) 处连续,则 \(\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)\),否则一定不成立)

导数和微分

\(D\sub \R\)\(D\neq \varnothing\)\(x_0\in \R\),若 \(\exist \delta>0\),s.t. \((x_0-\delta,x_0+\delta)\sub D\),则称 \(x_0\)\(D\) 的一个内点,\(D\) 的所有内点组成的集合j记作 \(\mathring D\)\(\operatorname{Int} D\),称 \(\mathring D\)\(D\) 的内部。

\(y= f(x),x\in I\) 是一个函数(\(I\) 是一个区间),任取 \(\Delta x\neq 0\)\(x+\Delta x\in I\),称连接图像上两点的一条直线为曲线 \(y=f(x),x\in I\) 的一条割线。若当 \(\Delta x\to 0\) 时,割线 \(L_{割}\) 的极限位置存在,则称极限位置所在的直线为曲线 \(y=f(x),x\in I\) 在点 \((x_0,f(x_0))\) 处的切线。

从而,切线的斜率 \(k_{切}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)(若右侧极限存在)(\(k_{切}\) 也可以作 \(k_T\)),从而切线为 \(y-f(x_0)=k_T(x-x_0)\)

导数

\(f\)\((x_0-\rho,x_0+\rho)\)(其中 \(\rho>0\))上有定义,若 \(\lim_\limits{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) 存在,则称 \(f\)\(x_0\) 处可导,记 \(\lim_\limits{x\to x_0}\frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}\)\(f'(x_0)\)(莱布尼茨:\(\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}=\frac{df}{dx}|_{x=x_0}\)

\(f\)\([x_0,x_0+\rho)\)(其中 \(\rho>0\))上有定义,若 \(\lim_\limits{x\to x_0+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) 存在,则称 \(f\)\(x_0\) 处右可导,记为 \(f'_+(x_0)\)

左可导类似。

Th. 若 \(f\)\(x_0\) 处可导,则 \(f\)\(x_0\) 处一定连续。

​ 证明:\(f\)\(x_0\) 处可导 等价于 \(\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)\)

\[\begin{aligned} &\Rightarrow \lim_{x\to x_0}(f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0))=0\\ &\Rightarrow \lim_{x\to x_0}(f(x)-f(x_0))=0\\ &\Rightarrow \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) \end{aligned} \]

Th. \(f\)\(x_0\) 处可导 等价于 \(f\)\(x_0\) 处既左可导又右可导且二者相等。

例:求 \(f(x)=e^x\) 导函数(需要 \(\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1\)

例:求 \(f(x)=x^\alpha\) 导函数。

解:

  1. \(\alpha=0\)……

  2. \(\alpha\ne 0,\forall x\in(0,+\infin)\),有

    \[\begin{aligned} &\lim_{x\to x_0}\frac{x^\alpha-x_0^\alpha}{x-x_0}\\ =&\lim_{x\to x_0}\frac{e^{\alpha\ln x}-e^{\alpha\ln x_0}}{\alpha\ln x-\alpha\ln x_0}\cdot\frac{\ln x-\ln x_0}{x-x_0}\cdot \alpha\\ =&x^\alpha\cdot x^{-1}\cdot\alpha \end{aligned} \]

    其中 \(\lim_{x\to x_0}\frac{\ln x-\ln x_0}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{\ln(1+\frac{x}{x_0}-1)}{\frac{x}{x_0}-1}\times \frac{1}{x_0}=\frac{1}{x_0}\)

如果存在一个邻域 \(U(x_0)\) 使得 \(f\)\(U(x_0)\) 上有定义且 \(\forall x\in U(x_0)\)\(f(x)\le f(x_0)\)。则称 \(x_0\)\(f\) 的极大值点,\(f(x_0)\) 称为极大值。(极小值同理)极大值点和极小值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值。

费马引理:若 \(f\)\(U(x_0)\) 上有定义且 \(x_0\)\(f\) 的一个极值点,又 \(f\)\(x_0\) 处可导,则 \(f’(x_0)=0\)

证明:(极大值点)\(f'_+(x_0)\le 0,f'_-(x_0)\ge 0\),又二者相等……。

Th. (导函数的介值定理)(达布(Darboux)定理)设 \(a,b\in\R,a<b\),若 \(f\)\([a,b]\) 上可导,且 \(f'_+(a)\neq f'_-(b)\),不妨设 \(f'_+(a)<f'_-(b)\)\(k\in(f'_+(a),f'_-(b))\),则至少存在一点 \(x_0\in(a,b)\),使得 \(f'(x_0)=k\)

证:令 \(F(x)=f(x)-kx\),则 \(F(x)\)\([a,b]\) 上可导,且 \(F'_+(a)=f'_+(a)-k<0,F'_-(b)=f'_-(b)-k>0\Rightarrow \exist x_1,x_2\in(a,b)且 x_1<x_2\) 使得 \(F(x_1)<F(a),F(x_2)<F(b)\),因为 \(F\)\([a,b]\) 上可导,所以 \(F\)\([a,b]\) 上连续。由最值 Th 知,\(F\)\([a,b]\) 上取到最小值,即 \(\exist x\in[a,b]\) 使得 \(F(x_0)=\min F([a,b])\),满足 \(x_0\neq a,x_0\neq b\),由费马引理知 \(F'(x_0)=0\Rightarrow f'(x_0)=k\)

求导法则

  1. 四则运算(若 \(f,g\) 均在 \(x_0\) 处可导)

    1. \((f\pm g)'(x_0)=f'(x_0)\pm g'(x_0)\)

    2. \((f\cdot g)'(x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0)\)

      \[\begin{aligned} &\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x- x_0}\\ =&\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x)+f(x_0)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}\\ =&\lim_{x\to x_0}g(x)\cdot \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}+\lim_{x\to x_0} f(x_0)\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\\=&f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0) \end{aligned} \]

  2. \(g(x_0)\neq 0\)

    \((\frac{f}{g})'(x_0)=\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{[g(x_0)]^2}\)

反函数求导法则

Th. 设 \(y=f(x),x\in I\)\(I\) 是一个区间)与 \(x=g(y),y\in f(I)\) 互为反函数,且 \(f\)\(I\) 上严格单调且处处连续,又设 \(x_0\in\mathring I\)\(f'(x_0)\neq 0\),则 \(g\)\(y_0=f(x_0)\) 处可导,且 \(g'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}\)

证:因为 \(f\)\(I\) 上严格单调且连续,所以由反函数存在连续性 Th 知,\(g\)\(f(I)\) 上也严格单调且连续。

​ 于是,当 \(y\neq y_0\) 地趋向于 \(y_0\) 时有 \(g(y)\neq g(y_0)\) 地趋向于 \(g(y_0)\)

​ 从而有 \(\lim_{y\to y_0}\frac{g(y)-g(y_0)}{y-y_0}=\lim_{y\to y_0}\frac1{\frac{y-y_0}{g(y)-g(y_0)}}=\lim_{x\to x_0}\frac1{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\frac{1}{f'(x_0)}\)

已知:\((\sin x)'_x=\cos x\neq 0,x=\arcsin y:(-1,1)\to(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)

\[\forall x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}),y=\sin x\\ \forall y_0\in(-1,1),(\arcsin y)_y'|_{y=y_0}=\frac{1}{(\sin x)'_x|_{x_0=\arcsin y_0}}=\frac{1}{\cos(\arcsin y_0)}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin y_0)}}\\=\frac{1}{\sqrt{1-y_0^2}} \]

类似地:\((\arccos y)'_y|_{y=y_0}=-\frac{1}{\sqrt{1-y_0^2}}\)\((\arctan y)'_y=\frac{1}{1+y^2}\)\((\mathrm{arccot} y)'_y=-\frac{1}{1+y^2}\)

复合函数求导的链式法则

\(f\)\(x_0\) 处可导,\(g\)\(y=f(x_0)\) 处可导,且 \(g\circ f\)\(x_0\) 的某个邻域内有定义,则 \(g\circ f\)\(x_0\) 处可导,且 \((g\circ f)'(x_0)=g'(f(x_0))\times f'(x_0)\)

\[(g\circ f)'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{g\circ f(x)-g\circ f(x_0)}{x - x_0}=?\lim_{x\to x_0}\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)}\times \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \]

注意上式标 \(?\) 处不一定成立,因为 \(f(x)-f(x_0)=0\) 可能成立。

引理

\(f\)\(U(x_0)\) 上有定义,则

\(f\)\(x_0\) 上可导 \(\Leftrightarrow\) \(\exist\) 定义在 \(U(x_0)\) 上的在 \(x_0\) 处连续的函数 \(H(x_0)\),s.t. \(\forall x\in U(x_0)\)\(f(x)-f(x_0)=H(x)(x-x_0)\)

证:

\(\Rightarrow\)

\[H(x)=\begin{cases} f'(x_0)&,x=x_0\\ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}&, x\neq x_0 且 x\in U(x_0) \end{cases} \]

\(\Leftarrow\) 也显然。

证明链式求导法则

因为 \(g\)\(y_0=f(x_0)\) 处可导,

所以 \(\exist\) 一个在 \(y_0\) 处连续的定义在 \(y_0\) 的某个邻域上的函数 \(\Phi(y)\),使得 \(g(y)-g(y_0)=\Phi(y)(y-y_0)\),且有 \(\Phi(y_0)=g'(y_0)\)

又因为 \(f\)\(x_0\) 上可导,

所以 \(\exist\) 一个在 \(x_0\) 处连续的定义在 \(x_0\) 的某个邻域内的函数 \(H(x)\),使得 \(f(x)-f(x_0)=H(x)(x-x_0)\)

因为 \(g\circ f\)\(x_0\) 的某个邻域内有定义,所以可令 \(y=f(x)\),于是可得 \(g(f(x))-g(f(x_0))=\Phi(f(x))(f(x)-f(x_0))=\Phi(f(x))\cdot H(x)(x-x_0)\)

于是又 \(\Phi(f(x))\cdot H(x)\)\(x_0\) 处连续,故 \(g\circ f\)\(x_0\) 处可导且 \((g\circ f)'(x_0)=\Phi(f(x_0))\cdot H(x_0)=g'(y_0)f'(x_0)\)

\[z=g(f(x)),y=f(x)\\ \frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx} \]

\[x\in(0,+\infin),固定\alpha\in\R\\ (x^\alpha)'_x=(e^{\alpha\ln x})'_x=e^{\alpha\ln x}\cdot(\alpha\ln x)'_x=x^\alpha \cdot \alpha\cdot\frac{1}{x}=\alpha x^{\alpha-1} \]

\[(\alpha^x)'_x=(e^{x\ln \alpha})'_x=e^{x\ln \alpha}\cdot(x\ln \alpha)'_x=\alpha^{x}\ln \alpha \]

\[(\log_ay)'_y=\frac{1}{(a^x)'_x}=\frac{1}{a^x\ln a}=\frac{1}{y\ln a} \]

对数求导法

\(u(x),v(x)\)\((a,b)\) 上可导,且 \(\forall x\in (a,b),u(x)>0\),令 \(f(x)=[u(x)]^{v(x)}\),求 \(f'(x),x\in(a,b)\)

解:\(\because \forall x\in(a,b),f(x)=[u(x)]^{v(x)}>0,\therefore\ln f(x)=v(x)\ln u(x)\)

\(\therefore \frac{f'(x)}{f(x)}=v'(x)\ln u(x)+v(x)\times\frac{u'(x)}{u(x)}\)

\(\therefore f'(x)=[u(x)]^{v(x)}(v'(x)\ln u(x)+\frac{u'(x)v(x)}{u(x)})\)

特别地,\(\frac{\mathrm{d}(x^x)}{\mathrm{d} x}=x^x(\ln x+1)\)

\(f(x)=\frac{(x-1)^{2025}(x-4)^{100}}{(x^2+1)^{120}(x^2-x+1)^{\frac{1}{120}}}\),求 \(f'(x),x>4\).

解:\(\ln f(x)=2025\ln (x-1)+100\ln(x-4)-120\ln(x^2+1)-\frac{1}{120}\ln(x^2-x+1)\).

\(\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{2025}{x-1}+\frac{100}{x-4}-\frac{240x}{x^2+1}-\frac{2x-1}{120(x^2-x+1)}\).

\[f(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x}&,x\neq 0\\0&,x=0 \end{cases} \]

的导函数 \(f'(x)\)

解:当 \(x\ne 0\) 时,\(f'(x)=2x\sin\frac{1}{x}+x^2\cos\frac{1}{x}\cdot\frac{-1}{x^2}=2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}\)

​ 当 \(x=0\) 时,\(f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{x}=0\)

参变量函数的导数

\(y=y(x)\) 时由参数方程 \(\begin{cases} x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\end{cases},t\in(a,b)\) 确定的,已知 \(\varphi(t),\psi(t)\) 均在 \((a,b)\) 上可导,又假设 \(\forall t\in(a,b),\varphi'(t)\neq 0\),从而有 \(\forall t\in(a,b),\varphi(t)>0(或 \varphi(t)<0)\),从而知:\(\varphi:(a,b)\to\varphi((a,b))\) 存在反函数 \(\varphi^{-1}:\varphi((a,b))\to (a,b)\)\((\varphi^{-1})'(x)=\frac{1}{\varphi'(x)},x=\varphi(t)\)(或 \(t=\varphi^{-1}(x)\))。

从而 \(y=y(x)=\psi(\varphi^{-1}(x)),x\in\varphi((a,b))\).

\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|_x=\left(\psi(\varphi^{-1}(x))\right)'_x=\psi'(t)\cdot(\varphi^{-1}(x))'_x=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}|_{t=\varphi^{-1}(x)} \]

例:设 \(a>0,b>0,y=y(x)\) 由方程 \(\begin{cases}x=a\cos t\\ y =b\sin t\end{cases},t\in(0,\pi)\) 确定。

\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\Rightarrow y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2},-a<x<a\)

\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y/\mathrm{d} t}{\mathrm{d}x /\mathrm{d} t}=\frac{b\cos t}{-a\sin t}=-\frac{\frac{b}{a}x}{a\cdot\frac{1}{a}\sqrt{a^2-x^2}}=-\frac{bx}{a\sqrt{a^2-x^2}} \]

若平面曲线 \(C\) 的极坐标方程 \(r=r(\theta),\theta\in(\alpha,\beta),0\le \alpha<\beta\le 2\pi\)

\[\begin{cases} x=r(\theta)\cos\theta,\\ y=r(\theta)\sin\theta, \end{cases} \theta\in(\alpha,\beta) \]

\(C\)\((r(\theta_0)\cos\theta_0,r(\theta_0)\sin\theta_0)\) 的导数。

\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y/\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}\theta}=\frac{r'(\theta)\sin\theta+r(\theta)\cos\theta}{r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)\sin\theta} \]

高阶导数

只说可导,只认为一阶可导。

二阶导数:设 \(y=f(x)\)\((x_0-\delta,x_0+\delta)\) 上(一阶)可导,若 \(\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}\) 存在,则称 \(f\)\(x_0\) 处二节可导,记作 \(f''(x)\)\(f^{(2)}(x)\)

\(f^{(0)}(x)\) 只是记号,事实上导数从一阶开始)

\((n+1)\) 阶可导:类似二阶导数定义。记作 \(f^{(n+1)}(x_0)\)\(\frac{\mathrm{d}^{n+1}y}{\mathrm{d}x^{n+1}}\)

\(f(x)=e^x\)\(n\) 阶导数 \(f^{(n)}(x)=e^x\)

\(f(x)=\sin(x)\)\(n\) 阶导数 \(f^{(n)}(x)=\sin(x+\frac{n}{2}\pi)\)

四则运算

\(u(x),v(x)\)\((a,b)\)\(n\) 阶可导。

  1. \((u(x)\pm v(x))^{(n)}=u^{(n)}(x)\pm v^{(n)}(x)\)
  2. \((u(x)\cdot v(x))^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u^{(n-k)}(x)v^{k}(x)\)(莱布尼兹公式,归纳证明)。

\(y=y(x)\) 时由参数方程 \(\begin{cases} x=\varphi(x)\\y=\psi(x)\end{cases},t\in(a,b)\) 确定,\(\forall x\in(a,b),\varphi'(t)\ne 0\)\(\varphi(x)\)\((a,b)\) 上二阶可导,求 \(\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}\).

\[\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{\mathrm{d}(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t}=\frac{(\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)})'_t}{\varphi'(t)}=\frac{\psi''(t)\varphi'(t)-\psi'(t)\varphi''(t)}{(\varphi'(t))^3} \]

微分

定义:设 \(y=f(x)\)\(x_0\) 的某个邻域 \((x_0-\delta,x_0+\delta)\) 内有定义(其中 \(\delta\) 是常数).

\(\exist\) 常数 \(a\in \R\),使得

\[\Delta y|_{x_0}=f(x+\Delta x)-f(x)=a\cdot\Delta x+o(\Delta x),\Delta x\to 0 \]

则称 \(f\)\(x_0\) 处可微。称 \(a\cdot \Delta x\)\(f\)\(x_0\) 处的微分,记作 \(\mathrm{d} y|_{x=x_0}\)\(\mathrm{d}f|_{x=x_0}\)

Th. \(f\)\(x_0\) 处可导 \(\Leftrightarrow\) \(f\)\(x_0\) 处可微,进一步有 \(a=f'(x_0)\)

证:

  • \(\Rightarrow\)\(f\)\(x_0\) 处可导,则 \(f'(x_0)\in\R\).

    由导数定义知

    \[f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\ \Rightarrow\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x)-f'(x_0)\cdot\Delta x}{\Delta x}=0\\ \Rightarrow f(x_0+\Delta x)-f(x_0)-f'(x_0)\cdot\Delta x=o(\Delta x),\Delta x\to 0 \]

    \(a=f'(x_0)\) 即得 \(f\)\(x_0\) 处可微.

  • \(\Leftarrow\)

    \[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=a\cdot \Delta x+o(\Delta x),\Delta x\to 0\\ \Delta x\ne 0,\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)-a\cdot \Delta x}{\Delta x}=o(1),\Delta x\to 0\\ \Rightarrow \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=a\in\R \]

    因此 \(f\)\(x_0\) 处可导且 \(f'(x_0)=a\).

微分中值定理及其应用

(设 \(a,b\in\R,a<b\)

Rolle Th.

\(f\)\([a,b]\) 连续,\(f\)\((a,b)\) 可导,且 \(f(a)=f(b)\),则至少存在一点 \(x_0\in (a,b)\),s.t. \(f'(x_0)=0\)

证明:因为连续,由最值定理知,存在 \(x_1,x_2\in[a,b]\),使得 \(\forall x\in[a,b]\),有 \(f(x_1)\le f(x)\le f(x_2)\)

  1. \(f(x_1)=f(x_2)\),则 \(f\) 为常值函数,任取 \(x_0\in(a,b)\),结论成立。

  2. \(f(x_1)<f(x_2)\),由于 \(f(a)=f(b)\),故 \(x_1\)\(x_2\) 中至少有一个属于 \((a,b)\),不妨设 \(x_1\in(a,b)\),又由 \(f\)\((a,b)\) 上可导得 \(f\)\(x_1\) 处可导。

    由费马引理及 \(x_1\)\(f\) 的极小值点知由 \(f'(x_1)=0\),令 \(x_0=x_1\) 结论成立。

例:设 \(f\)\([a,b]\) 上连续,在 \((a,b)\) 内可导,且 \(f(a)=f(b)=0\),证明:\(\forall \alpha\in\R,\exist\zeta\in(a,b),\texttt{s.t.} \alpha f(\zeta)=f'(\zeta)\)

证:\(\forall \alpha\in\R\),构造函数 \(F(x)=f(x)\cdot e^{-\alpha x},x\in[a,b]\),则

\(F(a)=F(b)=0\),又 \(F\)\([a,b]\) 连续,在 \((a,b)\) 可导

​ 又 \(F'(x)=f'(x)e^{-\alpha x}-\alpha f(x)e^{-\alpha x}\)

​ 由 Rolle Th 知,\(\exist x_0\in(a,b),\texttt{s.t.}F'(x_0)=0\)

​ 即 \(f'(x_0)=\alpha f(x_0)\),令 \(\zeta=x_0\) 即得结论成立。

Lagrange Mean-Value Th

(拉格朗日中值定理)

\(f\)\([a,b]\) 上连续,\(f\)\((a,b)\) 上可导,则 \(\exist\) 一点 \(x_0\in(a,b)\),使得 \(f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

证:构造辅助函数

\[F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a),x\in[a,b] \]

​ 有 \(F(a)=F(b)\)\(F\)\([a,b]\) 上连续,在 \((a,b)\) 上可导。

​ 由 Rolle Th 知,\(\exist x_0\in(a,b),\texttt{s.t.}F'(x_0)=0\).

​ 又 \(F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\),把 \(x_0\) 代入得

\[f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]

推论
  1. \(\forall x\in (a,b)\),有 \(f'(x)=0\),则有 \(\forall x\in(a,b),f(x)=f(\frac{a+b}{2})\).

  2. \(\forall x\in(a,b)\),有 \(f'(x)=g'(x)\),则有 \(\forall x\in(a,b),f(x)-g(x)=f(\frac{a+b}{2})-g(\frac{a+b}{2})\).

  3. (导数极限 Th)\(x_0\in\R\),设 \(f\)\(U(x_0)\) 上连续,\(f\)\(\mathring U(x_0)\) 上可导,且 \(\lim_{x\to x_0}f'(x)\) 存在,则 \(f\)\(x_0\) 处可导且 \(f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}f'(x)\)

    证:不妨设 \(U(x_0)=(x_0-\rho,x_0+\rho)\),其中 \(\rho>0\) 为常数,\(\mathring U(x_0)=U(x_0)-\{x_0\}\)

    ​ 任取 \(x\in (x_0,x_0+\rho)\),考虑 \(f\) 在区间 \([x_0,x]\) 上连续,在 \((x_0,x)\) 上可导,

    ​ 由 Lagrange Mean-Value Th 知,\(\exist\zeta_x\in(x_0,x)\),使得 \(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(\zeta_x)\)

    ​ 当 \(x\to x_0+\) 时,\(\zeta_x\to x_0+\),于是有

    \[\begin{aligned} \lim_{x\to x_0+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}&=\lim_{x\to x_0+}f'(\zeta_x)\\ &=\lim_{t\to x_0+}f'(t)&(\zeta_x=t)\\ &=\lim_{x\to x_0+}f'(x) \end{aligned} \]

    ​ 同理可证 \(x\to x_0-\) 时。

    ​ 故 \(f'(x_0)=\lim_{x\to x_0+}f'(x)=\lim_{x\to x_0-}f'(x)=\lim_{x\to x_0}f'(x)\)

Cauchy Mean-Value Th

(柯西中值定理)

\(f,g\)\([a,b]\) 上连续,在 \((a,b)\) 内可导,

(有点像是 \(x=f(t),y=g(t)\) 这个图形上的 Lagrange 中值定理(?))

\(\forall x\in(a,b),[f'(x)]^2+[g'(x)]^2\neq 0\)\(g(a)\neq g(b)\)(这个条件可以换成 \(\forall x\in(a,b),g'(x)\neq 0\)),

则至少存在 \(x_0\in(a,b)\) 使得 \(\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\)

证:令 \(F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a)),x\in[a,b]\).

\(F(a)=0=F(b)\)\(F\)\([a,b]\) 连续,在 \((a,b)\) 可导.

​ 由 Rolle Th 知,\(\exist x_0\in(a,b)\),使得 \(F'(x_0)=0\).

​ 又 \(F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(x)\)

​ 所以 \(f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(x_0)\).(此时 \(g(x_0)\) 一定不为 \(0\)

​ 所以 \(\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\)

例. 证明:\(\forall h>-1,h\neq 0\)\(\frac{h}{1+h}<\ln(1+h)<h\)

证:设 \(f(x)=\ln x\)\(\ln(1+h)=f(1+h)-f(1)=f(1+\theta h)(1+h-1)=\frac{h}{1+\theta h}\)\(\theta\in(0,1)\)

  1. \(h>0\) 时,有

    \[\begin{aligned} &1<1+\theta h<1+h\\ \Rightarrow&\frac{1}{1+h}<\frac{1}{1+\theta h}<1\\ \Rightarrow&\frac{h}{1+h}<\frac{h}{1+\theta h}<h\\ \Rightarrow&\frac{h}{1+h}<\ln(1+h)<h \end{aligned} \]

  2. \(-1<h<0\) 时,有

    \[\begin{aligned} &0<1+h<1+\theta h<1\\ \Rightarrow&1<\frac{1}{1+\theta h}<\frac{1}{1+h}\\ \Rightarrow&\frac{h}{1+h}<\frac{h}{1+\theta h}<h\\ \Rightarrow&\frac{h}{1+h}<\ln(1+h)<h \end{aligned} \]

函数单调性

Th. 设 \(f\) 在区间 \(I\) 上可导,则 \(f\) 单增 \(\Leftrightarrow\) \(\forall x\in\mathring I\)\(f'(x)\ge 0\).(单减同理)

证:\(\Rightarrow\)\(\forall x_0\in\mathring I,f'(x_0)=f'_+(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0\).

\(\Leftarrow\)\(\forall x_1,x_2\in I\),不妨设 \(x_1<x_2\)

\[f(x_2)-f(x_1)=f'(x_1+\theta(x_2-x_1))(x_2-x_1)\ge 0\Rightarrow f(x_2)\ge f(x_1) \]

Th. 设 \(f\)\((a,b)\) 上可导,则 \(f\uparrow\)(严格单增)\(\Leftrightarrow\) \(\forall x\in(a,b),f'(x)\ge0\),且不存在 \((\alpha,\beta)\subseteq(a,b)\),使得 \(\forall x\in(\alpha,\beta)\)\(f'(x)=0\).(严格单减类似)

不定式极限(未定式)

\(\frac{0}{0},\frac{\infin}{\infin},0\cdot\infin,1^{\infin},0+^{0},+\infin^0,+\infin-(+\infin),-\infin-(-\infin)\)(这里都是趋近于,但是 \(0^0=1\) 这个式子中是真的等于 0)(中间几种通常是指数、对数处理,后面两种可能要分子有理化、通分之类的)

  1. \(\frac{0}{0}\)” 型洛必达(L'Hospital)法则

    \(x_0\in \R\)\(f,g\)\((x_0,x_0+\rho)\)\(\rho>0\) 为常数)内可导,且满足:

    1. \(\lim_{x\to x_0+}f(x)=0=\lim_{x\to x_0+}g(x)\);
    2. \(\forall x\in(x_0,x_0+\rho),g'(x)\neq 0\);
    3. \(\lim_{x\to x_0+}\frac{f'(x)}{g'(x)}=a(\in \R 或 a=+\infin 或 -\infin或\infin)\);

    \(\lim_{x\to x_0+}\frac{f(x)}{g(x)}=a\).

    证:令

    \[\tilde f(x)=\begin{cases}f(x)&,x\in(x_0,x_0+\rho)\\0&,x=x_0\end{cases}\\ \tilde g(x)=\begin{cases}g(x)&,x\in(x_0,x_0+\rho)\\0&,x=x_0\end{cases} \]

    ​ 则 \(\tilde f,\tilde g\),在 \([x_0,x_0+\rho)\) 上连续,\(\tilde f,\tilde g\)\((x_0,x_0+\rho)\) 上可导,\(\forall t\in(x_0,x_0+\rho),\tilde g'(t)=g'(t)\neq 0\).

    ​ 任取 \(x\in (x_0,x_0+\rho)\),对 \(\tilde f,\tilde g\) 在区间 \([x_0,x]\) 上用 Cauchy 中值定理得

    \[\exist \zeta_x\in(x_0,x),\texttt{s.t.}\frac{\tilde f'(\zeta_x)}{\tilde g'(\zeta_x)}=\frac{\tilde f(x)-\tilde f(x_0)}{\tilde g(x)-\tilde g(x_0)}=\frac{f(x)}{g(x)} \]

    ​ 又当 \(x\to x_0\) 时,\(\zeta_x\to x_0+\),故 \(\lim_{x\to x_0+}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0+}\frac{f'(x)}{g'(x)}\).

    例:\(\lim_{x\to \pi}\frac{1+\cos x}{\tan^2x}\).

    \[\lim_{x\to \pi}\frac{1+\cos x}{\tan^2 x}=\lim_{x\to \pi}\frac{-\sin x}{2(\tan x)\sec^2x}=\lim_{x\to \pi}(-\frac{1}{2})\cos^3 x=\frac{1}{2} \]

    例:\(\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}\)

    \[\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{3x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{6x}=\frac{1}{6} \]

    例:\(\lim_{x\to 0+}\frac{\sqrt x}{1-e^{\sqrt x}}\).

    ​ 这道题最好不用洛必达法则,因为极限 \(\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}\) 不是这么推的.

  2. \(\frac{*}{\infin}\) 型洛必达法则

    \(x_0\in\R\),函数 \(f\)\(g\) 满足:

    1. \(\exist \delta >0,f,g\)\((x_0,x_0+\delta)\) 上可导且 \(\forall x\in(x_0,x_0+\delta),g'(x)\neq 0\);
    2. \(\lim_{x\to x_0+}g(x)=\infin\)(或 \(+\infin\)\(-\infin\));
    3. \(\lim_{x\to x_0+}\frac{f'(x)}{g'(x)}=a(a\in\R或+\infin或-\infin或\infin)\);

    \(\lim_{x\to x_0+}\frac{f(x)}{g(x)}=a\)

    证:仅证当 \(a\in\R\) 时的情形:

    ​ 由#3得,\(\forall \epsilon>0,\exist x_1\in(x_0,x_0+\delta),\forall x\in(x_0,x_1)\),有

    \[\left|\frac{f'(x)}{g'(x)}-a\right|<\frac{\epsilon}{3} \]

    ​ 任意取定 \(x\in(x_0,x_1)\),由已知条件#1知 \(f,g\)\([x,x_1]\) 上满足 Cauchy 中值定理的条件,故有

    \[\exist \zeta_x\in(x,x_1),\texttt{s.t.}\frac{f'(\zeta_x)}{g'(\zeta_x)}=\frac{f(x_1)-f(x)}{g(x_1)-g(x)} \]

    ​ 从而有

    \[\left|\frac{f(x_1)-f(x)}{g(x_1)-g(x)}-a\right|<\frac{\epsilon}{3} \]

    ​ 又

    \[\begin{aligned} \left|\frac{f(x)}{g(x)}-a\right|&=\left|\frac{f(x)-a\cdot g(x)}{g(x)}\right|\\ &=\left|\frac{f(x)-f(x_1)-a(g(x)-g(x_1))+f(x_1)-a\cdot g(x_1)}{g(x)}\right|\\ &\le\left|\frac{f(x)-f(x_1)-a(g(x)-g(x_1))}{g(x)-g(x_1)}\right|\cdot \left|\frac{g(x)-g(x_1)}{g(x)}\right|+\left|\frac{f(x_1)-a\cdot g(x_1)}{g(x)}\right|\\ &=\left|\frac{f(x)-f(x_1)}{g(x)-g(x_1)}-a\right|\cdot \left|\frac{g(x)-g(x_1)}{g(x)}\right|+\left|\frac{f(x_1)-a\cdot g(x_1)}{g(x)}\right| \end{aligned} \]

    ​ 由条件#2知,\(\lim_{x\to x_0+}\frac{g(x)-g(x_1)}{g(x)}=1,\lim_{x\to x_0+}\frac{f(x_1)-a\cdot g(x_1)}{g(x)}=0\)

    ​ 故 \(\exist x_2\in(x_0, x_1),\texttt{s.t.}\forall x\in(x_0,x_2)\)\(\left|\frac{g(x)-g(x_1)}{g(x)}\right|\le\frac{3}{2}\),且 \(\left|\frac{f(x_1)-a\cdot g(x_1)}{g(x)}\right|<\frac{\epsilon}{3}\)

    ​ 总之有 \(\forall \epsilon>0,\exist \tilde\delta=x_2-x_0>0,\forall x\in(x_0,x_0+\tilde\delta)\)\(\left|\frac{f(x)}{g(x)}-a\right|<\epsilon\),于是……

  1. \(\lim_{x\to 0}\frac{e^x-e^{-x}}{\ln(e-x)+x-1}=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}+e^{-x}}{\frac{-1}{e-x}+1}=\frac{2e}{1-e}\).

  2. \[\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^\frac{1}{x}-e}{x}=&\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^\frac{1}{x}\cdot\frac{\frac x{1+x}-\ln(1+x)}{x^2}}{1}\\ =&e\cdot\lim_{x\to 0}\frac{x-(1+x)\ln(1+x)}{x^2(1+x)}\\ =&e\cdot\lim_{x\to 0}\frac{1-1-\ln(1+x)}{2x+3x^2}\\ =&-e\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{1+x}}{2+6x}\\ =&-\frac{e}2 \end{aligned} \]

  3. \(\lim_{n\to +\infin}\frac{\ln n}{n}=0\).(先求 \(x\) 的,再用海涅定理)

  4. \(\mu>0\) 为常数,求 \(\lim_{x\to 0+}\frac{x^\mu}{\frac{1}{\ln x}}\).

    \[\begin{aligned} &\lim_{x\to 0+}\frac{x^\mu}{\frac{1}{\ln x}}\\ =&\lim_{x\to 0+}\frac{\ln x}{x^{-\mu}}\\ =&\lim_{x\to 0+}\frac{\frac1x}{-\mu x^{-\mu-1}}\\ =&\lim_{x\to 0+}\frac{x^{\mu}}{-\mu}\\ =&0 \end{aligned} \]

  5. \(\mu>0,a>1\) 常数,求 \(\lim_{x\to+\infin}\frac{x^{\mu}}{a^x}\)(一直求导,答案 \(0\))。

  6. \(\lim_{x\to +\infin}\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=1\);

  7. \[\begin{aligned} &\lim_{x\to 0}(\frac{1}{x^2}-\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x})\\ =&\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2 x-x^2\cos^2 x}{x^2\sin^2 x}\cdot\frac{\sin^2 x}{x^2}\\ =&\lim_{x\to 0}\frac{\sin x+x\cos x}{x}\cdot\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}\\ =&2\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-\cos x+x\sin x}{3x^2}\\ =&\frac{2}{3} \end{aligned} \]

  8. \[\lim_{x\to 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to 0}(1+\cos x-1)^{\frac{1}{\cos x - 1}\cdot\frac{\cos x-1}{x^2}}=e^{-\frac{1}{2}} \]

  9. \[\begin{aligned} &\lim_{x\to 0+}(\frac{1}{x})^{\tan x}\\ =&\lim_{x\to 0+}e^{\tan x\ln\frac{1}{x}}\\ =&e^{\lim_{x\to 0+}\tan x\cdot(-\ln x)}\\ =&e^{\lim_{x\to 0+}\frac{\tan x}{x}\cdot(-x\ln x)}\\ =&e^0=1 \end{aligned} \]

  10. \[\lim_{x\to 0+}x^x=\lim_{x\to 0+}e^{x\ln x}=e^0=1 \]

\[f(x)= \begin{cases} \frac{g(x)}{x}&,x\neq 0\\ 0&,x=0 \end{cases} \]

\(g(0)=g'(0)=0,g''(0)=3\),求 \(f'(0)\).

解:

\[\begin{aligned} f'(0)=&\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}\\ =&\lim_{x\to 0}\frac{g(x)}{x^2}\\ =&\lim_{x\to 0}\frac{g'(x)}{2x}\\ =&\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{g'(x)-g(0)}{x-0}\\ =&\frac{3}{2} \end{aligned} \]

注意,有 \(g''(0)\) 说明 \(g\)\(U(0)\) 内可导,但是不能保证二阶可导,故只能用一次洛必达。

泰勒公式

\(f\)\(x_0\) 处可导,\(f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\)\(f(x_0+\Delta x)-[f(x_0)+\Delta xf'(x_0)]=o(\Delta x),\Delta x\to 0\).

\(f\)\(x_0\)\(n\) 阶可导(接下来都有),

\(T_n(x)=\sum_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i\),约定 \(0^0=1,0!=1\).

\(T_n(x)\)\(f\)\(x_0\) 处的(n 阶)Taylor 多项式(函数)。

\(\forall x\in U(x_0)\),令 \(R_n(x)=f(x)-T_n(x)\),称公式 \(f(x)=T_n(x)+R_n(x)\) 为 Taylor 公式,称 \(R_n(x)\) 为泰勒公式的余项。

命题:(带 Peano(佩亚诺)型余项的 Taylor 定理)

​ 设 \(f\)\(x_0\)\(n\) 阶可导,则有 \(R_n(x)=o((x-x_0)^n),x\to x_0\).

证:

\[\forall m=0,1,2,\dots,n-1\\ (R_n(x))^{(m)}=f^{(m)}(x)-(T_n(x))^{(m)}=f^{(m)}(x)-\sum_{k=m}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{(k-m)!}(x-x_0)^{k-m}\\ (R_n(x))^{(m)}(x_0)=f^{(m)}(x_0)-f^{(m)}(x_0)=0\\ \]

\[\begin{aligned} &\lim_{x\to x_0}\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^n}\\ =&\lim_{x\to x_0}\frac{(R_n(x))'_x}{n(x-x_0)^{n-1}}\\ =&\lim_{x\to x_0}\frac{(R_n(x))^{(n-1)}(x)}{n!(x-x_0)}\\ =&\lim_{x\to x_0}\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)-f^{(n)}(x-x_0)}{n!(x-x_0)}\\ =&\frac{1}{n!}\lim_{x\to x_0}\left(\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0}-f^{(n)}(x_0)\right)\\ =&\frac{1}{n!}\cdot 0\\ =&0 \end{aligned} \]

注意:即使 \(f(x)\) 可以写成 \(f(x)=p_n(x)+o((x-x_0)^n),x\to x_0\)(其中 \(p_n(x)\)\(n\) 阶多项式),这也不意味着 \(p_n(x)\) 就是 \(f(x)\) 的 Taylor 多项式。

特别地,称 \(x_0=0\) 时的 Taylor 公式为 Maclaurin 公式(麦克劳林公式)。

几个初等函数的 Maclaurin 公式
  1. \(e^x=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}x^k+o(x^n),x\to 0\).
  2. \(\sin x=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}+o(x^{2n+1}),x\to 0\)(也可以写成 \(\dots +o(x^{2n+2})\)).
  3. \(\cos x=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}+o(x^{2n+1}),x\to 0\).
  4. \(\ln(1+x)=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k}+o(x^n),x\to 0\)\(\ln(1+x),(1+x)^\alpha\) 不是基本初等函数,只是初等函数).
  5. \((1+x)^\alpha=1+\sum_{k=1}^{n}\frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-k+1)}{k!}x^k+o(x^n),x\to 0\),其中 \(\alpha\in\R-\N\).
  6. \(\frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^nx^k+o(x^n),x\to 0\).
带 Lagrange 型余项和带 Cauchy 型余项的 Taylor 定理

重要

\(n\in\Z^+\),设 \(f\) 在区间 \(I\) 上有连续的 \(n\) 阶导函数,在 \(\mathring I\)\(n+1\) 阶导函数,取定 \(x_0\in\mathring I\),并设 \(\forall x\in I,R_n(x)=f(x)-T_n(x)\),其中 \(T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\)

\(x\neq x_0\) 时,记 \(I=[x,x_0] (或[x_0,x])\)

\(G(t)\)\(I_x\) 上连续,在 \(\mathring I_x\) 上可导,且 \(\forall t\in\mathring I_x,G'(t)\neq 0\).

\(\exist \zeta\in \mathring I_x\),使得

\[R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\zeta)}{n!G'(\zeta)}(x-\zeta)^n[G(x)-G(x_0)] \]

证:令 \(F(t)=f(t)+\sum_{k=1}^{n}\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k,t\in I\).

​ 则 \(F(t)\)\(I\) 上连续,在 \(\mathring I\) 内可导,且当 \(t\in\mathring I\) 时,

\[\begin{aligned} F'(t)&=f'(t)+\sum_{k=1}^n[\frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(x-t)^k-\frac{f^{(k)(t)}}{(k-1)!}\cdot (x-t)^{k-1}]\\ &=\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n \end{aligned} \]

​ 对 \(F(t),G(t)\)\(I_x\) 上应用 Cauchy Mean-Value Th. 得:

\(\exist \zeta\in\mathring I_x\) 使得

\[\begin{aligned} &\frac{F'(\zeta)}{G'(\zeta)}=\frac{F(x)-F(x_0)}{G(x)-G(x_0)}=\frac{f(x)-T_n(x)}{G(x)-G(x_0)}\\ \Rightarrow R_n(x)&=\frac{F'(\zeta)}{G'(\zeta)}\cdot[G(x)-G(x_0)]\\ &=\frac{f^{(n+1)}(\zeta)}{n! G'(\zeta)}\cdot(x-\zeta)^n[G(x)-G(x_0)] \end{aligned} \]

  1. Lagrange 型

    \(G(t)=(x-t)^{n+1}\)\(G'(t)=-(n+1)(x-t)^n\neq 0(\forall t\in(x_0,x)或(x,x_0))\)

    \[\begin{aligned} R_n(x)&=\frac{f^{(n+1)}(\zeta)}{n!(-1)(n+1)(x-\zeta)^n}(x-\zeta)^n\cdot [0-(x-x_0)^{n+1}]\\ &=\frac{f^{(n+1)}(\zeta)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \end{aligned} \]

  2. Cauchy 型

    \(G(t)=x-t,G'(t)=-1\).

    \(R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\zeta)}{n!}(x-\zeta)^n(x-x_0)\).

证明:\(e\) 不是有理数.

证:

\[\because e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{x^n}{n!}+\frac{e^{\theta_x x}}{(n+1)!}x^{n+1},\theta_x\in(0,1).\\ \therefore 当 x=1 时有 e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots+\frac{1}{n!}+\frac{e^{\theta_1,n}}{(n+1)!},\theta_{1,n}\in(0,1) \]

​ 因为 \(2<e<3\),所以 \(1<e^{\theta_{1,n}}<3\).

​ 反证法,假设 \(e\) 是有理数,设 \(e=\frac{p}{q};p,q\in\Z^+;(p,q)=1\),则

\[\frac{p}{q}-(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots+\frac{1}{q!})=\frac{e^{\theta_{1,q}}}{(q+1)!}\\ p\cdot (q-1)!-(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots+\frac{1}{q!})q!=\frac{e^{\theta_1,q}}{q+1}<1(q\ge 2) \]

​ 不可能成立(左侧为整数,右侧为真分数)。

函数的极值与最值

极值点的怀疑对象:不可导点,驻点。

最值点的怀疑对象:不可导点,驻点,两个端点

\(f:[a,b]\to\R\) 连续(\(a,b\in\R,a<b\)).

命题:(极值的第一充分条件)若 \(f\)\(\mathring U(x_0)\) 上可导,在 \(x_0\) 处连续,则有

  1. \(\exist \delta>0,\forall x\in(x_0-\delta,x_0),f'(x)\le 0\),且 \(\forall x\in(x_0,x_0+\delta),f'(x)\ge 0\),则 \(x_0\) 必为 \(f\) 的极小值点;
  2. (极大值点类似#1);
  3. \(\exist \delta>0,\forall x\in(x_0-\delta,x_0)\cup(x_0,x_0+\delta),f'(x)<(>)0\),则 \(x_0\) 必不是 \(f\) 的极值点;

命题:(极值的第二充分条件)设 \(f\)\(U(x_0)\) 内一阶可导,且 \(f'(x_0)=0\),且 \(f''(x_0)\neq 0\),则有

  1. \(f''(x_0)>0\),则 \(x_0\) 必为 \(f\) 的极小值点(例:\(f(x)=x^2\));
  2. \(f''(x_0)<0\),则 \(x_0\) 必为 \(f\) 的极大值点(例:\(f(x)=-x^2\));

证:

  1. 用带有 Peano 型余项的 Taylor 公式,得:

    \[f(x)-f(x_0)=\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+o((x-x_0)^2),x\to x_0\\ =(x-x_0)^2(\frac{f''(x_0)}{2}+o(1)),x\to x_0 \]

    \(\because\lim_{x\to x_0}o(1)=0\),又 \(f''(x)>0\)

    \(\therefore\) 对于 \(\epsilon=\frac{f''(x_0)}{4}>0\),存在 \(\delta >0\)\(\forall x\in\mathring U(x_0,\delta)\),有 \(|o(1)|<\epsilon=\frac{f''(x_0)}{4}\)

    \(\therefore 0<\frac{f''(x_0)}{4}<\frac{f''(x_0)}{2}+o(1)<\frac{3f''(x_0)}{4}\),从而 \(f(x)-f(x_0)\ge 0,\forall x\in U(x_0,\delta)\).

  2. 类似#1

该方法可以推广至 \(n-1\) 阶可导,且 \(f^{(k)}(x_0)=0,\forall k\in[1,n-1],f^{(n)}\neq 0\) 时,为极值等价于 \(n\) 为偶数(极值的第三充分条件).

例:求 \(f(x)=x^4-2x^2\) 的所有极值.

解:\(f'(x)=4x^3-4x=0\Rightarrow x_1=0,x_2=1,x_3=-1\).

\(f''(x)=12x^4-4\).

\(f''(x_1)=-4<0\Rightarrow f(0)=0\) 是极大值……

例:任意取定 \(p>1\),证明不等式:\(\forall x\in[0,1]\)\(2^{1-p}<x^p+(1-x)^p\le 1\).

证:令 \(f(x)=x^p+(1-x)^p,x\in[0,1]\).

\(\forall x\in(0,1),f'(x)=px^{p-1}-p(1-x)^{p-1}\),由 \(f'(x)=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}\).

\(f(0)=f(1)=1,f(\frac12)=2^{1-p}<1\).(然后下结论)

函数的凹凸性与拐点

定义:设 \(f:I\to \R\) 是一个函数,其中 \(I\) 是一个区间. 若 $\forall x_1,x_2\in I,x_1\neq x_2,\forall \lambda\in(0, 1) $ 成立 \(f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\le(\ge)\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)\),则称 \(f\)\(I\) 上凸(凹)或称 \(f\)\(I\) 上的凸(凹)函数;如果去掉上式的等号,则为严格凸(凹)函数.

命题:若 \(f\)\(I\) 上的凸函数,则 \(-f\)\(I\) 上凹函数。

命题:\(f\)\(I\) 上凹 \(\Leftrightarrow\forall x_1,x_2,x_3\in I,x_1<x_2<x_3\),有 \(\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\le\frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}\le\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}\).(用定义证明)

证明:令 \(\lambda = \frac{x_3-x_2}{x_3-x_1}\),则 \(x_2=\lambda x_1+(1-\lambda)x_3\)\(f(x_2)\le\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_3)\),故 \((x_3-x_1)f(x_2)\le (x_3-x_2)f(x_1)+(x_2-x_1)f(x_3)\),凑一下即可。

命题:设 \(f\) 在开区间 \(I\) 上可导,则下述三个论述等价:

  1. \(f\)\(I\) 上凸;
  2. \(f'\) 单增;
  3. \(\forall x_1,x_2\in I\)\(x_1\neq x_2\),有 \(f(x_2)\ge f(x_1)+f'(x_1)(x_2-x_1)\)

证明可以 \(1\Rightarrow 2\Rightarrow 3\Rightarrow 1\).

\(1\Rightarrow 2\)\(\frac{f(x_1)-f(x_1-h)}{h}\le \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\le \frac{f(x_2+h)-f(x_2)}{h}\)\(h>0\)),然后取极限即可。

\(2\Rightarrow 3\):Lagrange 中值定理

\(3\Rightarrow 1\):再找 \(x_3\),然后凑 \(\lambda\).

命题:若 \(f\) 在开区间 \(I\) 上二阶可导,则 \(f\)\(I\) 上凸 \(\Leftrightarrow\forall x\in I,f''(x)\ge 0\).

命题:若 \(f\) 在开区间 \(I\) 上二阶可导,且 \(\forall x\in I,f'(x)>0\),则 \(f\)\(I\) 上严格可导。

Jensen 不等式(琴生不等式)

\(n\in\Z^+-\{1\},a,b\in\R,a<b\)\(f\)\([a,b]\) 上的凸函数,则 \(\forall x_i\in[a,b],\lambda_i>0\)\(\sum_{i=1}^n\lambda_i=1\)\(i=1,2,\dots,n\)),有下述 Jensen 不等式成立:

\[f(\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i)\le \sum_{i=1}^n\lambda_if(x_i) \]

证:\(n=2\) 时,由凸函数定义知基础成立。

​ 假设 \(n=k\) 时结论成立,看 \(n=k+1\) 时,\(\forall x_1,x_2,\dots,x_k,x_{k+1}\in[a,b],\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_{k+1}\in(0,1)\)\(\sum_{i=1}^{k+1}\lambda_i=1\),则 \(\sum_{i=1}^{k}\frac{\lambda_i}{1-\lambda_{k+1}}=1\).

\(\forall i=1,\dots,k\),令 \(\alpha_i=\frac{\lambda_i}{1-\lambda_{k+1}}\in(0,1)\),有 \(\sum_{i=1}^{k}\alpha_i=1\).

\[f(\sum_{i=1}^{k+1}\lambda_ix_i)=f\left((1-\lambda_{k+1})\sum_{i=1}^k\frac{\lambda_i}{1-\lambda_{k+1}}x_i+\lambda_{k+1}x_{k+1}\right)\le(1-\lambda_{k+1})f(\sum_{i=1}^{k}\alpha_i x_i)+\lambda_{k+1}f(x_{k+1}) \]

​ 再用 \(n=k\) 的归纳假设即可。

例:用 \(f(x)=-\ln x\) 证明算术平均大于几何平均。

拐点

严格凹凸性发生改变&连续(但是考试还是认为有一条穿过曲线的切线)

命题:设 \(f\) 在区间 \(I\) 上有定义,\(x_0\in I\),则 \(\forall x\in I, x\ne x_0\),令 \(g(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\),若 \(f\)\(I\) 上凸,则 \(g\)\(I-\{x_0\}\) 上单增。

画函数 \(y=f(x),x\in D_f\) 的草图

  1. 确定函数定义域 \(D_f\).
  2. 考察函数的奇偶性、周期性.
  3. 求函数图像上一些特殊点,例如与坐标轴的焦点,不连续点、不可导点等.
  4. 确定函数的单调区间及极值点、确定函数的凹凸区间和拐点.
  5. 求渐近线.
  6. 画草图.

例:作函数 \(y=f(x)=\frac{x}{(x^2-1)^\frac{1}{3}}\) 的草图.

解:

  1. 定义域 \(D_f=\R-\{\pm 1\}\).

  2. \(f(-x)=\frac{-x}{(x^2-1)^\frac13}=-f(x)\),所以 \(f\) 为奇函数,非周期.

  3. \(f(0)=0\),图像上过坐标轴的交点为 \((0,0)\),不连续点位 \(x=\pm 1\).

  4. \[f'(x)=\frac{x^2-3}{3(x^2-1)^\frac43},x\in\R-\{\pm 1\}\\ f''(x)=\frac{2x(9-x^2)}{9(x^2-1)^\frac{7}{3}},x\in\R-\{\pm 1\} \]

    所以 \(f'(x)=0\Rightarrow x=\pm\sqrt3,f''(x)=0\Rightarrow x=0,\pm 3\)

  5. 渐近线:\(x=1,x=-1\).

  6. \(x\) \(0\) \((0,1)\) \(1\) \((1,\sqrt 3)\) \(\sqrt 3\) \((\sqrt3,3)\) \(3\) \((3,+\infin)\)
    \(f(x)\) \(0\) \(-\) 间断点 \(+\) \(\frac{\sqrt3}{\sqrt[3]2}\dot=1.37\) \(+\) \(1.5\) \(+\)
    \(f'(x)\) \(-\) \(-\) 不存在 \(-\) \(0\) \(+\) \(+\) \(+\)
    \(f''(x)\) \(0\) \(-\) 不存在 \(+\) \(+\) \(+\) \(0\) \(-\)
    图形特征 拐点 单减,凹 间断点 单减,凸 极小值点 单增,凸 拐点 单增,凹
  7.  2024-11-19 104823.png

实数的完备性定理

(阿基米德性质)

  1. 确界原理
  2. 单调有界定理
  3. 闭区间套定理
  4. 有限覆盖定理(Heine-Borel)
  5. 致密性定理(Bolzano-Weierstrass)(任意有界数列必有收敛子列)
  6. 聚点定理
  7. 数列的柯西收敛准则

已证:\(1\Rightarrow 2\Rightarrow 5\Rightarrow 7\).

#3. 闭区间套定理

设有两个实数列 \(\{a_n\},\{b_n\}\),满足

  1. \(\forall n\in\Z^+,[a_{n+1},b_{n+1}]\sub[a_n,b_n]\).
  2. \(\lim_{n\to +\infin}(b_n-a_n)=0\).

\(\exist!\zeta\in\R\) s.t. \(\forall n\in\Z^+,\zeta\in[a_n,b_n]\).(即 \(\{\zeta\}=\bigcap_{n=1}^{+\infin}[a_n,b_N]\)

进一步地有:\(\lim_{n\to +\infin}b_n=\lim_{n\to +\infin}a_n=\zeta\).

证:

先证存在性,由 #2 推 #3。

\(\because\forall n\in\Z^+,a_n\le a_{n+1}\le b_{n+1}\le b_n\).

\(\therefore \forall n\in \Z^+\),有 \(a_1\le a_n\le a_{n+1}\le b_{n+1}\le b_n\le b_1\).

于是 \(\{a_n\}\) 有上界 \(b_1\)\(\{b_n\}\) 单调递减有下界 \(a_1\).

从而 \(\{a_n\},\{b_n\}\) 收敛,设 \(\lim_{n\to +\infin}a_n=\zeta\),由条件 2 可知 \(\lim_{n\to +\infin}b_n=\zeta\).

任意取 \(n\in\Z^+\),则 \(\forall p\in\Z^+\),有 \(a_n\le a_{n+p},b_{n}\ge b_{n+p}\).

\(p\to +\infin\) 得:\(a_n\le \zeta=\lim_{p\to +\infin}a_{n+p},b_{n}\ge \zeta=\lim_{p\to +\infin}b_{n+p}\).

即有 \(\zeta\in[a_n,b_n]\).

再证唯一性,假设\(\exist \eta\neq \zeta\) s.t. \(\forall n\in\Z^+,\zeta\in[a_n,b_n],\eta\in[a_n,b_n]\Rightarrow |\zeta-\eta|\le b_n-a_n\),令 \(n\to +\infin\) 得:\(|\zeta-\eta|=0\),与假设矛盾.

注意:开区间结论不成立,例:\((0,\frac{1}{n})\).

#4 有限覆盖定理

\(\Lambda\) 是一个指标集,在 \(\Lambda\) 中任取一个指标 \(\lambda\),设 \(O_{\lambda}\)\(\R\) 的一个开区间,称 \(\{O_{\lambda}|\lambda\in \Lambda\}\) 为一族开区间.

\(D\)\(\R\) 的一个非空子集,若 \(\forall x\in D,\exist\lambda\in\Lambda,\) s.t. \(x\in O_{\lambda}\),则称开区间族 \(\{O_\lambda|\lambda\in\Lambda\}\)\(D\) 的一个开(区间)覆盖(即 \(D\sub\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\)).

\(a,b\in\R,a<b\),若 \(\mathcal H=\{O_\lambda,\lambda\in\Lambda\}\)\([a,b]\) 的一个开覆盖,则可以从 \(\mathcal H\) 中取出有限多个 \(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n(n\in\Z^+)\),使得 \([a,b]\sub\bigcup_{k=1}^nO_{\lambda_k}\).

证:由 #3 推 #4.(用反正法)

假设结论不成立,即不能用 \(\mathcal H\) 中有限多个开区间覆盖 \([a,b]\).

\([a,b]\) 二等分,则其中至少有一个不能用 \(\mathcal H\) 中的有限多个开区间盖住……一直二等分,形成闭区间套。由闭区间套定理,\(\exist!\zeta\in\R\),满足 \(\zeta\in[a_n,b_n]\forall n\in\Z^+\)

\(\exist\mathcal H\) 中的一个开区间 \((\alpha,\beta)\) s.t. \(\zeta\in(\alpha,\beta)\),令 \(\epsilon=\min\{\zeta-\alpha,\beta-\zeta\}>0\)\(\exist N_1\in\Z^+,\forall n>N_1,|a_n-\zeta|<\frac{\epsilon}{2}\)\(\exist N_2\in\Z^+,\forall n> N_2,|b_n-\zeta|<\frac{\epsilon}{2}\),故 \(\exist N=N_1+N_2\in\Z^+\) s.t. \([a_N,b_N]\sub(\alpha,\beta)\),与假设矛盾。

注意:覆盖开区间不一定成立,例如:\(\{(\frac{1}{n+2},\frac{1}{n})|n\in\Z^+\}\) 覆盖 \((0,1)\)

#6 聚点定理

  1. 定义:设 \(S\)\(\R\) 的一个非空子集.

    \(x_0\in\R\),若 \(\forall \epsilon>0,(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon)\cap S\) 是一个无限集.

    则称 \(x_0\)\(S\) 的一个聚点.

  2. 定义:设 \(S\)\(\R\) 的一个非空子集.

    \(x_0\in\R\),若 \(\forall \epsilon >0,[(x_0-\epsilon,x_0)\cup (x_0,x_0+\epsilon)]\cap S\neq \varnothing\),则称 \(x_0\)\(S\) 的一个聚点.

  3. 定义:设 \(S\)\(\R\) 的一个非空子集,\(x_0\in\R\),若 \(\exist S\) 中的一个两两不同的数列 \(\{x_n\}\) s.t. \(\lim_{n\to+\infin}x_n=x_0\),则称 \(x_0\)\(S\) 的一个聚点(极值点).

上述三条定义等价。

聚点定理:(Weiertrass)\(\R\) 的任意一个有界的无限子集必有聚点。

证:由 #5 推 #6.

\(\R\) 的这个有界无限子集为 \(S\),从 \(S\) 中可取出一个两两不同的数列 \(\{x_n\}\),s.t. \(\{x_n|n\in\Z^+\}\sub S\).

因为 \(S\) 有界,所以 \(\{x_n\}\) 也有界 ,所以由致密性 Th 知,\(\{x_n\}\) 存在一个收敛子列.

设此子列为 \(\{x_{n_k}\}\)\(\lim_{k\to +\infin}x_{n_k}=x_0\in\R\),由定义知,\(x_0\)\(f\) 的一个聚点.

证:由 #6 推 #7.

\(\{x_n\}\) 收敛 \(\Leftrightarrow\) \(\{x_n\}\) 为柯西列。

\(\Rightarrow\) 易证。

\(\Leftarrow\):柯西列有界,所以 \(\{x_n\}\) 有界。

  1. \(\{x_n|n\in\Z^+\}\) 是有限集,由 \(\{x_n\}\) 为柯西列知,\(\exist N\in\Z^+,s.t.\forall p\in\Z^+\),有 \(x_{N+p}=x_N\).

  2. \(\{x_n|n\in\Z^+\}\) 不是有限集,由聚点定理知,\(\{x_n|n\in\Z^+\}\) 存在一个聚点 \(\zeta\in\R\).

    故有 \(\exist n_0>N\),使得 \(x_{n_0}\in(\zeta-\frac{\epsilon}2,\zeta+\frac\epsilon2)\),从而有

    \(n>N\) 时,

    \[|x_n-\zeta|=|x_n-x_{n_0}+x_{n_0}-\zeta|\le|x_n-x_0|+|x_n-\zeta|<\frac{\epsilon}2+\frac\epsilon 2=\epsilon \]

得证

书上 P154 例三由 #7 推 #1.

证:由 #4 推 #1

\(S\sub \R\)\(S\neq \varnothing\),且 \(S\) 有上界 \(M\).

任取 \(x_0\in S\),若 \(x_0=M\),则 \(x_0=\sup S\).

下设 \(x_0<M\),且 \(x_0\) 不是 \(S\) 的上界(否则 \(x_0\) 为上确界),考察区间 \([x_0,M]\).

下用反证法证明 \(S\) 存在上确界.

假设 \(S\) 没有上确界,那么任取 \(x\in[x_0,M]\),有:

  1. \(x\)\(S\) 的上界,必有更小的上界 \(x_1<x\),则 \(\exist\) 包含 \(x\) 的一个开区间 \(O_x\) 使得 \(O_x\) 中的每个点都是 \(S\) 的上界(例如取 \(O_x=(x-\frac{x-x_1}{2},x+\frac{x-x_1}{2})\)
  2. \(x\) 不是 \(S\) 的上界,必 \(\exist x_2\in S\) 使得 \(x_2 > x\),于是 \(\exist\) 一个包含 \(x\) 的开区间 \(O_x\) 使得 \(O_x\) 中的每个点都不是 \(S\) 的上界,

\(\mathcal H=\{O_x|x\in[x_0,M]\}\),则 \(H\)\([x_0,M]\) 的一个开覆盖。

由 #4(有限覆盖 Th)得,在 \(\mathcal H\) 中可取到 \(x_3.x_4,\dots,x_k\in[x_0,M],(k\ge 3,k\in\Z,k为某个确定的数)\),使得 \([x_0,M]\sub \bigcup_{i=3}^kO_{x_i}\),(如果有区间被其他的区间覆盖就不取),相邻的会有交,会有 \(x\) 同时属于是和不是上界的区间,矛盾.

由此,\(S\) 存在上确界.

证:由 #7 推 #3.

\(\{[a_n,b_n]\}\) 是一列闭区间,满足:

  1. \(\forall n\in\Z^+,[a_{n+1},b_{n+1}]\sub [a_n,b_n]\).
  2. \(\lim_{n\to+\infin}(a_n-b_n)=0\).

\(m,n,\in\Z^+\)\(m>n\),则由 1 有 \(0\le a_m-a_n\le b_n-a_n\to 0\).

从而知 \(\{a_n\}\) 是一个柯西列,由 #7 知 \(\{a_n\)} 收敛,设 \(\lim_{n\to +\infin}a_n=\zeta\in\R\).

再由 2 知 \(\lim_{n\to +\infin}b_n=\lim_{n\to+\infin}(b_n-a_n)+\lim_{n\to +\infin}a_n=\zeta\).

又由 1 知,\(\forall n\in\Z^+,a_n\le \zeta \le b_n\).

用有限覆盖定理证明:\([a,b]\) 上的连续函数必然一致连续(Cantor 定理)。

证:设 \([a,b]\) 上的连续函数为 \(f(x)\),则 \(\forall \epsilon >0,\forall x\in[a,b],\exist \delta_x>0\),使得:\(\forall x^*\in U(x,\delta_x),x^{**}\in U(x,\delta_x)\)\(|f(x^*)-f(x^{**})|<\epsilon\)\(x^*,x^{**}\in[a,b]\))。

\(\mathcal H=\{U(x,\frac{\delta_x}{2})|x\in[a,b]\}\),由有限覆盖定理得,\(\exist x_1,x_2,\dots,x_k\in[a,b]\),(\(k\) 是某个正整数),使得 \([a,b]\sub\bigcup_{i=1}^k U(x,\frac{\delta_x}{2})\)

\(\delta=\min\{\frac{\delta_x}{2}|i=1,2,\dots,k\}>0\),任取 \(x^*\in[a,b],x^{**}\in[a,b]\) 使得 \(|x^*-x^{**}|<\delta\),下证 \(x^*,x^{**}\) 必在同一个 \(U(x_i,\delta_{x_i})\)

\[\because x\in[a,b],\therefore \exist i_0\in\{1,2,\dots,k\},s.t. x^*\in U(x_{i_0},\frac{\delta_{x_{i_0}}}{2})\\ 再任取 x^{**}\in[a,b] 且 |x^*-x^{**}|<\delta,有\\ |x^{**}-x_{i_0}|\le|x^{**}-x^*|+|x^*-x_{i_0}|<\delta_{x_{i_0}}\\ \Rightarrow x^{**}\in U(x_{i_0},\delta_{x_{i_0}})\Rightarrow |f(x^*)-f(x^{**})|<\epsilon \]

由定义知,\(f\)\([a,b]\) 上一致连续。

不定🍮积分

原函数:设 \(F(x)\)\(D\) 上处处可导且 \(\forall x\in D,F'(x)=f(x)\),则称 \(F(x),x\in D\)\(f(x),x\in D\) 的一个原函数(称 \(F(x)\)\(f(x)\)\(D\) 上的一个原函数)。

为了方便,下面总设 \(D\) 是一个开区间,记作 \(I\).

不定积分:称 \(f(x),x\in I\) 的所有原函数组成的集合 \(\{F(x),x\in I| F 是 f 在 I 上的一个原函数\}\)\(f\)\(I\) 上的不定积分,记作 \(\int f(x)dx(,x\in I)\)(不引起混淆的情况下括号内的东西可省略)。有时把 \(f\)\(I\) 上的不定积分简记作 \(F(x)+C,x\in I(其中 C 跑遍所有实数)\).

例:\((\arctan x)'_x=(-\operatorname{arccot} x)'_x\).

  • \(\int 0dx=C\).
  • \(\int 1dx=x+C\).
  • \(\alpha\neq -1,\int x^{\alpha}dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\).
  • \(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)(只是写成这样,因为在 \((-\infin,0)\)\((0,+\infin)\) 上的 \(C\) 可以不一样,实际上应该写分段函数).

命题:不定积分的线性运算法则

\(F(x),G(x)\) 分别为 \(f(x),g(x)\) 在区间 \(I\) 上的原函数,\(k_1,k_2\in\R\)\((k_1)^2+(k_2)^2\ne 0\),则

\[\int(k_1f(x)+k_2g(x))dx=k_1\int f(x)dx+k_2\int g(x)dx \]

去掉 \((k_1)^2+(k_2)^2\ne 0\) 的条件可写作:

\[\int(k_1f(x)+k_2g(x))dx=k_1F(x)+k_2G(x)+C \]

例:求 \(\int\frac{x^4}{x^2+1}dx\).

\[\begin{aligned} \int \frac{x^4}{x^2+1}&=\int \frac{x^4-1+1}{x^2+1}\\ &=\int(x^2-1+\frac{1}{x^2+1})\\ &=\frac{x^3}{3}-x+\arctan x+C \end{aligned} \]

例:\(\int\frac{1dx}{\sin^2x\cos^2x}=\int(\csc^2 x+\sec^2x)dx=-\cot x+\tan x+C\).

例:\(\int |x-1|dx\).

解:

\[F(x)=\begin{cases} \frac{x^2}2-x+C_1&,x\ge 1\\ x-\frac{x^2}2+C_2&,x<1 \end{cases} \]

则要求 \(F(x)\) 连续,则 \(C_1-\frac12=C_2+\frac12\).

换元积分法(“变量替换法”)

一、第一换元积分法(“凑微分法”)

命题:设 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上有定义,\(\varphi(t)\) 在区间 \(J\) 内可导,且 \(\varphi(J)\sube I\).

如果 \(\int f(x)dx=F(x)+C\),则 \(\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt=F(\varphi(t))+C(t\in J)\)(证明用复合函数求导的链式法则).

例:

\[\int \tan xdx=\int \frac{\sin x}{\cos x}dx=-\int\frac{(\cos x)'}{\cos x}dx=-\ln|\cos x|+C \]

例:设 \(a>0\)\(a\) 为常数

\[\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\int\frac{dx}{1+(\frac{x}{a})^2}\cdot\frac{1}{a^2}=\int\frac{d(x/a)}{1+(\frac{x}{a})^2}\cdot\frac{1}{a}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C \]

例:\(\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac x a+C\).

例:\(\int\frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\int(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a})dx=\frac1{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C\)(注意这个是被分成三个区间)。

例:

\[\int\sec x dx=\int\frac{\cos x}{\cos^2 x}dx=\int\frac{(\sin x)'_xdx}{1-\sin^2x}=-\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1-\sin x}{1+\sin x}\right|+C=\frac12\ln\left|\frac{(1+\sin x)^2}{\cos^2 x}\right|+C\\=\ln\left|\sec x+\tan x\right|+C \]

注意,\(\int \frac{d(\sin x)}{\sin x}\) 是没有意义的,只能对 \(x\) 积分,这只是形式写法。

二、第二换元积分法

\(f(x),x\in I\) 存在原函数 \(x=\varphi(t),t\in J\) 可导且 \(\exist t=\psi(x),x\in I\) 使得 \(\varphi(\psi(x))=x(\forall x\in I)\),若

\[\int f\left(\varphi(t)\right)\varphi'(t)dt=F(t)+C \]

则有

\[\int f(x)dx=F(\psi(x))+C \]

证:设 \(f(x),x\in I\) 的原函数位 \(U(x),x\in I\),则 \(\forall x\in I\),有 \(U'(x)=f(x)\).

​ 又由题意知,\(F(t)\) 满足 \(\forall t\in J\),有 \(f(\varphi(t))\times\varphi'(t)=F'(t)\),于是有

\[\frac{d(U(\varphi(t)))}{dt}=U'(x)|_{x=\varphi(t)}\times \varphi'(t)=F'(t),\forall t\in J \]

​ 从而知,\(\exist C\in \R\),使得 \(U(\varphi(t))=F(t)+C\).

​ 用 \(t=\psi(x)\) 代入并利用恒等式 \(\varphi(\psi(x))=x\) 得:

\[U(x)=F(\psi(x))+C \]

​ 此即

\[(F(\psi(x)))'_x=f(x) \]

三、分部积分法

\(u(x),v(x)\)\(I\) 上可导.

\(\int u'(x)v(x)dx\) 存在,则 \(\int u(x)v'(x)dx\) 也存在,且有 \(\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)dx\).

  1. \[\begin{aligned} &\int\cot x dx\\ =&\int\frac{\cos x}{\sin x}dx\\ =&\int\frac{(\sin x)_x'}{\sin x}dx\\ =&\int\frac{dt}{t}&(t=\sin x)\\ =&\ln |t| + C\\ =&\ln|\sin x| + C \end{aligned} \]

  2. \[\begin{aligned} &\int \frac{dx}{\sqrt x+ \sqrt[3]x}\\ =&\int\frac{6t^5dt}{t^3+t^2}&(t^6=x,t>0)\\ =&6\int\frac{t^3}{t+1}dt\\ =&6\int\frac{(t+1)(t^2-t+1)-1}{t+1}dt\\ =&6\int(t^2-t+1-\frac{1}{t+1})dt\\ =&2t^3-3t^2+6t-6\ln(t+1)+C\\ =&2\sqrt x-3\sqrt[3]{x}+6\sqrt[6]{x}-6\ln(1+\sqrt[6]x)+C \end{aligned} \]

  3. \[\begin{aligned} &\int\sqrt{a^2-x^2}dx &(a>0,a为常数,-a<x<a)\\ =&a\int\cos^2t\cdot dt&(令 x=a\sin t,t\in(-\frac{\pi}2,\frac\pi 2))\\ =&a^2\int\frac{1+\cos(2t)}{2}dt\\ =&a^2(\frac{t}{2}+\frac{\sin(2t)}4)+C\\ =&\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{a^2}{2}\times\frac{x}{a}\times\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}+C\\ =&\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}2+C \end{aligned} \]

  4. \[\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}},(x\in(-\infin,-a)\cup(a,+\infin)) \]

    1. \(I=(a,+\infin)\)

      \[\begin{aligned} =&\int\frac{a\sec t\tan t}{a\tan t}dt&(x=a\sec t)\\ =&\int\frac{dt}{\cos t}\\ =&\ln|\sec t+\tan t|+C\\ =&\ln\left|\frac{\sqrt{x^2-a^2}+x}{a}\right|+C\\ =&\ln|\sqrt{x^2-a^2}+x|+C \end{aligned} \]

  5. 同理

  6. \(a>0\) 为常数,求

    \[\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^2} \]

    \(x=a\tan t,t\in(-\frac\pi2,\frac\pi2)\)\(dx=a\sec^2t\cdot dt\).

    \[\begin{aligned} =&\int\frac{a\sec^2t}{a^4\sec^4 t}dt\\ =&\frac1{a^3}\int\cos^2 tdt\\ =&\frac{1}{a^3}\int\frac{1+\cos2t}{2}dt\\ =&\frac{t}{2a^3}+\frac{\sin (2t)}{4a^3}+C\\ =&\frac{\arctan\frac x a}{2a^3}+\frac{x}{2a^2(x^2+a^2)}+C \end{aligned} \]

    另解:

    \[\begin{aligned} =&\frac{1}{a^2}\int\frac{x^2+a^2-x^2}{(x^2+a^2)^2}dx\\ =&\frac1{a^2}\int\frac{dx}{x^2+a^2}-\frac{1}{a^2}\int\frac{x^2dx}{(x^2+a^2)}\\ =&\frac1{a^3}\arctan\frac{x}a-\frac{1}{a^2}\int x\left(-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2+a^2}\right)'_xdx\\ =&\frac1{a^3}\arctan\frac{x}a+\frac{1}{2a^2}\int x\cdot\left(\frac{1}{x^2+a^2}\right)'_xdx\\ =&\frac1{a^3}\arctan\frac{x}a+\frac{1}{2a^2}\left(\frac{x}{x^2+a^2}-\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}\right)+C\\ =&\dots \end{aligned} \]

  7. \[\begin{aligned} &\int\ln x dx\\ =&x\ln x-\int x\cdot\frac{1}{x}dx\\ =&x\ln x-x+C \end{aligned} \]

  8. \[\begin{aligned} &\int\arctan xdx\\ =&x\arctan x-\int\frac{xdx}{1+x^2}\\ =&x\arctan x-\frac{1}{2}\int\frac{d(1+x^2)}{1+x^2}\\ =&x\arctan x-\frac12\ln(1+x^2)+C \end{aligned} \]

分部积分:反、对、幂、三、指(排在后面的往微分里面凑)

例:\(\int x\cos x dx=\int xd(\sin x)\).

\[\begin{aligned} &\int e^x\sin xdx\\ =&\int\sin xd(e^x)\\ =&e^x\sin x-\int e^x\cos xdx\\ =&e^x\sin x-\int \cos xd(e^x)\\ =&e^x\sin x-e^x\cos x-\int e^x\sin xdx\\ \Rightarrow \int e^x\sin x=&\frac{e^x}{2}(\sin x-\cos x)+C \end{aligned} \]

例:设 \(n\in \Z^+\),令 \(I_n=\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^n}\),(其中 \(a>0\) 为常数),求 \(I_n\) 递推公式.

解:\(I_1=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C,I_2=\frac{1}{2a^3}\arctan\frac{x}{a}+\frac{1}{2a^2}\cdot\frac{x}{x^2+a^2}+C\),下设 \(n\ge 3\).

\[((x^2+a^2)^{1-n})'=2(1-n)\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^n} \]

所以

\[\begin{aligned} I_n=&\frac{1}{a^2}\int\frac{x^2+a^2-x^2}{(x^2+a^2)^n}\\ =&\frac{1}{a^2}(I_{n-1}-\int\frac{x\cdot x}{(x^2+a^2)^n}dx)\\ =&\frac1{a^2}I_{n-1}-\frac{1}{a^2}\cdot\frac{1}{2-2n}\int xd((x^2+a^2)^{1-n})\\ =&\frac{1}{a^2}I_{n-1}-\frac{1}{(2-2n)a^2}\left(\frac{x}{(x^2+a^2)^{n-1}}-I_{n-1}\right)\\ =&\dots \end{aligned} \]

不定积分积得出来 等价于 原函数是初等函数

有理函数

\(n,m\in\N\),多项式函数 \(P_n(x)=\alpha_0 x^n+\alpha_1x^{n-1}+\dots+\alpha_n\)\(Q_n(x)=\beta_0 x^n+\beta_1x^{n-1}+\dots+\beta_n\),其中 \(\alpha_0\neq 0,\beta_0\neq 0\),且各个系数均为常数.

有理函数:\(R(x)=\frac{P_n(x)}{Q_n(x)}\),当 \(n<m\) 时,称其为真分式,否则为假分式

假分式(利用多项式除法)=多项式函数+真分式。

\[Q_m(x)=\beta_0(x-a_1)^{\lambda_1}\dots(x-a_s)^{\lambda_s}(x^2+p_1x+q_1)^{\mu_1}\dots(x^2+p_tx+q_t)^{\mu_t} \]

其中 \(a_i(i=1,2,\dots,s)\in \R\)\(\lambda_1,\lambda_2\dots,\lambda_s,\mu_1,\mu_2,\dots,\mu_t\in\Z^+,p_1,\dots,p_t,q_1,\dots,q_t\in \R\) 且满足 \(\forall j=1,\dots,t\),都有 \((p_j)^2-4q_j<0\).

称 (I)\(\frac{1}{x-a}\),(I')\(\frac{1}{(x-a)^k},k\in \Z^+-\{1\}\),(II)\(\frac{Mx+N}{x^2+px+q}\),(II')\(\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^k},k\in\Z^+-\{1\}\) 为部分分式。(\(p^2-4q<0,M,N,p,q\in\R\)

(I)/(I') 较易求积分.

(II) 配方:\(\frac{M(x+\frac{p}{2})+N-\frac{pM}2}{(x+\frac{p}{2})^2+(\sqrt{\frac{4q-p^2}{4}})^2}\),然后转成 \(\ln,\tan\).

(II') 递推。

例:求 \(\int \frac{dx}{1+x^3}\).

解:

\[\int\frac{dx}{1+x^3}=\frac{1}{3}\int\frac{dx}{1+x}-\frac{1}{3}\int\frac{x-\frac12}{(x-\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt 3}{2})^2}dx+\frac12\int\frac{dx}{(x-\frac12)^2+(\frac{\sqrt{3}}2)^2}\\ =\frac13\ln|1+x|-\frac16\ln|x^2-x+1|+\frac{1}{\sqrt 3}\arctan(\frac{2}{\sqrt 3}(x-\frac12))+C \]

称由 \(u(x),v(x)\) 及常值函数通过有限次四则运算得到的函数为关于 \(u(x),v(x)\) 的有理式,记作 \(R(u(x),v(x))\).

一、当 \(u(x)=\sin x,v(x)= \cos x\) 时,\(\int R(\sin x,\cos x)dx\) 可通过万能代换 \(t = \tan\frac x 2\) 化为有理函数 \(\tilde R(t)\) 的不定积分

\[\sin x=\frac{2\tan \frac x 2} {\tan^2\frac x 2 + 1}=\frac{2t}{1+t^2}\\ \cos x=\frac{1-\tan^2\frac x 2}{1+\tan^2\frac x{2}}=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\ \int \tilde R(t)dt=\int R(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}dt \]

例:

\[\begin{aligned} &\int \frac{dx}{1+\sin x+\cos x}\\ =&\int\frac{\frac{2}{1+t^2}dt}{1+\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}}&(t=\tan\frac x 2)\\ =&\int\frac{dt}{1+t}\\ =&\ln|1+t|+C\\ =&\ln|1+\tan\frac x 2|+C \end{aligned} \]

三类特殊情形:

  1. 如果 \(R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)\),则可令 \(t=\cos x\).

    例:

    \[\begin{aligned} &\int\frac{dx}{\sin x(\cos^2 x-\sin ^2 x)}\\ =&\int\frac{\sin x}{1-\cos^2x}\cdot\frac{1}{\cos^2x-\sin^2x}dx\\ =&\int\frac{1}{1-\cos^2x}\cdot\frac{1}{2\cos^2x-1}d(\cos x)\\ =&\dots \end{aligned} \]

  2. 如果 \(R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x, \cos x)\),则可令 \(t=\sin x\).

    例:

    \[\int\frac{dx}{\cos x(\cos^2x-\sin^2x)} \]

  3. 如果 \(R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)\),则可令 \(t=\tan x\).

    \[\int\frac{\cos^2x-\sin^2x}{\cos^4x+\sin^4x}dx=\int\frac{\sec^2x-\tan^2x\sec^2x}{1+\tan^4x}dx=\int\frac{1-\tan^2x}{1+\tan^4x}d(\tan x) \]

二、某些带有无理根式的有理式

  1. \(u(x)=x,v(x)=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\)(其中 \(n\ge 2,n\in\Z^+\)\(a,b,c,d\in\R\)\(\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\neq 0\)),对于 \(\int R(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})dx\) 利用 \(t=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\) 可化为有理函数的不定积分。

    \[\begin{aligned} I=&\int\frac{1}{x}\sqrt{\frac{x+2}{x-2}}dx\\ &令 t=\sqrt{\frac{x+2}{x-2}},x=... \end{aligned} \]

  2. \(u(x)=x,v(x)=\sqrt{ax^2+bx+c}\)(其中 1) \(a>0,b^2-4ac\neq 0\);2) \(a<0,b^2-4ac>0\)),利用适当的三角代换可有理化。

    \(\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})dx\) 可化为

    1. \[\int \tilde R(u,\sqrt{m^2-u^2})du\\ u=m\sin t \]

      或双曲正切等,下同。

    2. \[\int\tilde R(u,\sqrt{m^2+u^2})du\\ u=m\tan t \]

  3. \[\int\tilde R(u,\sqrt{u^2-m^2})du\\ u=m\sec t \]

例:

\[ \begin{aligned} &\int\frac{dx}{(x+1)^2\sqrt{x^2+2x+2}}&(x>-1)\\ =&\int\frac{1}{\tan^2 t}\cdot \frac{\sec^2 t}{\sec t}dt&x+1=\tan t \end{aligned} \]

三、二项微分式 \(\int x^m(a+bx^n)^pdx\) 其中 \(m,n,p\in\Q,a,b\in\R 且 ab\neq 0\).

仅有以下三种能积分

  1. \(p\in \Z\).
  2. \(\frac{m+1}{n}\in\Z,a+bx^n=t^s\) 其中 \(s\)\(p\) 的分母(正整数).
  3. \(\frac{m+1}{n}+p\in \Z,ax^{-n}+b=t^s\).

8.3 可有理化的根式积分、二项式微分积分(切比雪夫、牛顿) - 你学废了吗~~~ - 知乎

定积分

求有界图形 \(G\) 的面积(Area)。

假设有(网格状,不一定等分)分割 \(P\),记 \(\overline{A}(G;P)\) 为所有与 \(G\) 有交的方格面积和,\(\underline{A}(G;P)\) 是所有完全包含在 \(G\) 中的方格面积和。

又记

\[外面积 \overline{A}(G)=\inf\{\overline A(G;P)|所有分割 P\}\\ 内面积 \underline{A}(G)=\sup\{\underline A(G;P)|所有分割 P\} \]

\(\overline{A}(G)=\underline A(G)\) 时,称 \(G\) 是有面积的。

例:\(G=\{(x,y)\in \Q\times \Q|x,y\in[0,1]\}\),其外面积为 \(1\),内面积为 \(0\)

\(f\) 在区间 \([a,b]\) 上(其中 \(a,b\in\R,a<b\))有定义,将 \([a,b]\) 分割成一些小区间,即作 \([a,b]\) 的一个分割 \(T:a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b\).

\(I_i=[x_{i-1},x_i],i=1,2,\dots,n\)\(I_i\) 的长度记作 \(\Delta x_i=x_{i}-x_{i-1}\)\(T\) 的模(细度)记作 \(\|T\| = \max_{1\le i\le n}\Delta x_i\)

\(\forall i = 1,2,\dots, n\) 任取介点 \(\xi_i\in I_i\),作 Riemann 和 \(\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i=\sum_{T}f(\xi_i)\Delta x_i\),若 \(\exist J\in\R,\forall \epsilon >0,\exist \delta >0\),只要 \(\|T\|<\delta,\forall\{\xi_i\}\),总成立

\[\left|\sum_{T}f(\xi_i)\Delta x_o-J\right|<\epsilon \]

则称 \(f\)\([a,b]\) 上可积且称 \(J\)\(f\)\([a,b]\) 上的定积分(值),记作

\[J=\int_{a}^{b}f(x)\mathrm dx=\int_{a}^bf(t)\mathrm dt=\int_{a}^bf(u)\mathrm du=\dots \]

命题:\([a,b]\) 上的连续函数 \(f\) 一定可积。

定积分几何意义:若 \(f(x)\ge 0,x\in[a,b]\)\(f(x)\)\([a,b]\) 上连续,则 \(\int_a^bf(x)\) 表示由 \(y=f(x),x=a,x=b\)\(x\) 轴所围的平面有界图形(“曲边梯形”)的面积。

约定

  • \(a=b\) 时,\(\int_a^bf(x)\mathrm dx=0\).
  • \(a>b\) 时,\(\int_a^bf(x)\mathrm dx=-\int_b^af(x)\mathrm dx\).

命题:(牛顿-莱布尼兹公式,N-L 公式)设 \(f\)\([a,b]\) 上连续,且 \(\exist F(x),x\in[a,b]\) 满足 \(F'_+(a)=f(a),F'_-(b)=f(b)\),且 \(\forall x\in[a,b],F'(x)=f(x)\),则有 \(\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)\).

证:任作 \([a,b]\) 的一个分割 \(T:a=x_0<x_1<\dots<x_n=b,I_i=[x_{i-1},x_i],i=1,\dots, n\),在 \(I_i\) 上对 \(F\) 用 L 中值 Th 得

\[\exist \eta _i\in I_i,s.t. F(x_i)-F(x_{i-1})=f(\eta_i)\Delta x_i,i=1,2,\dots, n \]

从而有 \(F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^n(F(x_i)-F(x_i-1))=\sum_{i=1}^nf(\eta_i)\Delta x_i\)

\(\because f\)\([a,b]\) 上连续,\(\therefore f\)\([a,b]\) 上一致连续,\(\therefore \forall \epsilon >0,\exist \delta >0,\forall s,t\in[a,b]\)\(|s-t|<\delta\)\(|f(t)-f(s)|<\frac{\epsilon}{b-a}\)

从而当 \(\|T\|=\max_{1\le i\le n}\Delta x_i<\delta\) 时,\(\forall \{\xi_i\}\),有

\[\left| \sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i-(F(b)-F(a)) \right| = \left| \sum_{i}^n \left( f(\xi_i)-f(\eta_i) \right)\Delta x_i \right| \le \sum_{i=1}^n \left| f(\xi_i)-f(\eta_i) \right| \Delta x_i<\epsilon \]

从而由定积分的定义知 \(f\)\([a,b]\) 上可积,且

\[\int_{a}^bf(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)|_{x=a}^{x=b} \]

性质:若 \(f\)\([a,b]\) 上可积,则 \(f\)\([a,b]\) 上必有界。

证:设 \(\int_a^bf(x)\mathrm dx=J\in\R\),由定积分定义知,对于 \(\epsilon=1\),存在 \([a,b]\) 的一个分割 \(T\),s.t. $\forall $ 从属于 \(T\) 的介点集 \(\{\xi_i\}\),有 \(|\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta_i-J|<1\dots(*)\).

下面仅需证明 \(f\) 在每个 \(I_i\) 上有界。取定一个 \(I_i\)\(\forall k\neq i\),固定 \(\xi_k\)

\((*)\) 式可得,

\[\frac{1}{\Delta x_i}\left(J-1-\sum_{k\neq i}f(\xi_k)\Delta x_k\right)<f(\xi_i)<\frac{1}{\Delta x_i}\left(J+1-\sum_{k\neq i}f(\xi_i)\Delta x_k\right) \]

可积条件

\(a,b\in\R,a<b\).

可积的必要条件:若 \(f\)\([a,b]\) 上可积,则 \(f\)\([a,b]\) 上必有界,反之不真。

例:\(D(x)\)\([0,1]\) 上不可积

证:用反证法,假设可积,令 \(\int_0^1 D(x)\mathrm dx=J\in\R\),则由定积分的定义有,\(\forall \epsilon >0,\exist\delta >0,\forall \|T\|<\delta,\forall\{\xi_i\},|\sum_T D(\xi_i)\Delta x_i-J|<\epsilon\).

因为介点集是任意取定的,所以可以分别取全为有理和全为无理,得出矛盾。

下面考察可积的充要条件,总设 \(f\)\([a,b]\) 上有界。

\([a,b]\) 的一个分割 \(T:a=x_0<x_1<\dots<x_n=b,I_i,\Delta x_i\).

\(M_i=\sup f(I_i),m_i=\inf f(I_i),\omega_i=M_i-m_i\)

\(\sum_{i=1}^{n}M_i\Delta x_i\)\(f\)\([a,b]\) 上的关于分割 \(T\) 的 Darboux 上和(大和),记为 \(S(T)\)\(\sum_{i=1}^nm_i\Delta x_i\) 为 Darboux 下和(小和),记作 \(s(T)\)

\[\inf f([a,b])\cdot(b-a)\le s(T)\le \sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i\le S(T)\le\sup f([a,b])\cdot(b-a) \]

\(S = \inf\{S(T)| T 是 [a,b] 的一个分割\}\)\(f\)\([a,b]\) 的上积分,

\(s=\sup\{s(T)|T 是 [a,b] 的一个分割\}\)\(f\)\([a,b]\) 的下积分。

\(f\)\([a,b]\) 上有界,则有\(f\)\([a,b]\) 上可积 \(\Leftrightarrow S=s\).(可积的第一充分条件

*可积准则:设 \(f\)\([a,b]\) 上有界,则 \(f\)\([a,b]\) 上可积 \(\Leftrightarrow\)

\[\forall \epsilon >0,\exist [a,b] 的一个分割 T,\texttt{s.t.} S(T)-s(T)<\epsilon\\ 即 \sum_T \omega_i\Delta x_i<\epsilon(“振幅面积”) \]

可积的第二充分条件

命题 1:设 \(f\)\([a,b]\) 上有界,\(T\)\([a,b]\) 的一个分割,\(\tilde T\)\([a,b]\) 的一个分割,\(\tilde T\) 是向 \(T\) 中添加了一个新分点所形成的 \([a,b]\) 的一个新分割,则 \(\tilde T\) 的振幅面积必然不超过 \(T\).

命题 2:若 \(f\)\([a,b]\) 上可积,\([\alpha,\beta]\sub[a,b]\),则 \(f\)\([\alpha,\beta]\) 上也可积。

命题 3:若 \(f\)\(D\) 上有界,则

\[\sup f(D)-\inf f(D)=\sup\{f(\tilde x)-f(\tilde{\tilde x})|\tilde x,\tilde{\tilde x} \in D\} \]

证:设 \(M=\sup f(D),m=\inf f(D)\),则 \(M\ge m\).

  1. \(M=m\)

  2. \(M>m\)

    \(\forall \epsilon \in(0,\frac{M-m}{2}),\exist f(x_1)>M-\frac{\epsilon}2,f(x_2)<m+\frac\epsilon 2\),故 \(f(x_1)-f(x_2)>M-m-\epsilon\)……

可积函数类

一、命题:\([a,b]\) 上的连续函数 \(f\) 是可积的。

证:\(\because f\)\([a,b]\) 上连续,\(\therefore f\)\([a,b]\) 上一致连续

\[\omega_i=\sup f(I_i)-\inf f(I_i)=\sup\{f(\tilde x)-f(\tilde{\tilde x})|\tilde x,\tilde{\tilde x}\in I_i\}\\ \Rightarrow \sum_T \omega_i\Delta x_i\le\frac{\epsilon}{2(b-a)}\times (b-a)<\epsilon \]

二、命题:若 \(f\)\([a,b]\) 上单调,则 \(f\)\([a,b]\) 上可积。

证:不妨设 \(f\)\([a,b]\) 单增。

  1. 常值函数可积

  2. \(f(a)<f(b)\),任作 \([a,b]\) 的一个分割 \(T\)\(\omega_i=f(x_i)-f(x_{i-1}),i=1,2,\dots,n\).

    \[\sum_T\omega_i\Delta x_i\le \sum_T\omega_i\|T\|=\|T\|\sum_T\omega_i=\|T\|(f(b)-f(a)) \]

    \(\forall \epsilon>0\),取 \(\delta=\frac{\epsilon}{f(b)-f(a)}\),当 \(\|T\|<\delta\) 时,\(\sum_T\omega_i\Delta x_i<\epsilon\).

三、命题:若 \([a,b]\) 上的有界函数 \(f\) 仅有有限多个间断点,则 \(f\)\([a,b]\) 上可积。

证:仅证 \(b\)\(f\) 的唯一间断点时的情形。

\(M=\sup f([a,b]),m=\inf f([a,b])\),则 \(M>m\)\(\forall \epsilon>0\),任取 \(\tilde \delta \in (0,\frac{\epsilon}{2(M-m)})\)\(\tilde \delta<b-a\).

\(f\)\([b-\tilde \delta,b]\) 上振幅为 \(\tilde \omega\),则 \(\tilde \omega\times\tilde\delta<\frac{\epsilon}{2}\).

因为 \(f\)\([a,b-\tilde \delta]\) 上连续,所以 \(f\)\([a,b-\tilde\delta]\) 上可积,存在分割振幅小于 \(\frac{\epsilon}2\).

黎曼函数

\[R(x)=\begin{cases} \frac{1}{q}&,x\in(0,1)\cap \Q,x=\frac{p}{q}(p,q\in\Z^+),(p,q)=1\\ 0&,x\in\Q^C或 x=0或 x=1 \end{cases} \]

\([0,1]\) 上可积,且 \(\int_0^1 R(x)dx=0\).

证:\(\forall 0<\epsilon<\frac14\),在 \([0,1]\) 上使得 \(\frac1q>\frac\epsilon2\)的有理数 \(\frac{p}{q}\) 仅有有限多个,设为 \(k\in\Z^+\) 个.

记这些有理数为 \(r_1,\dots,r_k\),现对 \([0,1]\) 作一个分割 \(T=\{\Delta_1,\dots,\Delta_n\}\) 使得 \(\|T\|<\frac{\epsilon}{2k}\),将 \(T\) 中的区间分为两类 \(\{\tilde\Delta_i|i=1,\dots,m\}\)\(\{\tilde{\tilde\Delta}_i|i=1,\dots,n-m\}\),其中 \(\tilde \Delta_i\) 为含有 \(r_1,\dots,r_k\) 的小区间,其他的不含,从而有 \(m\le 2k\).

\[\sum_{\{\tilde\Delta_i\}}\tilde\omega_i\tilde{\Delta x_i}\le\sum_{\{\tilde\Delta_i\}}\frac{1}{2}\|T\|<\frac{\epsilon}{2}\\ \sum_{\{\tilde{\tilde\Delta}_i\}}\tilde\omega_i\tilde{\tilde{\Delta x_i}}\le\sum_{\{\tilde{\tilde\Delta}_i\}}\frac{\epsilon}{2}\tilde{\tilde{\Delta x_i}}\le\frac{\epsilon}{2} \]

上界 \(\epsilon\),下界让全部都取无理数即为 \(0\)

可积函数性质

  1. \(f\)\([a,b]\) 上可积,\(k\in\R\) 是常数,则 \(k\cdot f\) 也可积,且

    \[\int_a^bkf(x)\mathrm dx=k\int_a^bf(x)\mathrm dx \]

  2. \(f,g\)\([a,b]\) 上可积,则 \(f\pm g\)\([a,b]\) 上也可积,且

    \[\int_a^b(f\pm g)(x)\mathrm dx=\int_{a}^bf(x)\mathrm dx\pm\int_{a}^bg(x)\mathrm dx \]

  3. \(f,g\)\([a,b]\) 上可积,则 \(f\cdot g\)\([a,b]\) 上可积。

    \(A=\sup|f|([a,b]),B=\sup|g|([a,b])\).

    1. \(A=0\)\(B=0\),则成立。

    2. 下设 \(A>0,B>0\).

      \(\forall \epsilon >0\),由于 \(f,g\) 可积,故 \(\exist T_1,T_2\) s.t.

      \[\sum_{T_1}\tilde \omega_i^f\Delta x_i<\frac{\epsilon}{2B}\\ \sum_{T_2}\tilde \omega_i^g\tilde{\Delta x_i}<\frac{\epsilon}{2A} \]

      \(T=T_1+T_2\)(合并所有分点)

      \(I_k\) 是属于 \(T\) 的某个小区间,则有:

      \[\begin{aligned} w_k^{f\cdot g}&=\sup_{s,t\in I_k} |f(s)g(s)-f(t)g(t)|\\ &\le\sup_{s,t\in I_k}(|g(s)||f(s)-f(t)|+|f(t)||g(s)-g(t)|)\\ &\le\sup_{s\in I_k}|g(s)|\cdot\sup_{s,t\in I_k}|f(s)-f(t)|+\sup_{t\in I_k}|f(t)|\cdot\sup_{s,t\in I_k}|g(s)-g(t)|\\ &\le B\cdot\omega_k+A\cdot\omega_k^g\\ \sum_T\omega_k^{f\cdot g}\tilde{\tilde{\Delta x_k}}&\le \sum_T B\omega_k^f\tilde{\tilde{\Delta x_k}}+\sum_T A\omega_k^g\tilde{\tilde{\Delta x_k}}\\ &\le\dots\\ &<\epsilon \end{aligned} \]

  4. 区间可加性:设 \(c\in(a,b)\)\(f\)\([a,b]\) 上可积,等价于 \(f\)\([a,c]\)\([c,b]\) 上均可积。

    进一步有

    \[\int_a^bf(x)\mathrm dx=\int_a^cf(x)\mathrm dx+\int_c^bf(x)\mathrm dx \]

    证:取 \([a,b]\) 的一个分割 \(T\),使得 \(c\in T\)\(T=T_1+T_2\)\(T_1\) 中最大的分点为 \(c\)\(T_2\) 中最小的分点为 \(c\).

    \[\|T\|\to 0 \Leftrightarrow \|T_1\|\to 0且 \|T_2\|\to 0 \]

    \[\begin{aligned} \int_a^b f(x)dx&=\lim_{\|T\|\to 0}\sum_{T}f(\zeta_i)\Delta x_i\\ &=\lim_{\|T\|\to 0}\sum_{T_1}f(\zeta_i)\Delta x_i+\lim_{\|T\|\to 0}\sum_{T_2}f(\zeta_i)\Delta x_i \end{aligned} \]

    事实上,若 \(f\)\([s,t]\)\([a,b]\sub[s,t]\))可积,则只需 \(c\in[s,t]\).

  5. \(f\)\([a,b]\) 上可积,且 \(\forall x\in[a,b],f(x)\ge0\),则 \(\int_a^b f(x)dx\ge 0\).

    推论:若 \(f,g\)\([a,b]\) 上可积,且 \(\forall x\in[a,b]\)\(f(x)\ge g(x)\),则 \(\int_{a}^bf(x)\ge \int_a^bg(x)\).

  6. \(f\)\([a,b]\) 上可积,则 \(|f|\)\([a,b]\) 上也可积,且

    \[\left|\int_a^bf(x)\mathrm dx\right|\le\int_a^b|f(x)|\mathrm dx \]

  7. 积分第一中值定理:设 \(f\)\([a,b]\) 上连续,则 \(\exist \zeta\in[a,b]\),使得

    \[\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=f(\zeta)(b-a) \]

  8. 推广的积分第一中值定理:设 \(f\)\([a,b]\) 上连续,\(g\)\([a,b]\) 上可积,且 \(\forall x\in[a,b],g(x)\ge 0\)(或 \(g(x)\le 0\)),则 \(\exist \zeta\in[a,b]\),使得

    \[\int_a^bf(x)g(x)\mathrm{d}x=f(\zeta)\cdot\int_a^b g(x)\mathrm{d}x \]

    证:不妨设 \(\forall x\in[a,b],g(x)\ge 0\).

    \(\because f\)\([a,b]\) 上连续,\(\therefore \exist m\le M\),使得 \(\forall x\in[a,b],m\le f(x)\le M\),从而有 \(\forall x\in[a,b],mg(x)\le f(x)g(x)\le Mg(x)\),由性质 #5 的推论有

    \[m\int_a^b g(x)\mathrm{d}x\le \int_a^bf(x)g(x)\mathrm{d} x\le M\int_a^bg(x)\mathrm d x \]

    1. \(\int_a^bg(x)\mathrm dx=0\),则 \(\int_a^bf(x)g(x)\mathrm dx=0\),任取 \(\zeta\in[a,b]\) 即可。

    2. \(\int_a^bg(x)\mathrm dx>0\)

      \[m\le \frac{\int_a^bf(x)g(x)\mathrm dx}{\int_a^bg(x)\mathrm dx}\le M \]

      再由连续函数介值定理,\(\exist \zeta\in[a,b]\) 使得

      \[f(\zeta)=\frac{\int_a^bf(x)g(x)\mathrm dx}{\int_a^bg(x)\mathrm dx} \]

      得证。

    事实上,可以证明 \(\zeta\in(a,b)\).

    例:设 \(f\)\([0,1]\) 上连续,求 \(\lim_{n\to +\infin}\int_0^1 f(\sqrt[n]x)\).

    解:任意取定一个正整数 \(n\ge 2\)\(\exist \xi_n\in[0,\frac{1}{n}],\eta_n\in[\frac{1}{n},1]\),使得

    \[\int_0^{\frac1n}f(\sqrt[n]x)\mathrm dx=\frac{1}{n}f(\zeta_n^{\frac1n})\\ \int_{\frac1n}^{1}f(\sqrt[n]x)\mathrm dx=f(\eta_n^{\frac1n})(1-\frac{1}{n}) \]

    \[\begin{aligned} &\because \frac1{n}\le\eta_n\le 1\\ &\therefore\left(\frac1n\right)^{\frac{1}{n}}\le\eta_n^{\frac1n}\le1\\ &\therefore\lim_{n\to +\infin}\eta_n^\frac{1}{n}=1\\ &\therefore \dots \end{aligned} \]

变限积分

\(a,b\in\R,a<b\)\(f\)\([a,b]\) 上可积.

\(\forall x\in(a,b]\)\(f\)\([a,x]\) 上可积,令 \(F(x)=\int_a^xf(t)\mathrm dt\).

\(x\in(a,b]\),再令 \(F(a)=0\). \(F:[a,b]\to \R\).

\(F\)\(f\)\([a,b]\) 上的变上限定积分(函数)\(\Phi,F\)

同理可以定义变下限定积分 \(\Psi,\tilde F\)

(连续一定可积,可积未必连续)

定理:若 \(f\)\([a,b]\) 上可积,则 \(F(x)\)\([a,b]\) 上连续。

证明:\(\because f\)\([a,b]\) 上可积,\(\therefore f\)\([a,b]\) 上有界。

\(\exist M>0,\forall x\in[a,b],|f(x)|\le M\)\(\forall x_0\in(a,b)\),取 $h $ 使得 \(x_0+h\in[a,b]\).

\[\begin{aligned} |F(x_0+h)-F(x_0)|&=|\int_a^{x_0+h}f(t)\mathrm dt+\int_{x_0}^{a}f(t)\mathrm dt|\\ &=|\int_{x_0}^{x_0+h}f(t)\mathrm dt|\\ &\le \int_{x_0}^{x_0+h}|f(t)|\mathrm dt\\ &\le M\cdot|\int_{x_0}^{x_0+h}1\mathrm dt|\\ &=M|h| \end{aligned} \]

原函数存在性定理

\(f\)\([a,b]\) 上连续,则 \(F(x)=\int_a^xf(t)\mathrm dt\)\([a,b]\) 上可导,且

\[\forall x_0\in(a,b),F'(x_0)=f(x_0)\\F'_+(a)=f(a)\\F'_-(b)=f(b) \]

证:\(\forall x_0\in(a,b)\),任取 \(h\neq 0\) 使得 \(x_0+h\in[a,b]\).

\[\begin{aligned} \frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}&=\frac{\int_{x_0}^{x_0+h}f(t)\mathrm dt}{h}\\ &=\frac{f(\zeta_h)h}{h}(h介于 x_0 与 x_0+h 之间)\\ &=f(\zeta_h)\\ \lim_{h\to 0}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}&=\lim_{h\to 0}f(\zeta_h)=f(x_0) \end{aligned} \]

牛顿莱布尼茨公式z

\(f\)\([a,b]\) 上连续,\(G\)\(f\)\([a,b]\) 上的一个原函数,则 \(\int_a^bf(x)\mathrm dx=G(b)-G(a)\)

积分第二中值定理

\(f\)\([a,b]\) 上可积

  1. \(g\)\([a,b]\) 上单减且非负,则 \(\exist \zeta\in[a,b]\),使得 \(\int_{a}^bf(x)g(x)\mathrm dx=g(a)\int_{a}^\zeta f(x)\mathrm dx\).

    证明:

    \(\forall x\in[a,b]\),令 \(F(x)=\int_a^x f(t)\mathrm dt\),则 \(F(x)\)\([a,b]\) 上连续,故 \(F(x)\)\([a,b]\) 上有最大值 \(M\) 和最小值 \(m\).

    1. \(g(a)=0\),则 \(g(x)\equiv 0,\forall x\in[a,b]\),故可在 \([a,b]\) 中任取一点 \(\zeta\) 使结论成立。

    2. \(g(a)>0\),这时即证 \(\exist \zeta\in[a,b]\),使得

      \[F(\zeta)=\frac{\int_a^bf(x)g(x)\mathrm dx}{g(a)} \]

      由连续函数介值定理知,仅需证明:\(m\cdot g(a)\le \int_a^bf(x)g(x)\mathrm dx\le Mg(a)\).

      又由于 \(f\)\([a,b]\) 可积,故 \(f\)\([a,b]\) 上有界,即 \(\exist L>0\),使得 \(\forall x\in[a,b],|f(x)|\le L\).

      \(g\)\([a,b]\) 单减,故 \(g\)\([a,b]\) 上可积,由可积准则知,\(\forall \epsilon >0\)\(\exist [a,b]\) 的一个分割 \(T\),使得

      \[\sum_T\omega_i^g\Delta x_i<\frac{\epsilon}{L} \]

      \[\begin{aligned} \int_a^bf(x)g(x)\mathrm dx=&\sum_{i=1}^n\int_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)[g(x)-g(x_{i-1})+g(x_{i-1})]\mathrm dx\\ =&\sum_{i=1}^n\int_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)[g(x)-g(x_{i-1})]\mathrm dx+\sum_{i=1}^n\int_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)g(x_{i-1})\mathrm dx\\ =&I_1+I_2 \end{aligned} \]

      先估计 \(I_1\)

      \[\begin{aligned} |I_1|&\le \sum_{i=1}^n\int_{x_{i-1}}^{x_i}|g(x)-g(x_{i-1})||f(x)|\mathrm dx\\ &\le\sum_{i=1}^n\omega_i^g\cdot L\cdot\Delta x_i\\ &=L\sum_{i=1}^b\omega_i^g\cdot\Delta x_i\\ &<\epsilon \end{aligned} \]

      再估计 \(I_2\)

      \[\because F(x_0)=F(a)=0\\ \therefore \int_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)\mathrm dx=\int_{a}^{x_i}f(x)\mathrm dx-\int_{a}^{x_{i-1}}f(x)\mathrm dx=F(x_i)-F(x_{i-1})\\ \begin{aligned} I_2=&\sum_{i=1}^{n}g(x_{i-1})[F(x_i)-F(x_{i-1})]\\ =&g(x_0)[F(x_1)-F(x_0)]+\dots+g(x_{n-1})[F(x_n)-F(x_{n-1})]\\ =&F(x_1)(g(x_0)-g(x_1))+\dots+F(x_{n-1})(g(x_{n-2})-g(x_{n-1}))+F(b)g(x_{n-1})\\ \end{aligned} \]

      \(\because g\)\([a,b]\) 上单减且非负,\(\therefore \forall i=1,\dots,n-1,g(x_{i-1})-g(x_i)\ge 0,g(x_{n-1})\ge 0\)

      \(\forall i=1,\dots, n,F(x_{i})\le M\)

      \(\therefore I_2\le M(g(x_0)-g(x_1)+g(x_1)-g(x_2)+\dots+g(x_{n-2})-g(x_{n-1})+g(x_{n-1}))=Mg(a)\).

      同理,\(\forall i=1,\dots,n,F(x_i)\ge m\).

      所以 \(I_2\ge mg(a)\).

      \(|I_1|\le \epsilon\),所以 \(mg(a)-\epsilon<I_1+I_2<Mg(a)+\epsilon\)

      \(\epsilon\) 的任意性,\(mg(a)\le I\le Mg(a)\),得证。

  2. \(g\)\([a,b]\) 上单增且非负,则 \(\exist \eta\in[a,b]\),使得 \(\int_{a}^bf(x)g(x)\mathrm dx=g(b)\int_\eta^b f(x)\mathrm dx\).

推论:设 \(f\)\([a,b]\) 上可积,\(g\)\([a,b]\) 上单调,则 \(\exist \sigma\in[a,b]\) 使得

\[\int_a^bf(x)g(x)\mathrm dx=g(a)\int_{a}^\sigma f(x)\mathrm dx+g(b)\int_{\sigma}^bf(x)\mathrm dx \]

证:不妨设 \(g\)\([a,b]\) 上单增,令 \(\varphi(x)=g(x)-g(a)\). \(\forall x\in[a,b],\varphi(x)\ge 0\).

由积分第二中值定理知,\(\exist \eta\in[a,b]\),使得 \(\int_a^bf(x)\varphi(x)\mathrm dx=\varphi(b)\int_\eta^bf(x)\mathrm dx\)

\(\int_{a}^bf(x)(g(x)-g(a))\mathrm dx=(g(b)-g(a))\int_\eta^bf(x)\mathrm dx\).

\(\int_a^bf(x)g(x)\mathrm dx=g(b)\int_{\eta}^bf(x)\mathrm dx+g(a)\int_a^\eta f(x)\mathrm dx\),令 \(\sigma = \eta\) 即可。

例:令 \(F(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\mathrm dt\),其中 \(f\)\(\R\) 上连续,\(u(x),v(x)\)\(\R\) 上可导。

\[F(x)=\int_0^{v(x)}f(x)\mathrm dx-\int_{0}^{u(x)}f(x)\mathrm dx\\ F'(x)=f(v(x))v'(x)-f(u(x))u'(x) \]

定积分换元积分法

  1. \(f\)\([a,b]\)连续\(\varphi'(x)\)\([\alpha,\beta]\)可积,且 \(\varphi(\alpha)=a,\varphi(\beta)=b\),且 \(\varphi([\alpha,\beta])\sub [a,b]\),则有“定积分换元积分公式”:

    \[\int_a^bf(x)\mathrm dx=\int_{\alpha}^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\mathrm dt\ \ \ \ ,x=\varphi(t),t\in[\alpha,\beta] \]

    证:\(\because f\)\([a,b]\) 上连续,\(\therefore f\)\([a,b]\) 上的原函数存在,设 \(F(x)=\int_{a}^xf(t)\mathrm dt\)\(f\)\([a,b]\) 上的一个原函数。

    \(\frac{\mathrm d F(\varphi(t))}{\mathrm dt}=f(\varphi(t))\varphi'(t),\forall t\in(\alpha,\beta)\),故 \(F(\varphi(t))\)\(f(\varphi(t))\varphi'(t)\)\([\alpha,\beta]\) 上的一个原函数。

    左边 \(=\int_a^bf(x)\mathrm dx=F(b)-F(a)\).

    右边 \(=\int_{\alpha}^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\mathrm dt=F(\varphi(\beta))-F(\varphi(\alpha))=F(b)-F(a)\)(第二个等号用 Th9.1 注 2.2)

  2. \(f\)\([a,b]\)可积\(\varphi(x)\)\([\alpha,\beta]\)严格单调,且 \(\varphi'(t)\)\([\alpha,\beta]\) 连续\(\varphi([\alpha,\beta])=[a,b]\),则有“定积分换元积分公式”:

    \[\int_a^bf(x)\mathrm dx=\int_{\alpha}^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\mathrm dt\ \ \ \ ,x=\varphi(t),t\in[\alpha,\beta] \]

    证:不妨设 \(\varphi\)\([\alpha,\beta]\)\(\uparrow\),设 \(T:\alpha=t_0<t_1<\dots<t_n=\beta\)\([\alpha,\beta]\) 的一个分割,故而分割 \(T\) 导出了 \([a,b]\) 的一个分割 \(\tilde T:a=\varphi(t_0)<\dots<\varphi(t_n)=b\).

    \(\forall i=0,1,\dots,n,x_i=\varphi(t_i)\).

    由题设知:\(\|T\|\to 0,\|\tilde T\|\to 0\).

    \(\because f\)\([a,b]\) 上可积,\(\therefore f\)\([a,b]\) 上有界,即 \(\exist M>0,\forall x\in[a,b],|f(x)||<M\).

    \(\because \varphi'\)\([\alpha,\beta]\) 上连续,\(\therefore \varphi'\)\([\alpha,\beta]\) 上一致连续。

    于是 \(\forall \delta>0,\exist \sigma>0,\forall \|T\|<\sigma\),有

    \[\|\tilde T\|=\max_{1\le i\le n}|\varphi(t_i)-\varphi(t_{i-1})|\le\max_{1\le i\le n}\varphi'(\theta_i)\Delta t_i,\theta_i\in[t_{i-1},t_i] \]

    且有

    \[|\varphi'(\tilde\theta)-\varphi'(\tilde{\tilde \theta})|<\frac{\epsilon}{3M(\beta-\alpha)} \]

    其中 \(\tilde \theta,\tilde{\tilde\theta}\in[t_{i-1},t_i],i=1,\dots,n\).

    从而 \(\forall\) 从属于 \(T\) 的一个介点集 \(\{\eta_i\}\),有

    \[\begin{aligned} &|\sum_{T}f(\varphi(\eta_i))\varphi'(\eta_i)\Delta t_i-\int_a^bf(x)\mathrm dx|\\ \le &\sum_T|f(\varphi(\eta_i))|\cdot|\varphi'(\eta_i)-\varphi'(\theta_i)|\Delta t_i+|\sum_{T}f(\varphi(\eta_i))\varphi'(\theta_i)\Delta t_i-\int_a^bf(x)\mathrm dx|\\ \le &\sum_{T}M\cdot\frac{\epsilon}{3M(\beta-\alpha)}\Delta t_i+\frac{\epsilon}{3}&(\varphi(\theta_i)\Delta t_i=\Delta x_i)\\ <&\frac{2}{3}\epsilon<\epsilon \end{aligned} \]

例:计算 \(I=\int_{0}^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\mathrm dx\).

解:令:\(x=\frac{1-t}{1+t}\),严格单减,\(\mathrm dx=\frac{-2}{(1+t)^2}\mathrm dt\).

\[\begin{aligned} I=&\int_{1}^0\frac{\ln(1+\frac{1-t}{1+t})}{1+(\frac{1-t}{1+t})^2}\cdot\frac{-2}{(1+t)^2}\mathrm dt\\ =&\int_0^1\frac{\ln2-\ln(1+t)}{1+t^2}\mathrm dt\\ =&\int_{0}^1\frac{\ln2}{1+t^2}\mathrm dt-\int_{0}^1\frac{\ln(1+t)}{1+t^2}\mathrm dt\\ =&\frac{\pi}{4}\ln2-I \end{aligned} \]

因此 \(I=\frac{\pi}{8}\ln2\).

???这是怎么想到的???

(另解:\(x=\tan t\).)

定积分分部积分法

\(u(x),v(x)\)\([a,b]\) 上可导且导函数可积(连续),则有“定积分分部积分公式”:

\[\int_{a}^bu'(x)v(x)\mathrm dx=u(x)v(x)|_{x=a}^{x=b}-\int_{a}^bu(x)v'(x)\mathrm dx \]

利用 9.1 注 2.2 可将连续改为可积。

例:令 \(I_n=\int_{0}^{\frac\pi2}\sin^n x\mathrm dx\)\(J_n=\int_{0}^{\frac\pi2}\cos^n x\mathrm d x\),计算 \(I_n,J_n\)

解:

\[I_n=\int_0^\frac\pi 2\sin^n x\mathrm dx=-\int_{\frac\pi2}^0\sin^n(\frac\pi2-t)\mathrm dt=\int_{0}^\frac{\pi}{2}\cos^n\mathrm dt=J_n \]

下设 \(n\ge 2,n\in\Z^+\),则

\[\begin{aligned} I_n=&\int_{0}^\frac{\pi}2\sin^{n-1}x(-\cos x)'_x\mathrm dx\\ =&-\cos x\sin^{n-1}x|_{x=0}^{x=\frac\pi2}-\int_0^\frac\pi2(-\cos x)(\sin^{n-1}x)'\mathrm dx\\ =&\int_0^\frac\pi2(1-\sin^2 x)(n-1)\sin^{n-2}x\mathrm dx\\ =&(n-1)\int_0^\frac\pi2(sin^{n-2}x-\sin^n x)\mathrm dx\\ =&(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}\\ \Rightarrow I_n=&\frac{n-1}{n}I_{n-2} \end{aligned} \]

......

\[I_{2m}=\frac{(2m-1)!!}{(2m)!!}\cdot\frac{\pi}2\\ I_{2m+1}=\frac{(2m)!!}{(2m+1)!!} \]

例(Wallis):证明

\[\lim_{m\to +\infin}\left(\frac{(2m)!!}{(2m-1)!!}\right)^2\cdot\frac{1}{2m+1}=\frac{\pi}2 \]

证:\(\forall m\in\Z^+\),有

\[\int_{0}^{\frac{\pi}2}\sin^{2m+1} x\mathrm dx<\int_{0}^{\frac{\pi}2}\sin^{2m}x\mathrm dx<\int_{0}^{\frac{\pi}2}\sin^{2m-1}x\mathrm dx\\ \Rightarrow I_{2m+1}<I_{2m}<I_{2m-1}\\ \Rightarrow \frac{(2m)!!}{(2m+1)!!}<\frac{(2m-1)!!}{(2m)!!}\cdot\frac{\pi}2<\frac{(2m-2)!!}{(2m-1)!!}\\ \Rightarrow A_m=\left(\frac{(2m)!!}{(2m-1)!!}\right)^2\cdot\frac{1}{2m+1}<\frac{\pi}{2}<\left(\frac{(2m)!!}{(2m-1)!!}\right)^2\cdot\frac{1}{2m}=B_m \]

因此

\[0<B_m-\frac\pi2<B_m-A_m=\left(\frac{(2m)!!}{(2m-1)!!}\right)^2\cdot\frac{1}{2m(2m+1)}=\frac{1}{2m}A_m<\frac{1}{2m}\cdot\frac\pi2 \]

\(m\to 0\) 得:

\[\lim_{m\to +\infin}B_m=\frac{\pi}{2}=\lim_{m\to +\infin}A_m \]

有理数列的极限可以是无理数。

例:设

\[f(t)= \begin{cases} \sin\frac1t&,t\neq 0\\ 1&,t=0 \end{cases} \]

证明:

\[\lim_{x\to 0+}\frac{\int_{0}^xf(t)\mathrm dt}{x}=0 \]

证:\(\forall x>0\)\(f\)\([0,x]\) 上可积,\(\forall x>0\),有

\[\int_0^xf(t)\mathrm dt=\lim_{\delta\to 0+}\int_{\delta}^xf(t)\mathrm dt=\lim_{\delta\to 0+}\int_{\delta}^x\sin\frac{1}{t}\mathrm dt\\ =\lim_{\delta\to 0+}\int_{\frac{1}x}^\frac1\delta\frac{\sin u}{u^2}\mathrm du,(u=\frac1t) \]

利用积分第二中值定理:

\[\begin{aligned} \int_{\frac1x}^{\frac1\delta}\frac{\sin u}{u^2}\mathrm du=&x^2\int_{\frac{1}{x}}^{\zeta_\delta}\sin u\mathrm du\\ \le&2x^2 \end{aligned} \]

得证。

推广的分部积分公式

\(u(x),v(x)\)\([a,b]\) 上有连续的 \(n+1\) 阶导函数,则有

\[\int_{a}^{b}u(x)v^{(n+1)}(x)\mathrm dx\\=[u(x)v^{(n)}(x)-u'(x)v^{(n-1)}(x)+\dots+(-1)^{n}u^{(n)}(x)v(x)]|_{x=a}^{x=b}+(-1)^{n+1}\int_{a}^{b}u^{(n+1)}(x)v(x)\mathrm dx \]

积分型余项

若设 \(f\)\(U(x)\) 上有连续的 \(n+1\) 阶导函数,\(n\in \Z^+,x_0\in\R\).

任意取定 \(x\in \mathring U(x_0),u(t)=(x-t)^n,v(t)=f(t),t\in[x_0,x](或 [x,x_0])\)

利用上述推广的分部积分公式有:

\[\begin{aligned} &\int_{x_0}^x(x-t)^nf^{(n+1)}(t)\mathrm dt\\ =&\left(\sum_{i=0}^{n}\frac{n!}{(n-i)!}(x-t)^{n-i}f^{(n-i)}(t)\right)|_{t=x_0}^{t=x}+(-1)^n\int_{x_0}^x0\cdot f(t)\mathrm dt\\ =&n!\left[ \frac{1}{n!}(0-(x-x_0)^nf^{(n)}(x_0))+\frac{1}{(n-1)!}(0-(x-x_0)^{n-1}f^{(n-1)}(x_0))+\dots+(f(x)-f(x_0)) \right]\\ =&n!\left[ f(x)-\sum_{i=0}^{n}\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^{i} \right]\\ =&n!R_n(x) \end{aligned} \]

因此可得:

\[R_n(x)=\frac{1}{n!}\int_{x_0}^{x}(x-t)^nf^{(n+1)}(t)\mathrm dt \]

  1. Lagrange 型余项

    \(f^{(n+1)}(t)\) 连续,\((x-t)^{n}\)\([x_0,x]\) 上不变号,则:

    \[\exist\zeta\in[x_0,x],\texttt{s.t.}\\ R_n(x)=\frac{1}{n!}f^{(n+1)}(\zeta)\int_{x_0}^x(x-t)^{n}\mathrm dt\\ =\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\zeta)(x-x_0)^{n+1} \]

  2. Cauchy 型余项

    \(u(t)=(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t),t\in[x_0,x]\) 连续,\(\exist \eta\in[x_0,x]\),s.t.

    \[R_n(x)=\frac{1}{n!}(x-\eta)^{n}f^{(n+1)}(\eta)\cdot(x-x_0) \]

定积分的几何应用

\(a,b\in\R,a<b\).

一、面积(平面有界图形)

  1. 若平面有界图形 \(G\) 是由 \(y=f(x),x\in[a,b]\)(其中 \(f(x)\)\([a,b]\) 非负)及 \(x\) 轴,两条直线 \(x=a,x=b\) 所围的“闭区域”,则 \(G\) 必是可求面积的,且其面积为:

    \[A(G)=\int_{a}^{n}f(x)\mathrm dx \]

  2. 若平面有界图形 \(G\) 是由连续函数 \(f(x),x\in[a,b]\)\(g(x),x\in[a,b]\)(且 \(\forall x\in[a,b],f(x)\ge g(x)\))及直线 \(x=a,x=b\) 所围的“闭区域”,则 \(G\) 是可求面积的,且:

    \[A(G)=\int_a^b(f(x)-g(x))\mathrm dx \]

  3. 若平面有界图形 \(G\) 是由连接函数 \(x=\varphi(y),x=\psi(y),y\in[c,d]\)(且 \(\forall y\in[c,d],\varphi(y)\ge\psi(y)\))及直线 \(y=c,y=d\) 所围成的“闭区域”,则 \(G\) 是可求面积的,且

    \[A(G)=\int_c^d[\varphi(y)-\psi(y)]\mathrm dy \]

例:求椭圆所围的椭圆盘

\[G= \{ (x,y)\in\R^2|\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le1 \} \]

的面积,其中 \(a>0,b>0\) 且为常数

\[A(G)=4A(G_1)=4\int_{0}^ab\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}=4\frac{b}{a}\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\mathrm dx\\ =4ab\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\cos(2t)}{2}\mathrm dt,(x=a\sin t,t\in[0,\frac{\pi}2])\\ =\pi ab \]

例:求由曲线 \(y^2=2x\) 和直线 \(x-y=4\) 所围成的平面有界图形 \(G\) 的面积。

“微元法”

为了计算“展布于”区间 \([a,b]\) 上的一个量 \(Q\),将 \(Q\) 分解成 \(n\) 份小的份额:

\[Q=\sum_{i=1}^{n}\Delta Q_i \]

分离出 \(\Delta Q_i\) 的线性主部,即要将 \(\Delta Q_i=q(x_i)\Delta x_i+o(\Delta x_i)\)\(q(x_i)\Delta x_i\) 即为线性主部),然后“舍弃”高阶无穷小而把多线性主部叠加起来作为 \(Q\) 的面积值。

\[Q\dot=\sum_{i=1}^{n}q(x_i)\Delta x_i \]

一般地有,当 \(\|T\|\to 0\) 时,\(\sum_{i=1}^{n}o(\Delta x_i)\to 0\),从而有

\[Q=\lim_{\|T\|\to 0}\sum_{i=1}^{n}q(x_i)\Delta x_i=\int_{a}^bq(x)\mathrm dx \]

关键一步为找出 \(\Delta Q\) 的线性主元,即求 \(Q\) 的微元

\[\mathrm d Q=q(x)\mathrm dx \]

最后一个积分求出 \(Q=\int_{a}^bq(x)\mathrm dx\).

“分割”“近似”“求和”“求极限”。


\[C:\begin{cases} x=x(t),\\ y=y(y), \end{cases},t\in[\alpha,\beta] \]

\(y(t)\)\([\alpha,\beta]\) 上连续,

\(x(t)\)\([\alpha,\beta]\) 上有连续的导函数,且 \(x'(t)\neq 0\),令 \(a=x(\alpha),b=x(\beta)\),则

由曲线 \(C\)\(x\) 轴,两条直线 \(x=a,x=b\) 所围的“平面有界图形” \(G\) 的面积:

\[A(G)=\int_{\alpha}^{\beta}|y(t)x'(t)|\mathrm dt \]

例:设曲线 \(C\)\(\begin{cases}x=t-\sin t,\\y=1-\cos t,\end{cases}t\in[0,2\pi)\),求 \(C\)\(x\) 轴,所围的平面有界图形的面积

\[A=\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^2\mathrm dt=\int_{0}^{2\pi}(1-2\cos t+\frac{1+\cos (2t)}2)\mathrm dt \]


设曲线 \(C:r=r(\theta),\theta\in[\alpha,\beta],0\le\alpha<\beta\le2\pi\),求曲线 \(C\) 及射线 \(\theta=\alpha,\theta=\beta\) 所围成的平面有界图形的面积。

\[A=\int_{\alpha}^{\beta}\frac{1}{2} r^2(\theta)\mathrm d\theta \]


双扭线:\(r^2=a^2\cos(2\theta)(a>0)\),“八字形线”“双叶玫瑰线”

\[A=4A_1\\ =4\cdot\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}}a^2\cos(2\theta)\mathrm d\theta\\ =2a^2(\frac{\sin(2\theta)}{2})|_0^{\frac{\pi}4}\\ =a^2 \]

二、\(\R^3\) 中某些立体的体积

\(a,b\in\R,a<b\).

已知截面面积的立体的体积

设立体 \(\Omega\) 位于平面 \(x=a\) 和平面 \(x=b\) 之间,且平面 \(x=C\)\(C\) 为常数)与 \(\Omega\) 的交为一个可求面积的平面“有界闭区域”,设其面积为 \(A(x)\),若 \(A(x)\)\([a,b]\) 上可积,则 \(\Omega\) 的体积为:

\[V(\Omega)=\int_a^bA(x)\mathrm dx \]

说明:对 \([a,b]\) 作分割 \(T:a=x_0<x_1<\dots<x_n=b\),用平面 \(x=x_i(i=0,1,\dots,n)\)\(\Omega\) 分成 \(n\) 个“小层体”,记位于 \(I_i=[x_{i-1},x_i]\) 之间的小层体体积为 \(\Delta V_i\),则 \(V(\Omega)=\sum_{i=1}^{n}\Delta V_i\),令

\[m_i=\inf\{A(x)|x\in I_i\}\\ M_i=\sup\{A(x)|x\in I_i\} \]

\(m_i\Delta x_i\le \Delta V_i\le M_i\Delta x_i\).

\(\sum_{i=1}^{n}m_i\Delta x_i\le V(\Omega)\le\sum_{i=1}^{n}M_i\Delta x_i\),于是当 \(\|T\|\to 0\) 时,

\[V(\Omega)=\lim_{\|T\|\to 0}\sum_{i=1}^n M_i\Delta x_i=\lim_{\|T\|\to 0}\sum_{i=1}^{n}m_i\Delta x_i=\int_a^bA(x)\mathrm dx \]

\(\R^3\) 中旋转体的体积

旋转体:一个由曲线所围的平面有界闭区域绕着某条空间中的直线(一般取坐标轴;特别地,取 \(x\) 轴)旋转一周而成的立体。

\[\begin{aligned} V(\Omega)&=\int_a^b\pi[f(x)]^2\mathrm dx\\ &=\pi\int_{a}^b[f(x)]^2\mathrm dx \end{aligned} \]

例、证明:半径为 \(R(>0)\) 的球体体积为 \(\frac{4}{3}\pi R^3\).

证:半径为 \(R\) 的球体可以看成曲线 \(y=\sqrt{R^2-x^2},x\in[-R,R]\)\(x\) 轴所围的平面有界闭区域或绕 \(x\) 轴旋转一周所得,故有

\[V=\pi\int_{-R}^R\left(\sqrt{R^2-x^2}\right)^2\mathrm dx=\frac{4}{3}\pi R^3\\ \]

平面曲线的弧长

\(\gamma\)\(Oxy\) 平面上的一条参数曲线:\(\begin{cases}x=x(t),\\y=y(t),\end{cases}t\in[\alpha,\beta]\)(参数化可诱导一个映射 \(h:[\alpha,\beta]\to\R^2,t\mapsto(x(t),y(y))\),即有 \(h([\alpha,\beta])=\gamma\)

  1. \(h\) 是一个单射,则称 \(\gamma\) 是一条简单曲线;

  2. \(x(t),y(t)\)\([\alpha,\beta]\) 上连续,则称 \(\gamma\) 是一条连续曲线;

  3. \(h|_{(\alpha,\beta)}\) 是一个单射,\(x(t),y(y)\) 连续,且 \(h(\alpha)=h(\beta)\),则称 \(\gamma\) 是一条简单封闭曲线,也称 \(\gamma\) 为一条 Jordan 曲线;

  4. \(x(t),y(t)\)\([\alpha,\beta]\) 上有连续的导函数且 \(\forall t\in[\alpha,\beta],[x'(t)]^2+[y'(t)]^2\neq 0\),则称 \(\gamma\) 为一条光滑曲线;

:以上均是只要存在一个能表达该曲线的 \(h\) 满足定义即可。

例:

\[\begin{cases} x=\cos t,\\ y=\sin t, \end{cases} t\in[0,\pi]\\ \begin{cases} x=t,\\ y=\sqrt{1-t^2}, \end{cases} t\in[0,\pi] \]

二者表达了同一个简单光滑曲线,即使第二条不满足定义。

\(\gamma\) 是一条简单连续曲线 \(\begin{cases}x=x(t),\\y=y(t),\end{cases}t\in[\alpha,\beta]\).

令分割 \(T:\alpha=t_0<t_1<\dots<t_n<\beta\),令 \(M_i=h(t_i),i=0,1,\dots,n\)

分割 \(P:M_0,M_1,\dots, M_n\),并记:\(\|P\|=\max_{1\le i\le n}|M_{i-1}M_i|\)(即直线段 \(\overline{M_{i-1}M_i}\) 的模)。

内接这按的长度记作 \(S_p\).

\(\sup\{S_P|P 是\gamma 的一个分割\}\),则称 \(\gamma\) 是可求长的,\(\gamma\) 的长度记作 \(l(\gamma)=\sup\{S_P|P\}=\lim_{\|P\|\to 0}S_P\).

命题:若 \(\gamma\) 是一条简单光滑曲线,则 \(\gamma\) 是可求长的,且若 \(\gamma\) 的简单光滑参数化为 \(\begin{cases}x=x(t),\\y=y(t),\end{cases}t\in[\alpha,\beta]\),则

\[l(\gamma)=\int_a^b\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\mathrm dt \]

证:作 \([\alpha,\beta]\) 的一个分割 \(T:\alpha=t_0<t_1<\dots<t_n=\beta\)\(T\) 诱导 \(\gamma\) 的一个分割 \(P:A=M_0,M_1,\dots, M_n=B\),分割 \(P\) 可得到 \(\gamma\) 的一条内接折线,其长度

\[\begin{aligned} S_P&=\sum_{i=1}^{n}l(\overline{M_{i-1}M_i})\\ &=\sum_{i=1}^{n}\sqrt{[x(t_i)-x(t_{i-1})]^2+[y(t_i)-y(t_{i-1})]^2}\\ &=\sum_{i=1}^n\sqrt{\left(x'(\zeta_i)\Delta t_i\right)^2+\left(y'(\eta_i)\Delta t_i\right)^2}&\zeta_i,\eta_i\in I_i\\ &=\sum_{i=1}^{n}\sqrt{[x'(\zeta_i)]^2+[y'(\eta_i)]^2}\Delta t_i\\ &=\rho \end{aligned} \]

再令 \(\sigma=\sum_{i=1}^{n}\sqrt{[x'(\zeta_i)]^2+[y'(\zeta_i)]^2}\Delta t_i\).

\(\because\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\)\([\alpha,\beta]\) 上可积,

\(\therefore\lim_{\|T\|\to 0}\sigma=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\mathrm dt\).

下证 \(\lim_{\|T\|\to 0}|\rho-\sigma|=0\).

补充:\(\forall A,B,C\in\R\),有

\[|\sqrt{A^2+B^2}-\sqrt{A^2+C^2}|\le|B-C| \]

证:

  1. \(A=0\),成立。

  2. \(A\neq 0\)

\[ 左边=\left| \frac{|B+C|\cdot|B-C|}{\sqrt{A^2+B^2}+\sqrt{A^2+C^2}} \right| \le\frac{|B|+|C|}{\sqrt{A^2+B^2}+\sqrt{A^2+C^2}}\cdot|B-C|<|B-C|=右边 \]

得:

\[\left|\sqrt{[x'(\zeta_i)]^2+[y'(\eta)]^2}\right|\le|y'(\eta_i)-y'(\zeta_i)| \]

\(\because y'(t)\)\([\alpha,\beta]\) 上连续,\(\therefore y'(t)\)\([\alpha,\beta]\) 上一致连续,\(\therefore\forall \epsilon>0\),……

……

总之成立

对于 \(y=f(x)\),可设 \(\begin{cases}x=t,\\y=f(t),\end{cases}t\in[\alpha,\beta]\),则 \(l(\gamma)=\int_a^b\sqrt{1+[f'(t)]^2}\mathrm dt\).

例、求曲线 \(\gamma:y=\frac{e^x+e^{-x}}{2},x\in[0,1]\) 的弧长。

解:

\[\because y'(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2},1+(y'(x))^2=(\frac{e^x+e^{-x}}2)^2\\ \therefore l(\gamma)=\int_{0}^1\frac{e^x+e^{-x}}{2}\mathrm dx=\frac{e^x-e^{-x}}{2}|_{x=0}^{x=1}=\frac{e-e^{-1}}{2} \]

例、

\[\begin{cases}x=a(1-\cos t),\\y=a\sin t,\end{cases}t\in[0,2\pi] \]

解:

\[(x'(t))^2+(y'(t))^2=2a^2(1-\cos t)=4a^2\sin^2\frac{t}{2}\\ l(\gamma)=2a\int_{0}^{2\pi}\sin\frac{t}{2}\mathrm dt=8a \]

反常积分

反常(广义)积分 \(\leftrightarrow\) 正常(常义)积分

\(f\) 在有限点 \(x=x_0\)\(\forall \delta>0\),使得 \(f\)\((x_0-\delta,x_0)\cup(x_0,x_0+\delta)\sub D_f\) 内有界(若无界,则为无界函数的反常积分),\([a,b]\) 有限(无限,则为无穷限反常积分)。

例(第二宇宙速度等)书上 P247~P248

无穷限反常积分

  1. \(f\)\([a,+\infin)\) 上有定义,且 \(\forall b>a\)\(f\)\([a,b]\) 上可积,若 \(\lim_{u\to+\infin}\int_a^uf(t)\mathrm dt\) 存在,则称反常积分 \(\int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx\) 收敛,反之称其发散。
  2. \(f\)\((-\infin,a]\) 有定义……(与 #1 类似)
  3. \(f\)\((-\infin,+\infin)\) 上有定义,且 \(\forall a<b,f\)\([a,b]\) 上可积,若 \(\forall a<b\)\(f\)\([a,b]\) 上可积,若 \(\forall c\in\R\)\(\lim_{u\to+\infin}\int_c^uf(t)\mathrm dt\)\(\lim_{u\to-\infin}\int_u^cf(t)\mathrm dt\) 都存在且二者之和的值与 \(c\) 的选取无关,则称反常积分 \(\int_{-\infin}^{+\infin}f(x)\mathrm dx\) 收敛,否则称其发散。

Cauchy Principle Value(c.p.v 柯西主值)

\[\int_{-\infin}^{+\infin}f(x)\mathrm dx=\lim_{u\to +\infin}\int_{-u}^{u}f(t)\mathrm dt \]

瑕积分

瑕点定义:设 \(f\)\([a,b]\) 上有定义,\(x_0\in[a,b]\),若 \(f\)\(x_0\) 的任意领域内无界,则称 \(x_0\)\(f\)\([a,b]\) 上一个瑕点。

  1. \(f\)\([a,b]\) 上有定义,且 \(a\)\(f\)\([a,b]\) 上的唯一瑕点,且 \(\forall u\in(a,b)\)\(f\)\([u,b]\) 上可积,若 \(\lim_{u\to a+}\int_u^bf(t)\mathrm dt\) 存在,则称瑕积分 \(\int_a^bf(x)\mathrm dx\) 收敛,否则称其发散。
  2. \(f\)\([a,b]\) 上有定义,且 \(b\)\(f\)\([a,b]\) 上的唯一瑕点,且 \(\forall u\in(a,b)\)\(f\)\([a,u]\) 上可积,若 \(\lim_{u\to b-}\int_a^uf(t)\mathrm dt\) 存在,则称瑕积分 \(\int_a^bf(x)\mathrm dx\) 收敛,否则称其发散。
  3. \(f\)\([a,b]\) 上有定义,且 \(c\in(a,b)\)\(f\)\([a,b]\) 上唯一瑕点,且 \(\forall u\in(a,c),v\in(c,b)\)\(f\)\([a,u],[v,b]\) 上均可积,若 \(\lim_{u\to c-}\int_a^uf(t)\mathrm dt\)\(\lim_{v\to c+}\int_{v}^bf(t)\mathrm dt\) 均存在,则称瑕积分 \(\int_a^bf(x)\mathrm dx\) 收敛(收敛于前两个极限的和),否则发散。

Cauchy Principle Value(c.p.v 柯西主值)

\[\int_{a}^bf(x)\mathrm dx=\lim_{\epsilon\to 0+}\left( \int_{a}^{c-\epsilon}f(t)\mathrm dt+\int_{c+\epsilon}^{b}f(s)\mathrm ds \right)\in\R \]

下面固定 \(p>0\).

\[\int_{1}^ux^{-p}\mathrm dx=\begin{cases} \ln u&,p=1\\ \frac{u^{1-p}-1}{1-p}&,p\neq 1 \end{cases}\\ \]

因此 \(\int_1^{+\infin}x^{-p}\mathrm dx\)\(p>1\) 时收敛于 \(\frac{1}{1-p}\),当 \(0<p\le 1\) 时发散。

\[\int_{\epsilon}^1x^{-p}\mathrm dx=\begin{cases} -\ln\epsilon&,p=1\\ \frac{1-\epsilon^{1-p}}{1-p}&,p\neq 1 \end{cases} \]

因此 \(\int_{0}^1x^{-p}\mathrm dx\)\(0<p<1\) 时收敛于 \(\frac{1}{1-p}\), 当 \(p\ge 1\) 时发散。

无穷积分 \(\int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx\) 收敛的 Cauchy 收敛准则

\(\int_{a}^{+\infin}f(x)\mathrm dx\) 收敛 \(\Leftrightarrow \epsilon >0,\exist A>a,\forall u_1>A,u_2>A\)\(|\int_{u_1}^{u_2}f(t)\mathrm dt|<\epsilon\).

性质
  1. \(\int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx\)\(\int_{a}^{+\infin}g(x)\) 均收敛,\(k_1,k_2\in\R\),则 \(\int_{a}^{+\infin}[k_1f(x)+k_2g(x)]\mathrm dx\) 收敛且有线性性成立。

  2. \(\forall u>a\)\(f\)\([a,u]\) 上可积,\(b(>a)\) 为实常数,则 \(\int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx\)\(\int_{b}^{+\infin}f(x)\mathrm dx\) 同敛散。

  3. \(\forall u>a\)\(f\)\([a,u]\) 上可积,且 \(\int_{a}^{+\infin}|f(x)|\mathrm dx\) 收敛,则 \(\int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx\) 也收敛(反之不一定成立),并称 \(\int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx\)绝对收敛的,且有

    \[\left| \int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx \right|\le\int_a^{+\infin}|f(x)|\mathrm dx \]

    否则,若 \(\int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx\) 收敛但 \(\int_a^{+\infin}|f(x)|\mathrm dx\) 发散,则称 \(\int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx\)条件收敛的。

非负函数 \(f(x)\) 的无穷积分的敛散性判别法

\(f(x)\) 是定义在 \([a,+\infin)\) 上的非负函数,且 \(\forall u>a\)\(f\)\([a,u]\) 上可积。

命题(比较原则):若 \(f,g\)\([a,+\infin)\) 上满足 \(0\le f(x)\le Kg(x)\),其中 \(K>0\) 且为常数,则有

  1. \(\int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx\) 发散,则 \(\int_a^{+\infin}g(x)\) 也发散。
  2. \(\int_a^{+\infin}g(x)\mathrm dx\) 收敛,则 \(\int_a^{+\infin}f(x)\) 也收敛。

推论:

  1. \(f\)\(g\)\([a,u](\forall u>a)\) 上可积,且 \(\forall x\in[a,+\infin),f(x)\ge0,g(x)>0\),又

    \[\lim_{x\to +\infin}\frac{f(x)}{g(x)}=c \]

    则有

    1. \(c\in(0,+\infin)\),则 \(\int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx,\int_a^{+\infin}g(x)\mathrm dx\) 同敛散。

      证:\(\because\lim_{x\to+\infin}\frac{f(x)}{g(x)}=c>0,\therefore\exist A>a,\texttt{s.t.}\forall x>A\),有 \(\frac{c}{2}g(x)\le f(x)\le \frac{3c}{2}g(x)\).

    2. \(c=0\),则由 \(\int_{a}^{+\infin}g(x)\mathrm dx\) 收敛可推出 \(\int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx\) 收敛。证明考虑极限的定义。

    3. \(c=+\infin\),则由 \(\int_a^{+\infin}g(x)\mathrm dx\) 发散可推出 \(\int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx\) 发散。

  2. Cauchy 判别法)(以下 \(k\) 为正常数)

    1. \(0\le f(x)\le \frac{k}{x^p}\)\(p>1\) 时,\(\int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx\) 收敛。
    2. \(f(x)\ge\frac{k}{x^p}\)\(p\le 1\) 时,\(\int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx\) 发散。
  3. (Cauchy 判别法的极限形式)

    \(\lim_{x\to +\infin}x^pf(x)=\lambda\),则

    1. \(\lambda\in[0,+\infin)\)\(p>1\) 时,\(\int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx\) 收敛;
    2. \(\lambda\in(0,+\infin]\)\(p\le 1\) 时,\(\int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx\) 发散;

    例、判别以下反常积分的敛散性

    \[\int_1^{+\infin}\frac{\mathrm dx}{(x^3+3x+1)^{\frac{1}3}}\\ \int_1^{+\infin}x^{\alpha}e^{-x}\mathrm dx,(d\in\R\ 常数) \]

    解:

    \[\because\lim_{x\to +\infin}\frac{x}{(x^3+3x+1)^{\frac{1}3}}=1\\ \therefore 由柯西判别法……发散\\ \because \lim_{x\to +\infin}x^2\cdot x^{\alpha}e^{-x}=0\\ \therefore 由柯西判别法……收敛 \]

Dirichlet 判别法:设 \(F(u)=\int_a^uf(t)\mathrm dt\)\([a,+\infin)\) 上有界,\(g(x)\)\([a,+\infin)\) 单调\(\lim_{x\to +\infin}g(x)=0\),则 \(\int_a^{+\infin}f(x)g(x)\mathrm dx\) 收敛。

证:\(\because \lim_{x\to +\infin}g(x)=0,\therefore \forall \epsilon>0,\exist A>a\),使得 \(\forall x>A\)\(|g(x)|<\epsilon\)

\(\because F(u)=\int_a^u f(x)\mathrm dx\)\([a,+\infin)\) 有界,\(\therefore \exist M>0,\forall u\in[a,+\infin),|F(u)|\le M\)

\(\forall u_2>A,u_1>A,|\int_{u_1}^{u_2}f(t)|\mathrm dt\le |F(u_1)|+|F(u_2)|\le 2M\)

\(\forall u_2>u_1>A\)

\[\left| \int_{u_1}^{u_2}f(x)g(x)\mathrm dx \right| \le |g(u_1)|\cdot \left|\int_{u_1}^{\zeta}f(x)\mathrm dx\right|+|g(u_2)|\cdot \left|\int_{\zeta}^{u_2}f(x)\mathrm dx\right|\le 4M\cdot \epsilon \]

故由反常积分收敛的 Cauchy 准则知 \(\int_a^{+\infin}f(x)g(x)\mathrm dx\) 收敛。

Abel 判别法:若 \(\int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx\) 收敛,\(g(x)\)\([a,+\infin)\) 单调且有界,则 \(\int_a^{+\infin}f(x)g(x)\mathrm dx\) 收敛。

证:\(\because g(x)\) 单调有界,\(\therefore\lim_{x\to+\infin}g(x)\) 存在,设为 \(b\in\R\),令 \(h(x)=g(x)-b\),则 \(h(x)\)\([a,+\infin)\) 也单调,且在正无穷处极限为 \(0\),由 Dirichlet 判别法知,\(\int_a^{+\infin}f(x)h(x)\mathrm dx\) 收敛,即 \(\int_a^{+\infin}f(x)(g(x)-b)\mathrm dx\) 收敛,从而 \(\int_a^{+\infin}f(x)g(x)\mathrm dx\) 收敛。

例、证明:\(\int_1^{+\infin}\frac{\sin x}{x}\mathrm dx\) 收敛,但 \(\int_1^{+\infin}\left|\frac{\sin x}{x}\right|\mathrm dx\) 发散。

证:\(\forall u_2>u_1>1\),有

\[\begin{aligned} &\left|\int_{u_1}^{u_2}\frac{\sin x}{x}\mathrm dx\right|\\ =&\left|\int_{u_1}^{u_2}\frac{(-\cos x)'_x\mathrm dx}{x}\right|\\ =&\left|-\frac{\cos x}{x}|_{u_1}^{u_2}-\int_{u_1}^{u_2}\frac{\cos x}{x^2}\mathrm dx\right|\\ \le &\frac{2}{u_1}+\frac{2}{u_2}\\ <&\frac{4}{u_1}(<\epsilon) \end{aligned} \]

\(\forall x>1\),有

\[\left| \frac{\sin x}{x} \right| =\frac{|\sin x|}{x}\ge \frac{\sin^2 x}x=\frac{1-\cos (2x)}{2x}\ge 0 \]

其中 \(\frac{\cos 2x}{2x}\) 是满足 Dirichlet 判别法,收敛的,而 \(\int_{1}^{+\infin}\frac{1}{2x}\) 是发散的,故结论成立。

例、求 \(\forall n\in\N\)\(I_n=\int_0^{+\infin}x^ne^{-x}\mathrm dx\).

解:\(I_0=1\)\(\forall n\in\Z^+,I_n\) 收敛。

\[\begin{aligned} I_n&=\int_{0}^{+\infin}x^{n}e^{-x}\mathrm dx\\ &=\int_{0}^{+\infin}x^{n}(-e^{-x})'_x\mathrm dx\\ &=-e^{-x}x^{n}|_{x=0}^{x=+\infin}+n\int_{0}^{+\infin}x^{n-1}e^{-x}\mathrm dx\\ &=nI_{n-1}\\ &=n! \end{aligned} \]

例、\(I=\int_0^{\frac{\pi}2}\ln(\sin x)\mathrm dx,J=\int_0^{\frac{\pi}2}\ln(\cos x)\mathrm dx\).

解:

\[\because\lim_{x\to 0+}x^{\frac13}\ln(\sin x)=0,\lim_{x\to \frac\pi2-}(\frac{\pi}2-x)^{\frac{1}{3}}\ln(\cos x)=0\\ \therefore I,J 均收敛 \]

易证:\(I=J\).

\[2I=I+J=\int_0^\frac\pi2\ln(\sin x\cos x)\mathrm dx=\int_0^{\frac\pi 2}\left( \ln\frac12+\ln\sin(2x) \right)\\ =\frac{\pi}2\ln\frac{1}{2}+\int_0^{\frac\pi2}\ln\sin(2x)\mathrm dx\\ =\frac{\pi}2\ln\frac12+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\ln\sin t\mathrm dt\\ =\frac{\pi}2\ln\frac12+I \]

因此:\(I=J=\frac{\pi}{2}\ln\frac12\).

(???太神奇啦)

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