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数分笔记

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数学分析 I

符号说明（部分）

存在唯一：∃| 或 ∃!

使得：s.t.（so that/such that）

非：¬

正整数：Z+,N+,Z+,N+

定义为：≜ 或 ˙=

笛卡尔乘积

A×B={(a,b)|a∈A,b∈B}（(a,b) 为有序对）

A×B×C={(a,b,c)|...} VS (A×B)×C={((a,b),c)|...}

R2=R×R

映射

仅讨论单值函数。

三要素：(f,A,B)。

A：定义域。B：值集。f(A)={f(x)∈B|x∈A}：值域。

一元实值函数：(f,A)（B=R）。

未给出 A，自然定义域，使得其有意义的所有实数（？）。

单射、满射、双射。

有限集、无限集

若 ∃n∈Z+，s.t. A 与 1,2,3,…,n 存在一个双射，则称 A 为有限集，且 #A=n。

不是有限集的集合被称为无限集。

可列集

若 A 与 Z+ 之间存在一个双射，则称 A 为可列集。

Z+→N→Z→Qn→n−1→→

等势

证明 (0,1) 不是可列集（康托对角线法，反证法）：

假设 (0,1)={rn}+∞n=1，

ri=0.¯x(i)1x(i)2x(i)3…，其中 x(j)i∈{0,1,…,9}。

令 r=0.¯x1x2x3…，满足 xi∈{1,2,…,8}−{x(i)i}，

则 r∈(0,1) 且 r∉{rn}+∞n=1，矛盾。

故 (0,1) 为不可数集。

数集与确界原理

约定：∅ 是有界集（有上界和下界）。

实数集

R={α⊂Q|1.α≠∅;2.α≠Q;3.∀x∈α,若y∈Q且y<x,则y∈α;4.∀a∈α,∃b∈α,s.t.b>a}

上确界

supS

定义：设 A 是一个 R 的非空子集。

若 ∃η∈R，s.t.：

  1. ∀x∈A,x≤η

  2. ∀(α∈R且)α<η，∃x0∈A,s.t.x0>α

    等价于：

    ∀ϵ∈R且ϵ>0,∃x0∈A,s.t.x0>η−ϵ

下确界

infS

定义：与上确界类似。

确界原理

非空有界（实）数集必存在确界。

例题：设 A={1n|,n∈Z+}，证明：supA=1,infA=0。

证明：先证 supA=1

  1. ∀x∈A,x≤1

  2. ∀α<1，取x0=1∈A,x0=1>α

再证 infA=0

  1. ∀x∈A,x≥0

  2. ∀β>0,取y0=1⌊1β⌋+1，则有y0<β

证明阿基米德性质

∀x,y∈R，且 x>0，一定 ∃n0∈Z+，s.t. n0x>y，证明：

令 A={nx|n∈Z+}，下用反证法证明。

假设上述结论不成立，即有 ∀n∈Z+ 成立 nx≤y，

故有 A 为一个非空的有上界实数集。

由确界原理知：supA∈R，不妨设 supA=α。

因为 x>0，所以 −x<0，从而 α−x<α。

由于 α=supA，所以 α−x 必不是 A 的上界。

所以 ∃m∈Z+，s.t. α−x<mx，即 α<(m+1)x。

因为 (m+1)x∈A，所以 α<(m+1)x 与 α 是上确界矛盾。

Dirichlet 函数

D:R→R

x↦D(x)={1,x∈Q0,x∈R−Q

Riemann 函数

R:[0,1]→R

x↦R(x)={1q,x∈(0,1]∩Q,x=pq,p,q∈Z+,(p,q)=10,x=0或x∈[0,1]−Q

隐函数

与显函数相对，无显式表达式，例如：x2+y2=1。

复合函数

(f∘g)(x)=f(g(x))

其他

(f±g)(x)=f(x)±g(x)(f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x)(fg)(x)=f(x)g(x)

具有某些特性的函数

有界函数

设 f:A→R 是一个函数。

若 f(A) 是一个有界集，则称 f 是一个有界函数。

⇔∃M>0,∀x∈A,|f(x)|⩽M。

约定 supf(A)写成supx∈Af(x)，称为 “f 在 A 上的上确界”。下确界类似。

单调函数

设 f:D→R 是一个函数。

若∀x1,x2∈D,x1<x2，有 f(x1)⩽(⩾)f(x2)，称 f 在 D 上单增（减），简记作 f↗（应该为一个往右弯曲的箭头）。

注意区分“单调递增”和“严格单调递增”（↑）。

反函数定理：若 f:D→f(D) 是一个严格单增的函数，则 f 必存在反函数 g:f(D)→D，s.t.f∘g=idf(D)，g∘f=idD。

证明：仅需证明 f:D→f(D) 为单射。

反证法：若 f:D→f(D) 不是单射，则存在 x1,x2∈D 且 x1≠x2，s.t. f(x1)=f(x2)，

于是若 x1<x2，由 f↑……矛盾。

下证 g↑：

任取 y1,y2∈f(D)，满足 y1<y2。

∃x1,x2∈D,s.t.x1=g(y1),x2=g(y2)。

因为 y1<y2，所以 x1<x2。（x1=x2 不合题意，x1>x2⇒y1>y2）。

2024.9.19

幂

∀a,b∈R,n∈Z+,bn−an=(b−a)(an−1+an−2b+⋯+bn−1).

当 b>a>0,n∈Z+−{1} 时有 bn−an<(b−a)×n×bn−1。

命题：设 a>0,n∈Z+−{1}，则 ∃!x∈{y∈R|y>0}，s.t. xn=a。

证明：先证唯一性

​ 假设有 x1,x2∈R，s.t. (x1)n=(x2)n=a，则

​ 0=a−a=(x1)n−(x2)n=(x1−x2)((x1)n−1+⋯+(x2)n−1)，故 x1−x2=0，x1=x2。

​ 再证存在性：

​ 令 E={t∈R|t>0且tn<a}，

​ 令 ˜t=aa+1∈R，则 0<˜t<1且˜t<a，故 (˜t)n<˜t<a，故 ˜t∈E，所以 E≠∅。

​ 令 t∗=a+2，下可证明 t∗ 是 E 的一个上界。

​ t∗>a且t∗>1，故 (t∗)n>t∗>a。

​ 从而 ∀t∈E，有 tn<a<(t∗)n⇒(t∗)n>tn，从而 t∗ 是 E 的一个上界。

​ 从而 E 是一个有上界的非空实数集，由确界原理知 supE∈R。

​ 令 supE=α，首先 α⩾a1+a，下证 αn=a。

​ 假设 αn<a，选取一个 h∈(0,1)且h<a−αnn(1+α)n−1。

​ 于是 (α+h)n−αn<hn(α+h)n−1<h×n(1+α)n−1<a−αn⇒(α+h)n<a

​ ⇒(α+h)∈E 与 α=supE 矛盾。

​ 假设 αn>a，令 k=αn−anαn−1，则 0<k<α。

​ 如果 t∈R 且 t≥α−k>0，则有

​ αn−tn≤αn−(α−k)n<k×nαn−1=αn−a⇒tn>a⇒t∉E

​ ⇒α−k 是 E 的一个上界，与 α=supE 矛盾。

设 a>0,b∈R，定义 ab

  1. 当 b∈Z+ 时，ab≜a×a×…a（n 个 a 相乘）。

    b=0,a0≜1。

  2. 当 b∈Z−N 时，ab≜1a−b。

  3. 当 b=mn∈Q,m∈Z,n∈Z+ 时 ab=(a1n)m。

    f:Q→Rx→ax

  4. 当 b∈R−Q 时

    ab≜{sup{ax|x∈Q且x<b},a>1inf{ax|x∈Q且x<b},a∈(0,1)

    易证上述两个集合均非空。

奇（偶）函数

设 f:D→R 是一个函数，又设 D 关于原点对称（即 ∀x∈D,−x∈D）。

若 ∀x∈D,f(−x)=−f(x)，则 f 为奇函数。

若 ∀x∈D,f(−x)=f(x)，则 f 为偶函数。

周期函数

（一般）又设 D 满足：∃T≠0，s.t. ∀x∈D,x+T∈D，又 f 满足：∀x∈D,f(x+T)=f(x)，称 T 是 f 的一个周期。

（书上）设 f:D→R 是一个函数，D 满足 ∃σ>0,∀x∈D,x±σ∈D，又 f 满足：∀x∈D,f(x±σ)=f(x)，则称 f 是一个周期函数。

按照一般的定义，f:(0,+∞)→R 也可以是周期函数（单侧）。

数列极限

设

f:Z+→Rn↦f(n)写作=an

称 {an} 是一个（实）数列，称 an 为数列 {an} 的通项。

注意：存在双侧数列，下标取遍 Z。

设 {an} 是一个数列，若 ∃a∈R，使得 ∀(ϵ∈R且)ϵ>0,∃N∈Z+,∀(n∈Z+且)n>N，成立 |an−a|<ϵ，则称数列 {an} 收敛于 a，记作 limn→+∞an=a，或 ann→+∞⟶a(an→a(n→+∞))。

否则，则称 {an} 发散：∀a∈R，使得 ∃ϵ0>0,∀N∈Z+,∃n>N，成立 |an−a|≥ϵ0。

（"ϵ−N" 语言）

例题：书上 P22 例3~6。

收敛与发散

设 {an} 是一个数列。

收敛

若 ∃a∈R，有 ∀ϵ>0,∃N∈Z+,∀n>N，成立 |an−a|<ϵ，则称 {an} 收敛于 a。

若 ∃a∈R，有 ∀ϵ>0，{an} 中仅有有限多项不属于 (a−ϵ,a+ϵ) 中，则称 limn→+∞an=a。

发散

若 ∀a∈R，有 ∃ϵ0>0,∀N∈Z+,∃nN>N，成立 |anN−a|≥ϵ0，则称 {an} 发散。

若 ∀a∈R，有 ∃ϵ>0，{an} 中有无限多项不属于 (a−ϵ,a+ϵ) 中，则称 {an} 发散。

例

证明 {(−1)n+1} 发散。

证：

  1. a=1，取 ϵ0=12>0，∀N∈Z，取 nN=2N>N，成立 |(−1)nN+1−1|=2≥12=ϵ。

    由数列不以 a 为极限的定义得于是可得 1 不是 {(−1)n+1} 的极限。

  2. 类似的，可以证明 a=−1 不是 {(−1)n+1} 的极限。

  3. a≠1 且 a≠−1，令 ϵ0=min{|a−1|,|a+1|,12}>0，∀N∈Z+，取 nN=2N>N，成立 |(−1)nN+1−a|=|−1−a|≥ϵ0。

    于是可得，a 不是 {(−1)n+1} 的极限。

综上所述，{(−1)n+1} 发散。

另证：limn→+∞a2n=x 且 limn→+∞a2n−1=y，则 {an} 收敛等价于 x=y。

子列

定义（书上 P31 定义 1）。

特别的，若 {an} 的子列 {ank} 从第 i 项开始和 {an} 从第 j 项开始”一摸一样“，则称 {ank} 是 {an} 的一个平凡子列。（注意：i,j 可以相同也可以不同，要求 ni=j,ni+1=j+1…）即”去掉 {an} 中有限多项得到平凡子列 {ank}“。否则称为非平凡子列。

例题

P24 例8，例9

无穷大数列

{an} 是无穷大数列等价于 limn→∞an=∞，定义为（”M−N“ 语言）：

∀M>0,∃N∈Z+,∀n>N(⇔n∈∪(+∞)∩Z+⇔n∈(N,+∞)∩Z+)，有 |an|>M。

称当 n 趋向于 +∞ 时，an 趋向于 ∞。记作 an→∞(n→+∞) 或把括号内的写在箭头上。

例：{(−1)nn}。

另：正（负）无穷大数列……：{n}（{−n}）。

收敛数列的性质

  1. 唯一性：若 limn→+∞an=a∈R 且 limn→+∞an=b∈R，则 a=b。

    证明：

    ∵limn→+∞an=a∈R 且 limn→+∞an=b∈R

    ∴∀ϵ>0，∃N1∈Z+,∀n>N1，有 |an−a|<ϵ，∃N2∈Z+,∀n>N2，有 |an−b|<ϵ，

    令 N=N1+N2∈Z+ 有 |a−b|≤|a2N−a|+|b−a2N|<2ϵ ⇒a=b。

  2. 有界性：若 limn→+∞an=a∈R，则 {an} 有界。

    证明：∵……特别地，取 ϵ=1，∃N∈Z+,∀n>N，有 |an−a|<1，即 |an|<|a|+1。

  3. 保号性：若 limn→+∞an=a>0(<0)，则 ∃N∈Z+,∀n>N，有 an>(<)0。

    证明：……特别地，取 ϵ=a2>0，∃N∈Z+,∀n>N，有 |an−a|<ϵ=a2⇒an>a2>0。

  4. 保不等式性

    若两数列存在极限且从某一项开始 an≤bn 恒成立，则 a=liman≤limbn=b（反证法：令 ϵ=|b−a|3，n 足够大时 an∈(a−ϵ,a+ϵ)，bn∈(b−ϵ,b+ϵ)，an 必然比 bn 大）。

    注意，就算 an<bn，极限也是 ≤，例如 {1n+1} 和 {1n}。

  5. 迫敛性（夹逼原则、两边夹法则）

    设 {an},{bn},{cn} 是三个数列，若 ∃N0∈Z+，∀n>N0 有 an≤cn≤bn，且 limn→+∞an=limn→+∞bn=a∈R，则 limn→+∞cn=a。

    证明：∵…… a−ϵ<an≤cn≤bn<a+ϵ……

例

设 an≥0,n=1,2,…，且 limn→+∞an=a∈R，证明 limn→+∞√an=√a。

证明：

  1. 若 a=0，因为 limn→+∞an=0，所以 ∀ϵ>0,∃N∈Z+,∀n>N,|an|<ϵ2⇒|√an|<ϵ。

  2. 若 a≠0（分母有理化），|√an−√a|=|an−a||√an+√a|。

    ∵limn→+∞an=a>0，∴∃N∈Z+,∀n>N,an>a4⇒√an>√a2⇒0<1√an+√a<23√a。

    又 ∀ϵ>0,∃˜N>N,∀n>˜N 有 |an−a|<3√a2×ϵ……即证。

例（迫敛性）

证明 n1n→1(n→+∞)。

证明：令 hn=n1n−1，则 d，则 0<hn<2n……

例

证明：limn→+∞1n√n!=0

证：∀ϵ>0，因为 limn→+∞(1ϵ)nn!=0（上节课证明过），

所以 ∃N∈Z+,∀n>N，有 (1ϵ)nn!<1，即 1n√n!<ϵ。

由极限定义知：

limn→+∞1n√n!=0

或者用 Stirling 公式。

收敛数列四则运算

设 limn→+∞an=a∈R，limn→+∞bn=b∈R，则：

  1. limn→+∞(an±bn)=a±b

    证明：

    0≤|an+bn−(a+b)|≤|an−a|+|bn−b|

    两边的极限都是 0。

  2. limn→+∞(anbn)=a⋅b

    证明：

    0≤|anbn−ab|=|anbn−anb+anb−ab|≤|an||bn−b|+|b||an−a|

    两边极限都是 0。（an 有界，故可以找到绝对值的上界）。

  3. 若 ∀n∈Z+,bn≠0,b≠0，则有

    limn→+∞anbn=ab

    2024-09-24 102208.png

命题：数列 {an} 收敛 ⇔ {an} 的所有非平凡子列收敛。

证明：⇒ 对于任意 {ank} 是 {an} 的非平凡子列，总有 nk≥n，易证。

⇐ {a2k},{a3k},{a2k−1} 都是 {an} 的非平凡子列。由题知：他们均收敛。

{a6k} 是 {a3k} 和 {a2k} 的公共子列，且也是 {an} 的非平凡子列。设其极限为 a…… {a2k},{a3k} 极限均为 a。

又 {a6k−3} 是 {a2k−1} 和 {a3k}……从而 limn→+∞a2n−1=a。

于是有 limn→+∞an=a。

数列极限存在的一些判定条件

单调有界定理

（在实数系中，）若 {an} 单调（递增/递减）有（上/下）界，则 {an} 收敛。

证明：

  1. 设 {an} 单增有上界，令 E={an|n∈Z+}⊂R，且 E≠∅ 且 E 有上界，有确界原理知：E 存在上确界，令 α=supE∈R，下证明：limn→+∞an=α。

    因为 α=supE，所以：

    1. ∀n∈Z+,an≤α。
    2. ∀ϵ>0,∃an0∈E，使得 an0>α−ϵ。

    于是有对于任意的 ϵ>0，取 N=n0∈Z+,∀n>N，有 a−ϵ<an0≤an≤α≤α+ϵ。

    即 |an−α|<ϵ。

  2. 单减同理。

  • 例：an=∑ni=11n2，证明其收敛。

    只需证明 an 单增并用裂项相消求任意上界（比如 2）。

  • 例：an=∑ni=01n!，证明收敛。

    单增。裂项，有上界 3。

  • P34 例三

  • 重要极限：P34 例四

    ∀n∈Z+，令 bn=(1+1n)n，证明 {bn} 收敛。

    证明：b1=2,n∈Z+−{1}。

    bn=(1+1n)n=n∑k=0(nk)(1n)k=1+1+n∑k=2n(n−1)…(n−k+1)k!nk=2+n∑k=21k!(1−1n)…(1−k−1n)bn+1=2+n+1∑k=21k!(1−1n+1)…(1−k−1n+1)

    所以 ∀n∈Z+,bn<bn+1。

    bn≤2+n∑k=21k!<3

    （由上面第二个例题知）故有界。

  • P35 例五，证明任意数列都存在单调子列。

致密性定理

任何一个有界数列必有收敛子列。

证明：任何数列必有单调子列（P35例五），该子列有界，故……

柯西收敛准则

P36

{an} 收敛等价于 ∀ϵ>0,∃N∈Z+,∀n,m>N 有 |an−am|<ϵ，则称 {an} 是一个 Cauchy 列（基本列）。

等价定义：∀ϵ>0,∃N∈Z+,∀n>N,p∈Z+ 有 |an−an+p|<ϵ。

书上 P36 证明等价。

证明 Cauchy 列 {an} 有界：

特别地，对于 ϵ=1，有 ∃N∈Z+,∀n>N,p∈Z+，有 |an+p−an|<ϵ

⇒∀p∈Z+,|aN+1+p|<|aN+1|+1，则其有界 max{|a1|,|a2|,…,|aN+1|+1}。

则由致密性定理知：存在子列 {ank} 有极限 ζ。

则 ∀ϵ>0,∃N∈Z+，使得 ∀n>N 有 |an−ζ|=|an−anN+K+anN+K−ζ|≤|an−anN+K|+|anN+K−ζ|<ϵ。

∑ni=11i=lnn+ϵn

∑ni=1(−1)i−11i=(∑2ni=11i)−(∑ni=11i)=ln2+ϵ2n−ϵn

确界原理 ⇒ 单调有界定理 ⇒ 致密性定理 ⇒ Cauchy 收敛准则。

证明：{an=∑nk=11k} 不收敛

证：只需证明 {an} 不是柯西列

∃ϵ0>0,∀N∈Z+,∃nN>N,∃pN∈Z+，有 |anN+pN−anN|≥ϵ0。

因为：1,12,13+14,15+16+17+18,… 均大于等于 12。

设 D⊆R 且 x0∈R，若 ∃{xn} 满足 ∀n∈Z+,xn∈D,∀n,m∈Z+且n≠m，则xn≠xm，且 limn→+∞xn=x0，则称 x0 是 D 的一个聚点。

函数极限

设 f:D→R 是一个函数。

y=f(x),x∈D,x0∈Rx→+∞y→+∞x→−∞y→−∞x→∞y→∞x→x0y→y0∈Rx→x0+y不趋向于任意实数或+∞或−∞x→x0−

共 30 种可能。

先考虑极限存在的情况：

  1. （ϵ−M 语言）若 +∞ 是 D 的一个无限聚点，若 ∃a∈R,∀ϵ>0,∃M>0,∀x∈D且x>M，有 |f(x)−a|<ϵ。称 f 当 x 趋向于 +∞ 时以 a 为极限，记作 limx→+∞x∈Df(x)=a（x∈D 可不写）。

  2. −∞ 类似 1。

  3. 若 ∞ 是 D 的一个无限聚点，若…… ∀x∈D且|x|>M ……

    例 证明：limx→+∞1x=0，limx→−∞1x=0，limx→∞1x=0。

    只证第一个：∀ϵ>0,∃M=1ϵ，则 ∀x>M 有 |1x−0|=1x<1M=ϵ。

  4. （ϵ−δ 语言）若 x0 是 D 的一个聚点，若 ∃a∈R，∀ϵ>0,∃δ>0,∀x∈D且0<|x−x0|<δ，有 |f(x)−a|<ϵ，称当 x→x0 时以 a 为极限，记作 limx→x0f(x)=a。

  5. 若 x0 是 D 上一个聚点且 ∃{xn} 两两不同，xn>x0 且 xn∈D，s.t. limn→+∞xn=x0，若 ∃a∈R，∀ϵ>0,∃δ>0,∀x∈D且0<x−x0<δ，有 |f(x)−a|<ϵ，则称 f 当 x→x0+ 时以 a 为极限，记作 limx→x0+f(x)=a。

  6. 类似 5。

函数极限的性质

以下为了方便总假设 f 在 ˚U(x0;˜δ) 上有定义（x0∈R,˜δ>0）。

  1. 唯一性：若 limx→x0f(x)=a∈R，又 limx→x0f(x)=b∈R，则 a=b。

  2. 局部有界性：若 limx→x0f(x)=a∈R，则 ∃δ>0,M>0,∀x∈˚U(x0;δ)，有 |f(x)|≤M。

  3. 局部保号性：若 limx→x0f(x)=a∈R，且 a>0，则 ∃δ>0,∀x∈˚U(x0;δ)，有 f(x)>a2>0。a<0 同理。

  4. 局部保不等式性：若 limx→x0f(x)=a∈R,limx→x0g(x)=b∈R，且 ∃δ1>0,∀x∈˚U(x0;δ1)，有 f(x)≤g(x)，则 a≤b。（反过来叙述：若 a<b，则 f(x)≤g(x)）。

  5. （迫敛性）夹逼原理：设 f,g,h 在 x0 的一个去心邻域 ˚U(x0;˜δ) 内有定义，且满足 ∀x∈˚U(x0;˜δ)，有 f(x)≤g(x)≤h(x)，又 limx→x0f(x)=limx→x0h(x)=a∈R，则 limx→x0g(x)=a。

  6. （四则运算）：设 limx→x0f(x)=a∈R,limx→x0g(x)=b∈R，则有

    1. limx→x0(f(x)±g(x))=a±b。
    2. limx→x0f(x)⋅g(x)=ab。
    3. 若 b≠0，则 limx→x0f(x)g(x)=ab。

    注意：需要保证极限均存在。

  7. 复合函数求极限的一些充分条件

    例：若 limx→ag(x)=A,limy→Af(y)=B，问：是否有 limx→af(g(x))=B？

    否，反例：

    g(x)≡0f(x)={1,y=00,y≠0

    设 limx→ag(x)=A,limy→Af(y)=B，存在 a 的某个去心邻域 ˚U(a)，使得 ∀x∈˚U(a),g(x)∈Df，如果满足以下条件之一：

    1. ∃a 的某个去心邻域 ˜˚U(a)⊂˚U，且 ∀x∈˜˚U(a),g(x)≠A。

      证明：

      limy→Af(y)=B⇔∀ϵ>0,∃δ>0,∀y∈{t∈Df|0<|t−A|<δ},|f(y)−B|<ϵ

      limx→ag(x)=A⇔∀δ>0,∃γ>0,∀x∈{s∈Dg|0<|s−a|<γ},|g(x)−A|<δ

      由条件知 0<|g(x)−A|，故可用变量替换 g(x)。

    2. limy→Af(y)=f(A)且A∈R。（常用）

    3. A=∞(+∞或−∞),B∈R。

    则有 limx→af(g(x))=limy→Af(y)=B。（变量替换）

海涅定理（Heine Theorem）

设 f 在 ˚U(x0;δ) 内有定义，则有

  1. 若 limx→x0f(x) 存在，则 ∀{xn}(xn∈˚U(x0;δ)) 且 limn→+∞xn=x0，由 limn→+∞f(xn) 存在且等于 limx→x0f(x)。（易证）

  2. 若 ∀{xn}(xn∈˚U(x0;δ)) 且 limn→+∞xn=x0，对应的函数值数列 {f(xn)} 均收敛，则 limx→x0f(x) 必存在。∃a∈R，使得：

    1. limn→+∞f(xn)=a。

      证明：取 {yn} 满足 yn∈˚U(x0;δ) 且 limn→+∞yn=x0，由题意 {f(yn)} 收敛，不妨设 limn→+∞f(yn)=a∈R。

      再任取 {xn}，满足 xn∈˚U(x0;δ) 且 limn→+∞xn=x0，由题意 {f(xn)} 收敛。

      再任取 {zn}，z2k−1=yk且z2k=xk，则满足 zn∈˚U(x0;δ) 且 limn→+∞zn=x0，由题意 {f(zn)} 收敛且极限与 {f(yn)} 和 {f(xn)} 相同，故 limn→+∞f(xn)=a。

    2. limx→x0f(x)=a。

      若 f(x) 当 x→x0 时不以 a 为极限，则 ∃ϵ0>0,∀δ>˜δ>0,∃x∈˚U(x0;˜δ) 有 |f(x)−a|≥ϵ0

      依次取 ˜δ=min{δ,1n}（n=1,2,…），∃xn∈˚U(x0;˜δ)，使得 |f(xn)−a|≥ϵ0，则 xn∈˚U(x0,δ)，且 limn→+∞xn=x0，由 2.1 知 {f(xn)} 收敛于 a，与 |f(xn)−a|≥ϵ0 矛盾，故 limx→x0f(x)=a。

柯西准则

设 f 在 ˚U(x0;ρ) 上有定义，则 limx→x0f(x) 存在等价于 ∀ϵ>0,∃δ>0,∀x1,x2∈˚U(x0;δ)，有 |f(x1)−f(x2)|<ϵ。

（充分性好证）

必要性证明：

在 ˚U(x0;ρ) 中任取一个数列 {xn} 满足 limn→+∞xn=x0，……，从而得到 {f(xn)} 是一个 Cauchy 列，由数列极限的柯西收敛原理知：{f(xn)} 收敛，设为 limn→+∞f(xn)=a∈R。

对于题设中的 ϵ>0，∃N1∈Z+,∀n>N1，有 |f(xn)−a|<ϵ（且 xn∈˚U(x0,δ)），∀x∈˚U(x0;δ)，有 |f(x)−a|≤|f(x)−f(xN+1)|+|f(xN+1)−a|<2ϵ。

由题知：limx→x0f(x)=a。得证。

重要极限

  1. limx→0sinxx=1

    ∀x∈(0,π2),sinx<x<tanx，故 cosx<sinxx<1，当 x→0+ 时，三者极限均为 1。

  2. limx→∞(1+1x)x=e

    证明基础：limn→+∞(1+1n)n=e。

    书上 P54

无穷小量与无穷大量

无穷小量

设 x0∈R,ρ>0 为常数，f 在 ˚U(x0;ρ) 上面有定义，若 limx→x0f(x)=0，则称 f 为当 x→x0 时的无穷小量，记作 f(x)=o(1),x→x0

若 f 在某个 x0 的邻域上有界，则称 f 为当 x→x0 时的有界量。

无穷小量阶的比较

注意：两个无穷小量的比值可能不存在，这组无穷小量不能比较。

设 f,g 都是当 x→x0 时的无穷小量。

  1. 若 limx→x0f(x)g(x)=0：则称当 x→x0 时，f 是 g 的高阶无穷小量，也称当 x→x0 时，g 是 f 的低阶无穷小量，记作 f(x)=o(g(x)),x→x0。

    o(g(x)) 的含义（“小欧 ”）：

    o(g(x))={在˚U(x0)上有意义的f|limx→x0f(x)g(x)=0}

    所以上面的 = 其实是 ∈，只是记作 =。

    例：o(x2)+o(x)=o(x)。

  2. 若存在两个正数 K≤L 及一个 x0 的去心邻域 ˚U(x0)，使得 ∀x∈˚U(x0)，有 K≤|f(x)g(x)|≤L，则称 f 和 g 为当 x→x0 时的同阶无穷小量。

    特别地，若 limx→x0f(x)g(x)=c≠0，则 f 和 g 为当 x→x0 时的同阶无穷小量。

    注意：x2 和 x2sin1x 不是 x→0 时的同阶无穷小量，但是 x2 和 x2(sin1x+2) 是 x→0 时的同阶无穷小量，即使他们相除的极限不存在。

    若 ∃L>0，以及一个 ˚U(x0)，使得 ∀x∈˚U(x0)，有 |f(x)g(x)|≤L，则记作 f(x)=O(g(x)),x→x0（“大欧”，不要求 f,g 均为无穷小量）。（几乎不用）

  3. 等价无穷小量。

    若 limx→x0f(x)g(x)=1，则称 f 和 g 为当 x→x0 时的等价无穷小量，记作 f(x)∼g(x),x→x0。

等价替换定理：设 f,g,h 在 ˚U(x0) 上有定义，且 f(x)=o(1),x→x0，g(x)=o(1),x→x0，且 f(x)∼g(x),x→x0，则有：

  1. 若 limx→x0f(x)h(x)=A∈R，则 limx→x0g(x)h(x)=A；
  2. 若 limx→x0h(x)f(x)=B∈R，则 limx→x0h(x)g(x)=B。

无穷大量

设 f 在 ˚U(x0,ρ),(ρ>0) 上有定义，若 ∀G>0,∃0<δ<ρ,∀x∈˚U(x0,δ)，成立 f(x)>G，则称 f 当 x→x0 时以 +∞ 为“极限”，记作 limx→x0f(x)=+∞，（−∞,∞ 同理）。

limx→+∞f(x)=+∞⇔∀G>0,∃M>0,∀x∈(M,+∞)(∩Df),有f(x)>G

例：证明 limx→+∞ex=+∞

证：

∵limn→+∞en=+∞(en=(1+e−1)n≥1+n(e−1))∴∀G>0,∃N∈Z+,∀n<N,en>G又∵ex单增∴…(从整数到实数)

例：limx→+∞ax=+∞⇒limx→−∞ax=0。

证：由题 ∀G>0,∃M>0,∀x>M,ax>G。

所以 ∀ϵ>0，令 G=1ϵ>0,∃M>0,∀x>M，有 ax>G=1ϵ，于是令 x=−t，有 1at>1ϵ，∀t<−M，有 0<at<ϵ。

渐近线

称 y=f(x),x∈D 的函数图像是一条“曲线”（平面曲线）。

  • 连续曲线
  • 光滑曲线
  • 分段光滑曲线

如果点 (x,y) 沿着曲线 y=f(x) 连续变化如下：

当点 (x,y) 的两个坐标之一趋向于无穷时，此点到某一定直线 y=kx+b（或 x=C（C 是常数））的距离趋向于 0，则称此直线为曲线 y=f(x) 的一条渐近线。

  • y=C 水平渐近线

  • x=C 垂直渐近线

    若 ∃x0∈D′f，且 limx→x0+f(x)=∞（或 ±∞）或 limx→x0−f(x)=∞,±∞，称 x=x0 为 y=f(x) 的垂直渐近线。

  • y=kx+b 斜渐近线..

    k,b 为待定常数。

    limx→+∞|f(x)−(kx+b)|√1+k2=0⇒limx→+∞(f(x)−(kx+b))=0

    若 limx→+∞f(x)x=k∈R 且 limx→+∞(f(x)−kx)=b∈R，则称 y=kx+b 是 y=f(x) 的一条（右）斜渐近线。

    左渐近线同理。

例：求曲线 y=x2√x2−1 的渐近线。

解：函数 y=x2√x2−1 的定义域为 (1,+∞)∪(−∞,−1)。

∵limx→1+x2√x2−1=+∞,∴x=1 是曲线 y=f(x) 的一条垂直渐近线。（x→−1− 同理）

limx→+∞f(x)x=limx→+∞x√x2−1=limx→+∞1√1−1x2=1limx→+∞(x2√x2−1−x)=limx→+∞x√x2−1(x−√x2−1)=1⋅0=0

所以 y=x 是 y=f(x) 的（右）（斜）渐近线，左斜渐近线同理。

*例：求 y=lnx 的渐近线。

解：limx→0+lnx=−∞，所以 x=0 是 y=lnx 的渐近线。

limx→+∞lnxx=0（后面再证，limn→+∞nkan=0）……

函数连续定理

设 f:D→R 是一个函数，x0∈D，

若 ∀ϵ>0,∃δ>0,∀x∈U(x0,δ)∩D，有 |f(x)−f(x0)|<ϵ，则称 f 在 x0 处连续。

（孤立点的定义：设 D 是 R 的一个非空子集，若 x0∈D 且 ∃δ>0，s.t. U(x0;δ)∩D={x0}，则称 x0 为 D 的一个孤立点。）

注：

  1. 若 x0∈D′，则 f 在 x0 处连续 ⇔limx→x0f(x)=f(x0)。
  2. f 在 D 的孤立点处“自动”连续

∀x∈D,x0∈D，令 Δx=x−x0，称 Δx 为自变量 x 的增量

∀y∈f(D),y0∈f(D)，令 Δy=y−y0，称 Δy 为因变量 y 的增量

称 Δy|x=x0 为函数 y=f(x) 在 x=x0 处的函数增量。

若 f 在 x0 处连续，则有 limx→x0f(x)=f(limx→x0x)。

右连续：limx→x0+f(x)=f(x0)，左同理。

f 在 x0 处连续等价于 f 在 x0 处既左连续又右连续。

间断点（不连续点）及其分类

设 f:D→R 是一个函数。

（间断点的考虑范围是 D′∪D 记作 ¯D（称作 D 的闭包））（D′ 应该是 {x|∀δ>0,U(x,δ)∩D≠∅}）

  1. 可弃间断点：若 limx→x0+f(x)=limx→x0−f(x)=a，且 f(x) 在 x0 处无定义或 a≠f(x0)，则称 x0 为 f(x) 的可弃间断点。

    f(x)={sinxx,x≠00,x=0

    x=0 是 f(x) 可弃间断点。

  2. 跳跃间断点：若 limx→x0+f(x)≠limx→x0−f(x)，无论 f 在 x0 处是否有定义，都称 x0 为 f 的跳跃间断点。

    f(x)={ex,x>00,x≤0

    x=0 是 f(x) 的跳跃间断点。

  3. 除去前两种（第一类间断点）的间断点都称为第二类间断点。

    x=0 是 f(x)=e1x 的第二类间断点（右极限不存在）。

分段连续：f 在 [a,b] 区间上仅有有限个间断点。

黎曼函数 R(x)：Q∩(0,1) 为 R(x) 所有间断点且为可去间断点。

连续函数的性质

Th. 若 f 在 x0 处连续，g 在 y0=f(x0) 处连续，且 g∘f 在 x0 处的某个邻域有定义，则 g∘f 在 x0 处连续。

limx→x0g(f(x))g连续=g(limx→x0f(x))f连续=g(f(x0))

连续函数的局部性质

  1. 局部有界性

  2. 局部保号性

  3. 四则运算

    若 f,g 在 x0 处连续，则 f±g,f⋅g 在 x0 处均连续。

    进一步，若 g(x0)≠0，则 fg 在 x0 处也连续。

  4. 复合函数连续性

    若 f 在 x0 处连续，g 在 y0=f(x0) 处连续，且 g∘f 在 U(x0) 上有定义，则 g∘f 在 x0 处连续。

连续函数的基本性质

  1. 有界性定理

    若 f 在 [a,b] 上连续，则 f 在 [a,b] 上有界。

    证明：反证法，假设 f 在 [a,b] 上无界，不妨设 f 在 [a,b] 上无上界。

    f 在 [a,b] 上有上界 ⇔∃M>0,∀x∈[a,b],s.t.f(x)≤M。

    f 在 [a,b] 上无上界 ⇔∀M>0,∃x∈[a,b],s.t.f(x)>M。特别地，∀n∈Z+,∃xn∈[a,b],s.t.f(xn)>n(∗)。

    因为数列 {xn} 中每一项均在 [a,b] 中，所以 {xn} 有界。

    由致密性定理知，存在 {xn} 的一个收敛子列 {xnk}，不妨设其极限为 x0。

    又因为 ∀k∈Z+,a≤xnk≤b，所以 a≤limk→+∞xnk≤b⇒x0∈[a,b]，不妨设 x0∈(a,b)（右连续左连续的要单独讨论）。

    由题意知 f 在 x0 上连续，故有 limk→+∞f(xnk)=f(x0)∈R，又由 (∗) 知limk→+∞f(xnk)=+∞，矛盾。

  2. 最值定理

    若 f 在 [a,b] 上连续，则 f 在 [a,b] 上可取到最大值和最小值，即 ∃x1∈[a,b],s.t.f(x1)=supf([a,b])，∃x2∈[a,b],s.t.f(x2)=inff([a,b])。

    证明：由 1 和确界定理可设 f([a,b]) 上确界为 α，下证 ∃x1∈[a,b],s.t.f(x1)=α。

    用反证法，假设 ∀x∈[a,b]，均有 f(x)<α，令 g(x)=1α−f(x),x∈[a,b]，有 ∀x∈[a,b],g(x)>0 且 g(x) 连续。

    由有界性定理知，g 在 [a,b] 上有上界，设为 G>0，于是 ∀x∈[a,b] 有 0<g(x)=1α−f(x)≤G，从而 f(x)≤α−1G,∀x∈[a,b]，矛盾。

  3. 以下两个定理等价

    • 介值定理

      若 f 在 [a,b] 上连续，由此可令 m=minf([a,b]),M=maxf([a,b])，则 ∀μ∈[m,M],∃x0∈[a,b],s.t.f(x0)=μ。

      推论：若 f 在 [a,b] 上连续，则 f([a,b])=[m,M]。

    • 根的存在性定理（零点存在性定理）

      若 f 在 [a,b] 上连续，且 f(a)⋅f(b)<0，则 ∃x∗∈(a,b),s.t.f(x∗)=0。

      证明：不妨设 f(a)<0,f(b)>0。

      令 E={x∈[a,b]|f(x)>0}，因为 b∈E，所以 E≠∅。

      又因为 ∀x∈E，有 a≤x≤b，所以 E 有界，由确界原理得 E 存在上下确界，设 α=infE∈R。

      因为 f(a)<0，又 f 在 a 处右连续，由局部保号性知，∃b−a>δ1>0,∀x∈[a,a+δ1)，有 f(x)<0，所以 α≠a。

      因为 f(b)>0 又 f 在 b 处左连续，所以由局部保号性知，∃δ2>0,∀x∈[b−δ2,b]，有 f(x)>0，所以 α≠b（∵b−δ22∈E,∴b−δ22≥α）。

      下证 f(α)=0，用反证法，假设 f(α)≠0，不妨设 f(α)>0，因为 α∈[a,b]，所以 f 在 α 处连续，于是由连续函数的局部保号性知，∃δ3>0,∀x∈U(α,δ3),f(x)>0，即 U(α,δ3)∈E，与 α=infE 矛盾。当 f(α)<0 时类似的可得出矛盾。

      从而 f(α)=0，令 x∗=α 即得结论成立。

例：设 a>1，n∈Z+，证明方程 xn=a 有唯一正实根。

证：令 f(x)=xn−a,f(0)=−a<0,f(2a)=(2a)n−a≥2n⋅a−a>0……

例（不动点）：设 a,b∈R,a<b，f 在 [a,b] 上连续，且满足 f([a,b])⊆[a,b]，证明：∃x0∈[a,b],s.t.f(x0)=x0，这种 x0 被称为 f 的不动点。

证明：令 g(x)=f(x)−x,x∈[a,b]，g 在 [a,b] 上也连续，且有 g(a)=f(a)−a≥0，若 f(a)=a，令 x0=a 即可，若 f(b)=b，令 x0=b 即可，若 f(a)≠a 且 f(b)≠b，则 g(a)>0,f(b)<0，则……。

反函数连续性定理

（若存在反函数）

设函数 f:[a.b]→f([a,b]) 是连续函数且严格单调（不妨设单增），则 f−1:f([a,b])→[a,b] 一定存在（f 是一个双射），且在 f([a,b]) 上连续，且 f−1 与 f 严格单调性一致。

证明：因为 f 单增以及 f 连续，所以 f([a,b])=[f(a),f(b)]，下面证明 f−1 在 (f(a),f(b)) 上连续（f−1 在 f(a) 处右连续，f(b) 处左连续类似证明）。

任取 y0∈(f(a),f(b)),∃x0∈(a,b),s.t.f(x0)=y0,∀ϵ>0,∃x1∈(a,b),x2∈(a,b),s.t.x1<x0<x2，且 x0−x1<ϵ2,x2−x0<ϵ2，设 f(x1)=y1,f(x2)=y2，由 f 严格单增得：y1<y0<y2，令 δ=min{y0−y1,y2−y0}>0,∀y∈(y0−δ,y0+δ)⊂(y1,y2)，有 x=f−1(y)∈(x1,x2)⇒|x−x0|<ϵ，所以 f−1 在 y0 处连续。

基本初等函数在其定义域内是连续的

  1. f(x)=C

  2. f(x)=sinx,secx,cosx,cscx,tanx,cotx

  3. f(x)=ex

    ea+b=eaeb 由有理数推广到实数。

证明 eαβ=(eα)β，先证 lnxα=αlnx，α∈N⇒α∈Z⇒α∈Q，故 ln(eα)β=βlneα=αβlne。

函数的一致连续性

设 f 在 D 上有定义，若 ∀ϵ>0,∃δ>0,∀x1,x2∈D且|x1−x2|<δ 成立 |f(x1)−f(x2)|<ϵ，则称 f 在 D 上一致连续。

例：f(x)=1x 在 (0,1) 上连续，但不是一致连续。

例：f(x)=x 在 R 上一致连续。

例：f(x)=x2 在 R 上不是一致连续。

​ 证：∃ϵ0=1,∀δ>0,∃N∈Z+,s.t.1N<δ，令 x1=N+1+1N+1∈R,x2=N+1∈R，满足 x1−x2=1N+1<1N<δ，但 |f(x1)−f(x2)|=|2+1(N+1)2|>ϵ0=1。

​ 但是 f(x)=x2 在 [1,2] 上一致连续。

定理：设 f 在区间 I 上有定义，则 f 在 I 上一致连续 ⇔ 在 I 中任取两个数列 {xn},{˜xn}，满足 limn→+∞(xn−˜xn)=0，则 limn→+∞(f(xn)−f(˜xn))=0。

​ 证：⇒ 易证。

​ ⇐：用反证法，假设 f 在 I 上不一致连续，即 ∃ϵ0>0,∀δ>0,∃˜x,˜˜x∈I且|˜x−˜˜x|<δ，成立 |f(˜x)−f(˜˜x)|≥ϵ0，对于每个 δn=1n>0，∃˜xn,~˜xn∈I 且 |˜xn−~˜xn|<δn，成立 |f(˜xn)−f(˜˜x)|≥ϵ0，取这样的数列即证。

（一致连续性定理）Cantor 定理：设 a,b∈R,a<b，则 f 在 [a,b] 上连续 ⇔ f 在 [a,b] 上一致连续。

例：设 a,b∈R,a<b，f 在 (a,b) 上一致连续 ⇔ limx→a−f(x),limx→b+f(x) 均存在且 f 在 (a,b) 连续。

例（书上例 12）：若 f 在 I1,I2 上都一致连续，且 I1∩I2≠∅，则 f 在 I1∪I2 上一致连续。

（limx→0(1+x)1x=e⇒limx→0ln(1+x)x=1,limx→0ex−1x=1）

（若 f 在 x0 处连续，则 limx→x0f(x)=f(x0)，否则一定不成立）

导数和微分

设 D⊂R 且 D≠∅，x0∈R，若 ∃δ>0，s.t. (x0−δ,x0+δ)⊂D，则称 x0 是 D 的一个内点，D 的所有内点组成的集合j记作 ˚D 或 IntD，称 ˚D 为 D 的内部。

设 y=f(x),x∈I 是一个函数（I 是一个区间），任取 Δx≠0 且 x+Δx∈I，称连接图像上两点的一条直线为曲线 y=f(x),x∈I 的一条割线。若当 Δx→0 时，割线 L割 的极限位置存在，则称极限位置所在的直线为曲线 y=f(x),x∈I 在点 (x0,f(x0)) 处的切线。

从而，切线的斜率 k切=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx（若右侧极限存在）（k切 也可以作 kT），从而切线为 y−f(x0)=kT(x−x0)。

导数

设 f 在 (x0−ρ,x0+ρ)（其中 ρ>0）上有定义，若 limx→x0f(x)−f(x0)x−x0 存在，则称 f 在 x0 处可导，记 limx→x0f(x0)−f(x)x0−x 为 f′(x0)（莱布尼茨：dydx|x=x0=dfdx|x=x0）

设 f 在 [x0,x0+ρ)（其中 ρ>0）上有定义，若 limx→x0+f(x)−f(x0)x−x0 存在，则称 f 在 x0 处右可导，记为 f′+(x0)。

左可导类似。

Th. 若 f 在 x0 处可导，则 f 在 x0 处一定连续。

​ 证明：f 在 x0 处可导 等价于 limx→x0f(x)−f(x0)x−x0=f′(x0)。

⇒limx→x0(f(x)−f(x0)−f′(x0)(x−x0))=0⇒limx→x0(f(x)−f(x0))=0⇒limx→x0f(x)=f(x0)

Th. f 在 x0 处可导 等价于 f 在 x0 处既左可导又右可导且二者相等。

例：求 f(x)=ex 导函数（需要 limx→0ex−1x=1）

例：求 f(x)=xα 导函数。

解：

  1. 若 α=0……

  2. 若 α≠0,∀x∈(0,+∞)，有

    limx→x0xα−xα0x−x0=limx→x0eαlnx−eαlnx0αlnx−αlnx0⋅lnx−lnx0x−x0⋅α=xα⋅x−1⋅α

    其中 limx→x0lnx−lnx0x−x0=limx→x0ln(1+xx0−1)xx0−1×1x0=1x0。

如果存在一个邻域 U(x0) 使得 f 在 U(x0) 上有定义且 ∀x∈U(x0) 有 f(x)≤f(x0)。则称 x0 是 f 的极大值点，f(x0) 称为极大值。（极小值同理）极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值。

费马引理：若 f 在 U(x0) 上有定义且 x0 是 f 的一个极值点，又 f 在 x0 处可导，则 f′(x0)=0。

证明：（极大值点）f′+(x0)≤0,f′−(x0)≥0，又二者相等……。

Th. （导函数的介值定理）（达布（Darboux）定理）设 a,b∈R,a<b，若 f 在 [a,b] 上可导，且 f′+(a)≠f′−(b)，不妨设 f′+(a)<f′−(b)，k∈(f′+(a),f′−(b))，则至少存在一点 x0∈(a,b)，使得 f′(x0)=k。

证：令 F(x)=f(x)−kx，则 F(x) 在 [a,b] 上可导，且 F′+(a)=f′+(a)−k<0,F′−(b)=f′−(b)−k>0⇒∃x1,x2∈(a,b)且x1<x2 使得 F(x1)<F(a),F(x2)<F(b)，因为 F 在 [a,b] 上可导，所以 F 在 [a,b] 上连续。由最值 Th 知，F 在 [a,b] 上取到最小值，即 ∃x∈[a,b] 使得 F(x0)=minF([a,b])，满足 x0≠a,x0≠b，由费马引理知 F′(x0)=0⇒f′(x0)=k。

求导法则：

  1. 四则运算（若 f,g 均在 x0 处可导）

    1. (f±g)′(x0)=f′(x0)±g′(x0)。

    2. (f⋅g)′(x0)=f′(x0)g(x0)+f(x0)g′(x0)。

      limx→x0f(x)g(x)−f(x0)g(x0)x−x0=limx→x0f(x)g(x)−f(x0)g(x)+f(x0)g(x)−f(x0)g(x0)x−x0=limx→x0g(x)⋅f(x)−f(x0)x−x0+limx→x0f(x0)g(x)−g(x0)x−x0=f′(x0)g(x0)+f(x0)g′(x0)

  2. 若 g(x0)≠0

    (fg)′(x0)=f′(x0)g(x0)−f(x0)g′(x0)[g(x0)]2。

反函数求导法则

Th. 设 y=f(x),x∈I（I 是一个区间）与 x=g(y),y∈f(I) 互为反函数，且 f 在 I 上严格单调且处处连续，又设 x0∈˚I 且 f′(x0)≠0，则 g 在 y0=f(x0) 处可导，且 g′(y0)=1f′(x0)。

证：因为 f 在 I 上严格单调且连续，所以由反函数存在连续性 Th 知，g 在 f(I) 上也严格单调且连续。

​ 于是，当 y≠y0 地趋向于 y0 时有 g(y)≠g(y0) 地趋向于 g(y0)。

​ 从而有 limy→y0g(y)−g(y0)y−y0=limy→y01y−y0g(y)−g(y0)=limx→x01f(x)−f(x0)x−x0=1f′(x0)。

已知：(sinx)′x=cosx≠0,x=arcsiny:(−1,1)→(−π2,π2)。

∀x∈(−π2,π2),y=sinx∀y0∈(−1,1),(arcsiny)′y|y=y0=1(sinx)′x|x0=arcsiny0=1cos(arcsiny0)=1√1−sin2(arcsiny0)=1√1−y20

类似地：(arccosy)′y|y=y0=−1√1−y20，(arctany)′y=11+y2，(arccoty)′y=−11+y2。

复合函数求导的链式法则

设 f 在 x0 处可导，g 在 y=f(x0) 处可导，且 g∘f 在 x0 的某个邻域内有定义，则 g∘f 在 x0 处可导，且 (g∘f)′(x0)=g′(f(x0))×f′(x0)。

(g∘f)′(x0)=limx→x0g∘f(x)−g∘f(x0)x−x0=?limx→x0g(f(x))−g(f(x0))f(x)−f(x0)×f(x)−f(x0)x−x0

注意上式标 ? 处不一定成立，因为 f(x)−f(x0)=0 可能成立。

引理

设 f 在 U(x0) 上有定义，则

f 在 x0 上可导 ⇔ ∃ 定义在 U(x0) 上的在 x0 处连续的函数 H(x0)，s.t. ∀x∈U(x0) 有 f(x)−f(x0)=H(x)(x−x0)。

证：

⇒：

H(x)={f′(x0),x=x0f(x)−f(x0)x−x0,x≠x0且x∈U(x0)

⇐ 也显然。

证明链式求导法则

因为 g 在 y0=f(x0) 处可导，

所以 ∃ 一个在 y0 处连续的定义在 y0 的某个邻域上的函数 Φ(y)，使得 g(y)−g(y0)=Φ(y)(y−y0)，且有 Φ(y0)=g′(y0)。

又因为 f 在 x0 上可导，

所以 ∃ 一个在 x0 处连续的定义在 x0 的某个邻域内的函数 H(x)，使得 f(x)−f(x0)=H(x)(x−x0)。

因为 g∘f 在 x0 的某个邻域内有定义，所以可令 y=f(x)，于是可得 g(f(x))−g(f(x0))=Φ(f(x))(f(x)−f(x0))=Φ(f(x))⋅H(x)(x−x0)。

于是又 Φ(f(x))⋅H(x) 在 x0 处连续，故 g∘f 在 x0 处可导且 (g∘f)′(x0)=Φ(f(x0))⋅H(x0)=g′(y0)f′(x0)。

z=g(f(x)),y=f(x)dzdx=dzdy⋅dydx

例

x∈(0,+∞),固定α∈R(xα)′x=(eαlnx)′x=eαlnx⋅(αlnx)′x=xα⋅α⋅1x=αxα−1

(αx)′x=(exlnα)′x=exlnα⋅(xlnα)′x=αxlnα

(logay)′y=1(ax)′x=1axlna=1ylna

对数求导法
例

设 u(x),v(x) 在 (a,b) 上可导，且 ∀x∈(a,b),u(x)>0，令 f(x)=[u(x)]v(x)，求 f′(x),x∈(a,b)。

解：∵∀x∈(a,b),f(x)=[u(x)]v(x)>0,∴lnf(x)=v(x)lnu(x)。

∴f′(x)f(x)=v′(x)lnu(x)+v(x)×u′(x)u(x)。

∴f′(x)=[u(x)]v(x)(v′(x)lnu(x)+u′(x)v(x)u(x))。

特别地，d(xx)dx=xx(lnx+1)。

例

设 f(x)=(x−1)2025(x−4)100(x2+1)120(x2−x+1)1120，求 f′(x),x>4.

解：lnf(x)=2025ln(x−1)+100ln(x−4)−120ln(x2+1)−1120ln(x2−x+1).

f′(x)f(x)=2025x−1+100x−4−240xx2+1−2x−1120(x2−x+1).

例

求

f(x)={x2sin1x,x≠00,x=0

的导函数 f′(x)。

解：当 x≠0 时，f′(x)=2xsin1x+x2cos1x⋅−1x2=2xsin1x−cos1x。

​ 当 x=0 时，f′(0)=limx→0f(x)−f(0)x−0=limx→0x2sin1xx=0。

参变量函数的导数

设 y=y(x) 时由参数方程 {x=φ(t)y=ψ(t),t∈(a,b) 确定的，已知 φ(t),ψ(t) 均在 (a,b) 上可导，又假设 ∀t∈(a,b),φ′(t)≠0，从而有 ∀t∈(a,b),φ(t)>0(或φ(t)<0)，从而知：φ:(a,b)→φ((a,b)) 存在反函数 φ−1:φ((a,b))→(a,b) 且 (φ−1)′(x)=1φ′(x),x=φ(t)（或 t=φ−1(x)）。

从而 y=y(x)=ψ(φ−1(x)),x∈φ((a,b)).

dydx|x=(ψ(φ−1(x)))′x=ψ′(t)⋅(φ−1(x))′x=ψ′(t)φ′(t)|t=φ−1(x)

例：设 a>0,b>0,y=y(x) 由方程 {x=acosty=bsint,t∈(0,π) 确定。

（x2a2+y2b2=1⇒y=b√1−x2a2=ba√a2−x2,−a<x<a）

dydx=dy/dtdx/dt=bcost−asint=−baxa⋅1a√a2−x2=−bxa√a2−x2

若平面曲线 C 的极坐标方程 r=r(θ),θ∈(α,β),0≤α<β≤2π。

{x=r(θ)cosθ,y=r(θ)sinθ,θ∈(α,β)

求 C 上 (r(θ0)cosθ0,r(θ0)sinθ0) 的导数。

dydx=dy/dθdx/dθ=r′(θ)sinθ+r(θ)cosθr′(θ)cosθ−r(θ)sinθ

高阶导数

只说可导，只认为一阶可导。

二阶导数：设 y=f(x) 在 (x0−δ,x0+δ) 上（一阶）可导，若 limx→x0f′(x)−f′(x0)x−x0 存在，则称 f 在 x0 处二节可导，记作 f″(x) 或 f(2)(x)。

（f(0)(x) 只是记号，事实上导数从一阶开始）

(n+1) 阶可导：类似二阶导数定义。记作 f(n+1)(x0) 或 dn+1ydxn+1。

f(x)=ex 的 n 阶导数 f(n)(x)=ex。

f(x)=sin(x) 的 n 阶导数 f(n)(x)=sin(x+n2π)。

四则运算

设 u(x),v(x) 在 (a,b) 上 n 阶可导。

  1. (u(x)±v(x))(n)=u(n)(x)±v(n)(x)。
  2. (u(x)⋅v(x))(n)=∑nk=0(nk)u(n−k)(x)vk(x)（莱布尼兹公式，归纳证明）。

设 y=y(x) 时由参数方程 {x=φ(x)y=ψ(x),t∈(a,b) 确定，∀x∈(a,b),φ′(t)≠0，φ(x) 在 (a,b) 上二阶可导，求 d2ydx2.

d2ydx2=d(dydx)dx=d(dydx)/dtdx/dt=(ψ′(t)φ′(t))′tφ′(t)=ψ″(t)φ′(t)−ψ′(t)φ″(t)(φ′(t))3

微分

定义：设 y=f(x) 在 x0 的某个邻域 (x0−δ,x0+δ) 内有定义（其中 δ 是常数）.

若 ∃ 常数 a∈R，使得

Δy|x0=f(x+Δx)−f(x)=a⋅Δx+o(Δx),Δx→0

则称 f 在 x0 处可微。称 a⋅Δx 为 f 在 x0 处的微分，记作 dy|x=x0 或 df|x=x0。

Th. f 在 x0 处可导 ⇔ f 在 x0 处可微，进一步有 a=f′(x0)。

证：

  • ⇒ 设 f 在 x0 处可导，则 f′(x0)∈R.

    由导数定义知

    f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx⇒limΔx→0f(x0+Δx)−f(x)−f′(x0)⋅ΔxΔx=0⇒f(x0+Δx)−f(x0)−f′(x0)⋅Δx=o(Δx),Δx→0

    令 a=f′(x0) 即得 f 在 x0 处可微.

  • ⇐

    f(x0+Δx)−f(x0)=a⋅Δx+o(Δx),Δx→0Δx≠0,f(x0+Δx)−f(x0)−a⋅ΔxΔx=o(1),Δx→0⇒limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx=a∈R

    因此 f 在 x0 处可导且 f′(x0)=a.

微分中值定理及其应用

（设 a,b∈R,a<b）

Rolle Th.

若 f 在 [a,b] 连续，f 在 (a,b) 可导，且 f(a)=f(b)，则至少存在一点 x0∈(a,b)，s.t. f′(x0)=0。

证明：因为连续，由最值定理知，存在 x1,x2∈[a,b]，使得 ∀x∈[a,b]，有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)。

  1. 若 f(x1)=f(x2)，则 f 为常值函数，任取 x0∈(a,b)，结论成立。

  2. 若 f(x1)<f(x2)，由于 f(a)=f(b)，故 x1 和 x2 中至少有一个属于 (a,b)，不妨设 x1∈(a,b)，又由 f 在 (a,b) 上可导得 f 在 x1 处可导。

    由费马引理及 x1 为 f 的极小值点知由 f′(x1)=0，令 x0=x1 结论成立。

例：设 f 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：∀α∈R,∃ζ∈(a,b),s.t.αf(ζ)=f′(ζ)

证：∀α∈R，构造函数 F(x)=f(x)⋅e−αx,x∈[a,b]，则

​ F(a)=F(b)=0，又 F 在 [a,b] 连续，在 (a,b) 可导

​ 又 F′(x)=f′(x)e−αx−αf(x)e−αx，

​ 由 Rolle Th 知，∃x0∈(a,b),s.t.F′(x0)=0，

​ 即 f′(x0)=αf(x0)，令 ζ=x0 即得结论成立。

Lagrange Mean-Value Th

（拉格朗日中值定理）

设 f 在 [a,b] 上连续，f 在 (a,b) 上可导，则 ∃ 一点 x0∈(a,b)，使得 f′(x0)=f(b)−f(a)b−a。

证：构造辅助函数

F(x)=f(x)−f(a)−f(b)−f(a)b−a(x−a),x∈[a,b]

​ 有 F(a)=F(b)，F 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 上可导。

​ 由 Rolle Th 知，∃x0∈(a,b),s.t.F′(x0)=0.

​ 又 F′(x)=f′(x)−f(b)−f(a)b−a，把 x0 代入得

f′(x0)=f(b)−f(a)b−a

推论

  1. 若 ∀x∈(a,b)，有 f′(x)=0，则有 ∀x∈(a,b),f(x)=f(a+b2).

  2. 若 ∀x∈(a,b)，有 f′(x)=g′(x)，则有 ∀x∈(a,b),f(x)−g(x)=f(a+b2)−g(a+b2).

  3. （导数极限 Th）x0∈R，设 f 在 U(x0) 上连续，f 在 ˚U(x0) 上可导，且 limx→x0f′(x) 存在，则 f 在 x0 处可导且 f′(x0)=limx→x0f′(x)。

    证：不妨设 U(x0)=(x0−ρ,x0+ρ)，其中 ρ>0 为常数，˚U(x0)=U(x0)−{x0}。

    ​ 任取 x∈(x0,x0+ρ)，考虑 f 在区间 [x0,x] 上连续，在 (x0,x) 上可导，

    ​ 由 Lagrange Mean-Value Th 知，∃ζx∈(x0,x)，使得 f(x)−f(x0)x−x0=f′(ζx)，

    ​ 当 x→x0+ 时，ζx→x0+，于是有

    limx→x0+f(x)−f(x0)x−x0=limx→x0+f′(ζx)=limt→x0+f′(t)(ζx=t)=limx→x0+f′(x)

    ​ 同理可证 x→x0− 时。

    ​ 故 f′(x0)=limx→x0+f′(x)=limx→x0−f′(x)=limx→x0f′(x)。

Cauchy Mean-Value Th

（柯西中值定理）

设 f,g 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，

（有点像是 x=f(t),y=g(t) 这个图形上的 Lagrange 中值定理（？））

且 ∀x∈(a,b),[f′(x)]2+[g′(x)]2≠0 且 g(a)≠g(b)（这个条件可以换成 ∀x∈(a,b),g′(x)≠0)，

则至少存在 x0∈(a,b) 使得 f′(x0)g′(x0)=f(b)−f(a)g(b)−g(a)。

证：令 F(x)=f(x)−f(a)−f(b)−f(a)g(b)−g(a)(g(x)−g(a)),x∈[a,b].

​ F(a)=0=F(b)，F 在 [a,b] 连续，在 (a,b) 可导.

​ 由 Rolle Th 知，∃x0∈(a,b)，使得 F′(x0)=0.

​ 又 F′(x)=f′(x)−f(b)−f(a)g(b)−g(a)g′(x)

​ 所以 f′(x0)=f(b)−f(a)g(b)−g(a)g′(x0).（此时 g(x0) 一定不为 0）

​ 所以 f′(x0)g′(x0)=f(b)−f(a)g(b)−g(a)。

例. 证明：∀h>−1,h≠0 有 h1+h<ln(1+h)<h。

证：设 f(x)=lnx，ln(1+h)=f(1+h)−f(1)=f(1+θh)(1+h−1)=h1+θh（θ∈(0,1)）

  1. 当 h>0 时，有

    1<1+θh<1+h⇒11+h<11+θh<1⇒h1+h<h1+θh<h⇒h1+h<ln(1+h)<h

  2. 当 −1<h<0 时，有

    0<1+h<1+θh<1⇒1<11+θh<11+h⇒h1+h<h1+θh<h⇒h1+h<ln(1+h)<h

函数单调性

Th. 设 f 在区间 I 上可导，则 f 单增 ⇔ ∀x∈˚I 有 f′(x)≥0.（单减同理）

证：⇒：∀x0∈˚I,f′(x0)=f′+(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0≥0.

​ ⇐：∀x1,x2∈I，不妨设 x1<x2，

f(x2)−f(x1)=f′(x1+θ(x2−x1))(x2−x1)≥0⇒f(x2)≥f(x1)

Th. 设 f 在 (a,b) 上可导，则 f↑（严格单增）⇔ ∀x∈(a,b),f′(x)≥0，且不存在 (α,β)⊆(a,b)，使得 ∀x∈(α,β) 有 f′(x)=0.（严格单减类似）

不定式极限（未定式）

00,∞∞,0⋅∞,1∞,0+0,+∞0,+∞−(+∞),−∞−(−∞)（这里都是趋近于，但是 00=1 这个式子中是真的等于 0）（中间几种通常是指数、对数处理，后面两种可能要分子有理化、通分之类的）

  1. “00” 型洛必达（L'Hospital）法则

    设 x0∈R，f,g 在 (x0,x0+ρ)（ρ>0 为常数）内可导，且满足：

    1. limx→x0+f(x)=0=limx→x0+g(x);
    2. ∀x∈(x0,x0+ρ),g′(x)≠0;
    3. limx→x0+f′(x)g′(x)=a(∈R或a=+∞或−∞或∞);

    则 limx→x0+f(x)g(x)=a.

    证：令

    ˜f(x)={f(x),x∈(x0,x0+ρ)0,x=x0˜g(x)={g(x),x∈(x0,x0+ρ)0,x=x0

    ​ 则 ˜f,˜g，在 [x0,x0+ρ) 上连续，˜f,˜g 在 (x0,x0+ρ) 上可导，∀t∈(x0,x0+ρ),˜g′(t)=g′(t)≠0.

    ​ 任取 x∈(x0,x0+ρ)，对 ˜f,˜g 在区间 [x0,x] 上用 Cauchy 中值定理得

    ∃ζx∈(x0,x),s.t.˜f′(ζx)˜g′(ζx)=˜f(x)−˜f(x0)˜g(x)−˜g(x0)=f(x)g(x)

    ​ 又当 x→x0 时，ζx→x0+，故 limx→x0+f(x)g(x)=limx→x0+f′(x)g′(x).

    例：limx→π1+cosxtan2x.

    limx→π1+cosxtan2x=limx→π−sinx2(tanx)sec2x=limx→π(−12)cos3x=12

    例：limx→0x−sinxx3

    limx→0x−sinxx3=limx→01−cosx3x2=limx→0sinx6x=16

    例：limx→0+√x1−e√x.

    ​ 这道题最好不用洛必达法则，因为极限 limx→0ex−1x 不是这么推的.

  2. ∗∞ 型洛必达法则

    设 x0∈R，函数 f 和 g 满足：

    1. ∃δ>0,f,g 在 (x0,x0+δ) 上可导且 ∀x∈(x0,x0+δ),g′(x)≠0;
    2. limx→x0+g(x)=∞（或 +∞ 或 −∞）;
    3. limx→x0+f′(x)g′(x)=a(a∈R或+∞或−∞或∞);

    则 limx→x0+f(x)g(x)=a。

    证：仅证当 a∈R 时的情形：

    ​ 由#3得，∀ϵ>0,∃x1∈(x0,x0+δ),∀x∈(x0,x1)，有

    |f′(x)g′(x)−a|<ϵ3

    ​ 任意取定 x∈(x0,x1)，由已知条件#1知 f,g 在 [x,x1] 上满足 Cauchy 中值定理的条件，故有

    ∃ζx∈(x,x1),s.t.f′(ζx)g′(ζx)=f(x1)−f(x)g(x1)−g(x)

    ​ 从而有

    |f(x1)−f(x)g(x1)−g(x)−a|<ϵ3

    ​ 又

    |f(x)g(x)−a|=|f(x)−a⋅g(x)g(x)|=|f(x)−f(x1)−a(g(x)−g(x1))+f(x1)−a⋅g(x1)g(x)|≤|f(x)−f(x1)−a(g(x)−g(x1))g(x)−g(x1)|⋅|g(x)−g(x1)g(x)|+|f(x1)−a⋅g(x1)g(x)|=|f(x)−f(x1)g(x)−g(x1)−a|⋅|g(x)−g(x1)g(x)|+|f(x1)−a⋅g(x1)g(x)|

    ​ 由条件#2知，limx→x0+g(x)−g(x1)g(x)=1,limx→x0+f(x1)−a⋅g(x1)g(x)=0，

    ​ 故 ∃x2∈(x0,x1),s.t.∀x∈(x0,x2) 有 |g(x)−g(x1)g(x)|≤32，且 |f(x1)−a⋅g(x1)g(x)|<ϵ3，

    ​ 总之有 ∀ϵ>0,∃˜δ=x2−x0>0,∀x∈(x0,x0+˜δ) 有 |f(x)g(x)−a|<ϵ，于是……

例

  1. limx→0ex−e−xln(e−x)+x−1=limx→0ex+e−x−1e−x+1=2e1−e.

  2. limx→0(1+x)1x−ex=limx→0(1+x)1x⋅x1+x−ln(1+x)x21=e⋅limx→0x−(1+x)ln(1+x)x2(1+x)=e⋅limx→01−1−ln(1+x)2x+3x2=−e⋅limx→011+x2+6x=−e2

  3. 求 limn→+∞lnnn=0.（先求 x 的，再用海涅定理）

  4. 设 μ>0 为常数，求 limx→0+xμ1lnx.

    limx→0+xμ1lnx=limx→0+lnxx−μ=limx→0+1x−μx−μ−1=limx→0+xμ−μ=0

  5. 设 μ>0,a>1 常数，求 limx→+∞xμax（一直求导，答案 0）。

  6. limx→+∞ex+e−xex−e−x=1;

  7. limx→0(1x2−cos2xsin2x)=limx→0sin2x−x2cos2xx2sin2x⋅sin2xx2=limx→0sinx+xcosxx⋅sinx−xcosxx3=2limx→0cosx−cosx+xsinx3x2=23

  8. limx→0(cosx)1x2=limx→0(1+cosx−1)1cosx−1⋅cosx−1x2=e−12

  9. limx→0+(1x)tanx=limx→0+etanxln1x=elimx→0+tanx⋅(−lnx)=elimx→0+tanxx⋅(−xlnx)=e0=1

  10. limx→0+xx=limx→0+exlnx=e0=1

例

f(x)={g(x)x,x≠00,x=0

g(0)=g′(0)=0,g″(0)=3，求 f′(0).

解：

f′(0)=limx→0f(x)−f(0)x=limx→0g(x)x2=limx→0g′(x)2x=12limx→0g′(x)−g(0)x−0=32

注意，有 g″(0) 说明 g 在 U(0) 内可导，但是不能保证二阶可导，故只能用一次洛必达。

泰勒公式

设 f 在 x0 处可导，f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx，f(x0+Δx)−[f(x0)+Δxf′(x0)]=o(Δx),Δx→0.

设 f 在 x0 处 n 阶可导（接下来都有），

令 Tn(x)=∑ni=0f(i)(x0)i!(x−x0)i，约定 00=1,0!=1.

称 Tn(x) 为 f 在 x0 处的（n 阶）Taylor 多项式（函数）。

∀x∈U(x0)，令 Rn(x)=f(x)−Tn(x)，称公式 f(x)=Tn(x)+Rn(x) 为 Taylor 公式，称 Rn(x) 为泰勒公式的余项。

命题：（带 Peano（佩亚诺）型余项的 Taylor 定理）

​ 设 f 在 x0 处 n 阶可导，则有 Rn(x)=o((x−x0)n),x→x0.

证：

∀m=0,1,2,…,n−1(Rn(x))(m)=f(m)(x)−(Tn(x))(m)=f(m)(x)−n∑k=mf(k)(x0)(k−m)!(x−x0)k−m(Rn(x))(m)(x0)=f(m)(x0)−f(m)(x0)=0

limx→x0Rn(x)(x−x0)n=limx→x0(Rn(x))′xn(x−x0)n−1=limx→x0(Rn(x))(n−1)(x)n!(x−x0)=limx→x0f(n−1)(x)−f(n−1)(x0)−f(n)(x−x0)n!(x−x0)=1n!limx→x0(f(n−1)(x)−f(n−1)(x0)x−x0−f(n)(x0))=1n!⋅0=0

注意：即使 f(x) 可以写成 f(x)=pn(x)+o((x−x0)n),x→x0（其中 pn(x) 为 n 阶多项式），这也不意味着 pn(x) 就是 f(x) 的 Taylor 多项式。

特别地，称 x0=0 时的 Taylor 公式为 Maclaurin 公式（麦克劳林公式）。

几个初等函数的 Maclaurin 公式
  1. ex=∑nk=01k!xk+o(xn),x→0.
  2. sinx=∑nk=0(−1)k(2k+1)!x2k+1+o(x2n+1),x→0（也可以写成 ⋯+o(x2n+2)）.
  3. cosx=∑nk=0(−1)k(2k)!x2k+o(x2n+1),x→0.
  4. ln(1+x)=∑nk=1(−1)k−1xkk+o(xn),x→0（ln(1+x),(1+x)α 不是基本初等函数，只是初等函数）.
  5. (1+x)α=1+∑nk=1α(α−1)…(α−k+1)k!xk+o(xn),x→0，其中 α∈R−N.
  6. 11−x=∑nk=0xk+o(xn),x→0.
带 Lagrange 型余项和带 Cauchy 型余项的 Taylor 定理

重要

设 n∈Z+，设 f 在区间 I 上有连续的 n 阶导函数，在 ˚I 有 n+1 阶导函数，取定 x0∈˚I，并设 ∀x∈I,Rn(x)=f(x)−Tn(x)，其中 Tn(x)=∑nk=0f(k)(x0)k!(x−x0)k，

当 x≠x0 时，记 I=[x,x0](或[x0,x])，

设 G(t) 在 Ix 上连续，在 ˚Ix 上可导，且 ∀t∈˚Ix,G′(t)≠0.

则 ∃ζ∈˚Ix，使得

Rn(x)=f(n+1)(ζ)n!G′(ζ)(x−ζ)n[G(x)−G(x0)]

证：令 F(t)=f(t)+∑nk=1f(k)(t)k!(x−t)k,t∈I.

​ 则 F(t) 在 I 上连续，在 ˚I 内可导，且当 t∈˚I 时，

F′(t)=f′(t)+n∑k=1[f(k+1)(t)k!(x−t)k−f(k)(t)(k−1)!⋅(x−t)k−1]=f(n+1)(t)n!(x−t)n

​ 对 F(t),G(t) 在 Ix 上应用 Cauchy Mean-Value Th. 得：

​ ∃ζ∈˚Ix 使得

F′(ζ)G′(ζ)=F(x)−F(x0)G(x)−G(x0)=f(x)−Tn(x)G(x)−G(x0)⇒Rn(x)=F′(ζ)G′(ζ)⋅[G(x)−G(x0)]=f(n+1)(ζ)n!G′(ζ)⋅(x−ζ)n[G(x)−G(x0)]

  1. Lagrange 型

    令 G(t)=(x−t)n+1，G′(t)=−(n+1)(x−t)n≠0(∀t∈(x0,x)或(x,x0))，

    Rn(x)=f(n+1)(ζ)n!(−1)(n+1)(x−ζ)n(x−ζ)n⋅[0−(x−x0)n+1]=f(n+1)(ζ)(n+1)!(x−x0)n+1

  2. Cauchy 型

    令 G(t)=x−t,G′(t)=−1.

    Rn(x)=f(n+1)(ζ)n!(x−ζ)n(x−x0).

证明：e 不是有理数.

证：

∵ex=1+x1!+x22!+⋯+xnn!+eθxx(n+1)!xn+1,θx∈(0,1).∴当x=1时有e=1+11!+12!+⋯+1n!+eθ1,n(n+1)!,θ1,n∈(0,1)

​ 因为 2<e<3，所以 1<eθ1,n<3.

​ 反证法，假设 e 是有理数，设 e=pq;p,q∈Z+;(p,q)=1，则

pq−(1+11!+12!+⋯+1q!)=eθ1,q(q+1)!p⋅(q−1)!−(1+11!+12!+⋯+1q!)q!=eθ1,qq+1<1(q≥2)

​ 不可能成立（左侧为整数，右侧为真分数）。

函数的极值与最值

极值点的怀疑对象：不可导点，驻点。

最值点的怀疑对象：不可导点，驻点，两个端点

f:[a,b]→R 连续（a,b∈R,a<b）.

命题：（极值的第一充分条件）若 f 在 ˚U(x0) 上可导，在 x0 处连续，则有

  1. 若 ∃δ>0,∀x∈(x0−δ,x0),f′(x)≤0，且 ∀x∈(x0,x0+δ),f′(x)≥0，则 x0 必为 f 的极小值点；
  2. （极大值点类似#1）；
  3. 若 ∃δ>0,∀x∈(x0−δ,x0)∪(x0,x0+δ),f′(x)<(>)0，则 x0 必不是 f 的极值点；

命题：（极值的第二充分条件）设 f 在 U(x0) 内一阶可导，且 f′(x0)=0，且 f″(x0)≠0，则有

  1. 若 f″(x0)>0，则 x0 必为 f 的极小值点（例：f(x)=x2）；
  2. 若 f″(x0)<0，则 x0 必为 f 的极大值点（例：f(x)=−x2）；

证：

  1. 用带有 Peano 型余项的 Taylor 公式，得：

    f(x)−f(x0)=f″(x0)2!(x−x0)2+o((x−x0)2),x→x0=(x−x0)2(f″(x0)2+o(1)),x→x0

    ∵limx→x0o(1)=0，又 f″(x)>0，

    ∴ 对于 ϵ=f″(x0)4>0，存在 δ>0，∀x∈˚U(x0,δ)，有 |o(1)|<ϵ=f″(x0)4，

    ∴0<f″(x0)4<f″(x0)2+o(1)<3f″(x0)4，从而 f(x)−f(x0)≥0,∀x∈U(x0,δ).

  2. 类似#1

该方法可以推广至 n−1 阶可导，且 f(k)(x0)=0,∀k∈[1,n−1],f(n)≠0 时，为极值等价于 n 为偶数（极值的第三充分条件）.

例：求 f(x)=x4−2x2 的所有极值.

解：f′(x)=4x3−4x=0⇒x1=0,x2=1,x3=−1.

f″(x)=12x4−4.

f″(x1)=−4<0⇒f(0)=0 是极大值……

例：任意取定 p>1，证明不等式：∀x∈[0,1] 有 21−p<xp+(1−x)p≤1.

证：令 f(x)=xp+(1−x)p,x∈[0,1].

​ ∀x∈(0,1),f′(x)=pxp−1−p(1−x)p−1，由 f′(x)=0⇒x=12.

​ f(0)=f(1)=1,f(12)=21−p<1.（然后下结论）

函数的凹凸性与拐点

定义：设 f:I→R 是一个函数，其中 I 是一个区间. 若 ∀x1,x2∈I,x1≠x2,∀λ∈(0,1) 成立 f(λx1+(1−λ)x2)≤(≥)λf(x1)+(1−λ)f(x2)，则称 f 在 I 上凸（凹）或称 f 为 I 上的凸（凹）函数；如果去掉上式的等号，则为严格凸（凹）函数.

命题：若 f 是 I 上的凸函数，则 −f 是 I 上凹函数。

命题：f 在 I 上凹 ⇔∀x1,x2,x3∈I,x1<x2<x3，有 f(x2)−f(x1)x2−x1≤f(x3)−f(x1)x3−x1≤f(x3)−f(x2)x3−x2.（用定义证明）

证明：令 λ=x3−x2x3−x1，则 x2=λx1+(1−λ)x3，f(x2)≤λf(x1)+(1−λ)f(x3)，故 (x3−x1)f(x2)≤(x3−x2)f(x1)+(x2−x1)f(x3)，凑一下即可。

命题：设 f 在开区间 I 上可导，则下述三个论述等价：

  1. f 在 I 上凸；
  2. f′ 单增；
  3. ∀x1,x2∈I 且 x1≠x2，有 f(x2)≥f(x1)+f′(x1)(x2−x1)；

证明可以 1⇒2⇒3⇒1.

1⇒2：f(x1)−f(x1−h)h≤f(x2)−f(x1)x2−x1≤f(x2+h)−f(x2)h（h>0），然后取极限即可。

2⇒3：Lagrange 中值定理

3⇒1：再找 x3，然后凑 λ.

命题：若 f 在开区间 I 上二阶可导，则 f 在 I 上凸 ⇔∀x∈I,f″(x)≥0.

命题：若 f 在开区间 I 上二阶可导，且 ∀x∈I,f′(x)>0，则 f 在 I 上严格可导。

Jensen 不等式（琴生不等式）

设 n∈Z+−{1},a,b∈R,a<b，f 是 [a,b] 上的凸函数，则 ∀xi∈[a,b],λi>0 且 ∑ni=1λi=1（i=1,2,…,n），有下述 Jensen 不等式成立：

f(n∑i=1λixi)≤n∑i=1λif(xi)

证：n=2 时，由凸函数定义知基础成立。

​ 假设 n=k 时结论成立，看 n=k+1 时，∀x1,x2,…,xk,xk+1∈[a,b],λ1,λ2,…,λk+1∈(0,1) 且 ∑k+1i=1λi=1，则 ∑ki=1λi1−λk+1=1.

​ ∀i=1,…,k，令 αi=λi1−λk+1∈(0,1)，有 ∑ki=1αi=1.

f(k+1∑i=1λixi)=f((1−λk+1)k∑i=1λi1−λk+1xi+λk+1xk+1)≤(1−λk+1)f(k∑i=1αixi)+λk+1f(xk+1)

​ 再用 n=k 的归纳假设即可。

例：用 f(x)=−lnx 证明算术平均大于几何平均。

拐点

严格凹凸性发生改变&连续（但是考试还是认为有一条穿过曲线的切线）

命题：设 f 在区间 I 上有定义，x0∈I，则 ∀x∈I,x≠x0，令 g(x)=f(x)−f(x0)x−x0，若 f 在 I 上凸，则 g 在 I−{x0} 上单增。

画函数 y=f(x),x∈Df 的草图

  1. 确定函数定义域 Df.
  2. 考察函数的奇偶性、周期性.
  3. 求函数图像上一些特殊点，例如与坐标轴的焦点，不连续点、不可导点等.
  4. 确定函数的单调区间及极值点、确定函数的凹凸区间和拐点.
  5. 求渐近线.
  6. 画草图.

例：作函数 y=f(x)=x(x2−1)13 的草图.

解：

  1. 定义域 Df=R−{±1}.

  2. f(−x)=−x(x2−1)13=−f(x)，所以 f 为奇函数，非周期.

  3. f(0)=0，图像上过坐标轴的交点为 (0,0)，不连续点位 x=±1.

  4. f′(x)=x2−33(x2−1)43,x∈R−{±1}f″(x)=2x(9−x2)9(x2−1)73,x∈R−{±1}

    所以 f′(x)=0⇒x=±√3,f″(x)=0⇒x=0,±3

  5. 渐近线：x=1,x=−1.

  6. x 0 (0,1) 1 (1,√3) √3 (√3,3) 3 (3,+∞)
    f(x) 0 − 间断点 + √33√2˙=1.37 + 1.5 +
    f′(x) − − 不存在 − 0 + + +
    f″(x) 0 − 不存在 + + + 0 −
    图形特征 拐点 单减，凹 间断点 单减，凸 极小值点 单增，凸 拐点 单增，凹

  7. 2024-11-19 104823.png

实数的完备性定理

（阿基米德性质）

  1. 确界原理
  2. 单调有界定理
  3. 闭区间套定理
  4. 有限覆盖定理（Heine-Borel)
  5. 致密性定理（Bolzano-Weierstrass）（任意有界数列必有收敛子列）
  6. 聚点定理
  7. 数列的柯西收敛准则

已证：1⇒2⇒5⇒7.

#3. 闭区间套定理

设有两个实数列 {an},{bn}，满足

  1. ∀n∈Z+,[an+1,bn+1]⊂[an,bn].
  2. limn→+∞(bn−an)=0.

则 ∃!ζ∈R s.t. ∀n∈Z+,ζ∈[an,bn].（即 {ζ}=⋂+∞n=1[an,bN]）

进一步地有：limn→+∞bn=limn→+∞an=ζ.

证：

先证存在性，由 #2 推 #3。

∵∀n∈Z+,an≤an+1≤bn+1≤bn.

∴∀n∈Z+，有 a1≤an≤an+1≤bn+1≤bn≤b1.

于是 {an} 有上界 b1，{bn} 单调递减有下界 a1.

从而 {an},{bn} 收敛，设 limn→+∞an=ζ，由条件 2 可知 limn→+∞bn=ζ.

任意取 n∈Z+，则 ∀p∈Z+，有 an≤an+p,bn≥bn+p.

令 p→+∞ 得：an≤ζ=limp→+∞an+p,bn≥ζ=limp→+∞bn+p.

即有 ζ∈[an,bn].

再证唯一性，假设∃η≠ζ s.t. ∀n∈Z+,ζ∈[an,bn],η∈[an,bn]⇒|ζ−η|≤bn−an，令 n→+∞ 得：|ζ−η|=0，与假设矛盾.

注意：开区间结论不成立，例：(0,1n).

#4 有限覆盖定理

设 Λ 是一个指标集，在 Λ 中任取一个指标 λ，设 Oλ 是 R 的一个开区间，称 {Oλ|λ∈Λ} 为一族开区间.

设 D 是 R 的一个非空子集，若 ∀x∈D,∃λ∈Λ, s.t. x∈Oλ，则称开区间族 {Oλ|λ∈Λ} 为 D 的一个开（区间）覆盖（即 D⊂⋃λ∈ΛOλ）.

设 a,b∈R,a<b，若 H={Oλ,λ∈Λ} 是 [a,b] 的一个开覆盖，则可以从 H 中取出有限多个 λ1,λ2,…,λn(n∈Z+)，使得 [a,b]⊂⋃nk=1Oλk.

证：由 #3 推 #4.（用反正法）

假设结论不成立，即不能用 H 中有限多个开区间覆盖 [a,b].

将 [a,b] 二等分，则其中至少有一个不能用 H 中的有限多个开区间盖住……一直二等分，形成闭区间套。由闭区间套定理，∃!ζ∈R，满足 ζ∈[an,bn]∀n∈Z+。

又 ∃H 中的一个开区间 (α,β) s.t. ζ∈(α,β)，令 ϵ=min{ζ−α,β−ζ}>0，∃N1∈Z+,∀n>N1,|an−ζ|<ϵ2，∃N2∈Z+,∀n>N2,|bn−ζ|<ϵ2，故 ∃N=N1+N2∈Z+ s.t. [aN,bN]⊂(α,β)，与假设矛盾。

注意：覆盖开区间不一定成立，例如：{(1n+2,1n)|n∈Z+} 覆盖 (0,1)。

#6 聚点定理

  1. 定义：设 S 是 R 的一个非空子集.

    x0∈R，若 ∀ϵ>0,(x0−ϵ,x0+ϵ)∩S 是一个无限集.

    则称 x0 是 S 的一个聚点.

  2. 定义：设 S 是 R 的一个非空子集.

    x0∈R，若 ∀ϵ>0,[(x0−ϵ,x0)∪(x0,x0+ϵ)]∩S≠∅，则称 x0 是 S 的一个聚点.

  3. 定义：设 S 是 R 的一个非空子集，x0∈R，若 ∃S 中的一个两两不同的数列 {xn} s.t. limn→+∞xn=x0，则称 x0 是 S 的一个聚点（极值点）.

上述三条定义等价。

聚点定理：（Weiertrass）R 的任意一个有界的无限子集必有聚点。

证：由 #5 推 #6.

设 R 的这个有界无限子集为 S，从 S 中可取出一个两两不同的数列 {xn}，s.t. {xn|n∈Z+}⊂S.

因为 S 有界，所以 {xn} 也有界 ，所以由致密性 Th 知，{xn} 存在一个收敛子列.

设此子列为 {xnk} 且 limk→+∞xnk=x0∈R，由定义知，x0 是 f 的一个聚点.

证：由 #6 推 #7.

{xn} 收敛 ⇔ {xn} 为柯西列。

⇒ 易证。

⇐：柯西列有界，所以 {xn} 有界。

  1. 若 {xn|n∈Z+} 是有限集，由 {xn} 为柯西列知，∃N∈Z+,s.t.∀p∈Z+，有 xN+p=xN.

  2. 若 {xn|n∈Z+} 不是有限集，由聚点定理知，{xn|n∈Z+} 存在一个聚点 ζ∈R.

    故有 ∃n0>N，使得 xn0∈(ζ−ϵ2,ζ+ϵ2)，从而有

    当 n>N 时，

    |xn−ζ|=|xn−xn0+xn0−ζ|≤|xn−x0|+|xn−ζ|<ϵ2+ϵ2=ϵ

得证

书上 P154 例三由 #7 推 #1.

证：由 #4 推 #1

设 S⊂R 且 S≠∅，且 S 有上界 M.

任取 x0∈S，若 x0=M，则 x0=supS.

下设 x0<M，且 x0 不是 S 的上界（否则 x0 为上确界），考察区间 [x0,M].

下用反证法证明 S 存在上确界.

假设 S 没有上确界，那么任取 x∈[x0,M]，有：

  1. 若 x 是 S 的上界，必有更小的上界 x1<x，则 ∃ 包含 x 的一个开区间 Ox 使得 Ox 中的每个点都是 S 的上界（例如取 Ox=(x−x−x12,x+x−x12)）
  2. 若 x 不是 S 的上界，必 ∃x2∈S 使得 x2>x，于是 ∃ 一个包含 x 的开区间 Ox 使得 Ox 中的每个点都不是 S 的上界，

令 H={Ox|x∈[x0,M]}，则 H 是 [x0,M] 的一个开覆盖。

由 #4（有限覆盖 Th）得，在 H 中可取到 x3.x4,…,xk∈[x0,M]，(k≥3,k∈Z,k为某个确定的数)，使得 [x0,M]⊂⋃ki=3Oxi，（如果有区间被其他的区间覆盖就不取），相邻的会有交，会有 x 同时属于是和不是上界的区间，矛盾.

由此，S 存在上确界.

证：由 #7 推 #3.

设 {[an,bn]} 是一列闭区间，满足：

  1. ∀n∈Z+,[an+1,bn+1]⊂[an,bn].
  2. limn→+∞(an−bn)=0.

设 m,n,∈Z+ 且 m>n，则由 1 有 0≤am−an≤bn−an→0.

从而知 {an} 是一个柯西列，由 #7 知 {an} 收敛，设 limn→+∞an=ζ∈R.

再由 2 知 limn→+∞bn=limn→+∞(bn−an)+limn→+∞an=ζ.

又由 1 知，∀n∈Z+,an≤ζ≤bn.

用有限覆盖定理证明：[a,b] 上的连续函数必然一致连续（Cantor 定理）。

证：设 [a,b] 上的连续函数为 f(x)，则 ∀ϵ>0,∀x∈[a,b],∃δx>0，使得：∀x∗∈U(x,δx),x∗∗∈U(x,δx) 有 |f(x∗)−f(x∗∗)|<ϵ（x∗,x∗∗∈[a,b]）。

令 H={U(x,δx2)|x∈[a,b]}，由有限覆盖定理得，∃x1,x2,…,xk∈[a,b]，（k 是某个正整数），使得 [a,b]⊂⋃ki=1U(x,δx2)，

令 δ=min{δx2|i=1,2,…,k}>0，任取 x∗∈[a,b],x∗∗∈[a,b] 使得 |x∗−x∗∗|<δ，下证 x∗,x∗∗ 必在同一个 U(xi,δxi) ：

∵x∈[a,b],∴∃i0∈{1,2,…,k},s.t.x∗∈U(xi0,δxi02)再任取x∗∗∈[a,b]且|x∗−x∗∗|<δ，有|x∗∗−xi0|≤|x∗∗−x∗|+|x∗−xi0|<δxi0⇒x∗∗∈U(xi0,δxi0)⇒|f(x∗)−f(x∗∗)|<ϵ

由定义知，f 在 [a,b] 上一致连续。

不定🍮积分

原函数：设 F(x) 在 D 上处处可导且 ∀x∈D,F′(x)=f(x)，则称 F(x),x∈D 是 f(x),x∈D 的一个原函数（称 F(x) 是 f(x) 在 D 上的一个原函数）。

为了方便，下面总设 D 是一个开区间，记作 I.

不定积分：称 f(x),x∈I 的所有原函数组成的集合 {F(x),x∈I|F是f在I上的一个原函数} 为 f 在 I 上的不定积分，记作 ∫f(x)dx(,x∈I)（不引起混淆的情况下括号内的东西可省略）。有时把 f 在 I 上的不定积分简记作 F(x)+C,x∈I(其中C跑遍所有实数).

例：(arctanx)′x=(−arccotx)′x.

  • ∫0dx=C.
  • ∫1dx=x+C.
  • α≠−1,∫xαdx=xα+1α+1+C.
  • ∫1xdx=ln|x|+C（只是写成这样，因为在 (−∞,0) 和 (0,+∞) 上的 C 可以不一样，实际上应该写分段函数）.

命题：不定积分的线性运算法则

设 F(x),G(x) 分别为 f(x),g(x) 在区间 I 上的原函数，k1,k2∈R 且 (k1)2+(k2)2≠0，则

∫(k1f(x)+k2g(x))dx=k1∫f(x)dx+k2∫g(x)dx

去掉 (k1)2+(k2)2≠0 的条件可写作：

∫(k1f(x)+k2g(x))dx=k1F(x)+k2G(x)+C

例：求 ∫x4x2+1dx.

∫x4x2+1=∫x4−1+1x2+1=∫(x2−1+1x2+1)=x33−x+arctanx+C

例：∫1dxsin2xcos2x=∫(csc2x+sec2x)dx=−cotx+tanx+C.

例：∫|x−1|dx.

解：

F(x)={x22−x+C1,x≥1x−x22+C2,x<1

则要求 F(x) 连续，则 C1−12=C2+12.

换元积分法（“变量替换法”）

一、第一换元积分法（“凑微分法”）

命题：设 f(x) 在区间 I 上有定义，φ(t) 在区间 J 内可导，且 φ(J)⊆I.

如果 ∫f(x)dx=F(x)+C，则 ∫f(φ(t))φ′(t)dt=F(φ(t))+C(t∈J)（证明用复合函数求导的链式法则）.

例：

∫tanxdx=∫sinxcosxdx=−∫(cosx)′cosxdx=−ln|cosx|+C

例：设 a>0 且 a 为常数

∫dxa2+x2=∫dx1+(xa)2⋅1a2=∫d(x/a)1+(xa)2⋅1a=1aarctanxa+C

例：∫dx√a2−x2=arcsinxa+C.

例：∫dxx2−a2=12a∫(1x−a−1x+a)dx=12aln|x−ax+a|+C（注意这个是被分成三个区间）。

例：

∫secxdx=∫cosxcos2xdx=∫(sinx)′xdx1−sin2x=−12ln|1−sinx1+sinx|+C=12ln|(1+sinx)2cos2x|+C=ln|secx+tanx|+C

注意，∫d(sinx)sinx 是没有意义的，只能对 x 积分，这只是形式写法。

二、第二换元积分法

设 f(x),x∈I 存在原函数 x=φ(t),t∈J 可导且 ∃t=ψ(x),x∈I 使得 φ(ψ(x))=x(∀x∈I)，若

∫f(φ(t))φ′(t)dt=F(t)+C

则有

∫f(x)dx=F(ψ(x))+C

证：设 f(x),x∈I 的原函数位 U(x),x∈I，则 ∀x∈I，有 U′(x)=f(x).

​ 又由题意知，F(t) 满足 ∀t∈J，有 f(φ(t))×φ′(t)=F′(t)，于是有

d(U(φ(t)))dt=U′(x)|x=φ(t)×φ′(t)=F′(t),∀t∈J

​ 从而知，∃C∈R，使得 U(φ(t))=F(t)+C.

​ 用 t=ψ(x) 代入并利用恒等式 φ(ψ(x))=x 得：

U(x)=F(ψ(x))+C

​ 此即

(F(ψ(x)))′x=f(x)

三、分部积分法

设 u(x),v(x) 在 I 上可导.

若 ∫u′(x)v(x)dx 存在，则 ∫u(x)v′(x)dx 也存在，且有 ∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−∫u′(x)v(x)dx.

例

  1. ∫cotxdx=∫cosxsinxdx=∫(sinx)′xsinxdx=∫dtt(t=sinx)=ln|t|+C=ln|sinx|+C

  2. ∫dx√x+3√x=∫6t5dtt3+t2(t6=x,t>0)=6∫t3t+1dt=6∫(t+1)(t2−t+1)−1t+1dt=6∫(t2−t+1−1t+1)dt=2t3−3t2+6t−6ln(t+1)+C=2√x−33√x+66√x−6ln(1+6√x)+C

  3. ∫√a2−x2dx(a>0,a为常数,−a<x<a)=a∫cos2t⋅dt(令x=asint,t∈(−π2,π2))=a2∫1+cos(2t)2dt=a2(t2+sin(2t)4)+C=a22arcsinxa+a22×xa×√a2−x2a+C=a22arcsinxa+x√a2−x22+C

  4. ∫dx√x2−a2,(x∈(−∞,−a)∪(a,+∞))

    1. I=(a,+∞)

      =∫asecttantatantdt(x=asect)=∫dtcost=ln|sect+tant|+C=ln|√x2−a2+xa|+C=ln|√x2−a2+x|+C

  5. 同理

  6. 设 a>0 为常数，求

    ∫dx(x2+a2)2

    令 x=atant,t∈(−π2,π2)，dx=asec2t⋅dt.

    =∫asec2ta4sec4tdt=1a3∫cos2tdt=1a3∫1+cos2t2dt=t2a3+sin(2t)4a3+C=arctanxa2a3+x2a2(x2+a2)+C

    另解：

    =1a2∫x2+a2−x2(x2+a2)2dx=1a2∫dxx2+a2−1a2∫x2dx(x2+a2)=1a3arctanxa−1a2∫x(−12⋅1x2+a2)′xdx=1a3arctanxa+12a2∫x⋅(1x2+a2)′xdx=1a3arctanxa+12a2(xx2+a2−1aarctanxa)+C=…

  7. ∫lnxdx=xlnx−∫x⋅1xdx=xlnx−x+C

  8. ∫arctanxdx=xarctanx−∫xdx1+x2=xarctanx−12∫d(1+x2)1+x2=xarctanx−12ln(1+x2)+C

分部积分：反、对、幂、三、指（排在后面的往微分里面凑）

例：∫xcosxdx=∫xd(sinx).

∫exsinxdx=∫sinxd(ex)=exsinx−∫excosxdx=exsinx−∫cosxd(ex)=exsinx−excosx−∫exsinxdx⇒∫exsinx=ex2(sinx−cosx)+C

例：设 n∈Z+，令 In=∫dx(x2+a2)n，（其中 a>0 为常数），求 In 递推公式.

解：I1=1aarctanxa+C,I2=12a3arctanxa+12a2⋅xx2+a2+C，下设 n≥3.

((x2+a2)1−n)′=2(1−n)⋅x(x2+a2)n

所以

In=1a2∫x2+a2−x2(x2+a2)n=1a2(In−1−∫x⋅x(x2+a2)ndx)=1a2In−1−1a2⋅12−2n∫xd((x2+a2)1−n)=1a2In−1−1(2−2n)a2(x(x2+a2)n−1−In−1)=…

不定积分积得出来 等价于 原函数是初等函数。

有理函数

n,m∈N，多项式函数 Pn(x)=α0xn+α1xn−1+⋯+αn，Qn(x)=β0xn+β1xn−1+⋯+βn，其中 α0≠0,β0≠0，且各个系数均为常数.

有理函数：R(x)=Pn(x)Qn(x)，当 n<m 时，称其为真分式，否则为假分式。

假分式（利用多项式除法）=多项式函数+真分式。

Qm(x)=β0(x−a1)λ1…(x−as)λs(x2+p1x+q1)μ1…(x2+ptx+qt)μt

其中 ai(i=1,2,…,s)∈R，λ1,λ2…,λs,μ1,μ2,…,μt∈Z+,p1,…,pt,q1,…,qt∈R 且满足 ∀j=1,…,t，都有 (pj)2−4qj<0.

称 (I)1x−a，(I')1(x−a)k,k∈Z+−{1}，(II)Mx+Nx2+px+q，(II')Mx+N(x2+px+q)k,k∈Z+−{1} 为部分分式。（p2−4q<0,M,N,p,q∈R）

(I)/(I') 较易求积分.

(II) 配方：M(x+p2)+N−pM2(x+p2)2+(√4q−p24)2，然后转成 ln,tan.

(II') 递推。

例：求 ∫dx1+x3.

解：

∫dx1+x3=13∫dx1+x−13∫x−12(x−12)2+(√32)2dx+12∫dx(x−12)2+(√32)2=13ln|1+x|−16ln|x2−x+1|+1√3arctan(2√3(x−12))+C

称由 u(x),v(x) 及常值函数通过有限次四则运算得到的函数为关于 u(x),v(x) 的有理式，记作 R(u(x),v(x)).

一、当 u(x)=sinx,v(x)=cosx 时，∫R(sinx,cosx)dx 可通过万能代换 t=tanx2 化为有理函数 ˜R(t) 的不定积分

sinx=2tanx2tan2x2+1=2t1+t2cosx=1−tan2x21+tan2x2=1−t21+t2∫˜R(t)dt=∫R(2t1+t2,1−t21+t2)21+t2dt

例：

∫dx1+sinx+cosx=∫21+t2dt1+2t1+t2+1−t21+t2(t=tanx2)=∫dt1+t=ln|1+t|+C=ln|1+tanx2|+C

三类特殊情形：

  1. 如果 R(−sinx,cosx)=−R(sinx,cosx)，则可令 t=cosx.

    例：

    ∫dxsinx(cos2x−sin2x)=∫sinx1−cos2x⋅1cos2x−sin2xdx=∫11−cos2x⋅12cos2x−1d(cosx)=…

  2. 如果 R(sinx,−cosx)=−R(sinx,cosx)，则可令 t=sinx.

    例：

    ∫dxcosx(cos2x−sin2x)

  3. 如果 R(−sinx,−cosx)=R(sinx,cosx)，则可令 t=tanx.

    ∫cos2x−sin2xcos4x+sin4xdx=∫sec2x−tan2xsec2x1+tan4xdx=∫1−tan2x1+tan4xd(tanx)

二、某些带有无理根式的有理式

  1. 当 u(x)=x,v(x)=n√ax+bcx+d（其中 n≥2,n∈Z+，a,b,c,d∈R 且 det(abcd)≠0），对于 ∫R(x,n√ax+bcx+d)dx 利用 t=n√ax+bcx+d 可化为有理函数的不定积分。

    I=∫1x√x+2x−2dx令t=√x+2x−2,x=...

  2. 当 u(x)=x,v(x)=√ax2+bx+c（其中 1) a>0,b2−4ac≠0；2) a<0，b2−4ac>0），利用适当的三角代换可有理化。

    ∫R(x,√ax2+bx+c)dx 可化为

    1. ∫˜R(u,√m2−u2)duu=msint

      或双曲正切等，下同。

    2. ∫˜R(u,√m2+u2)duu=mtant

  3. ∫˜R(u,√u2−m2)duu=msect

例：

∫dx(x+1)2√x2+2x+2(x>−1)=∫1tan2t⋅sec2tsectdtx+1=tant

三、二项微分式 ∫xm(a+bxn)pdx 其中 m,n,p∈Q,a,b∈R且ab≠0.

仅有以下三种能积分

  1. p∈Z.
  2. m+1n∈Z,a+bxn=ts 其中 s 为 p 的分母（正整数）.
  3. m+1n+p∈Z,ax−n+b=ts.

8.3 可有理化的根式积分、二项式微分积分(切比雪夫、牛顿) - 你学废了吗~~~ - 知乎

定积分

求有界图形 G 的面积（Area）。

假设有（网格状，不一定等分）分割 P，记 ¯A(G;P) 为所有与 G 有交的方格面积和，A_(G;P) 是所有完全包含在 G 中的方格面积和。

又记

外面积¯A(G)=inf{¯A(G;P)|所有分割P}内面积A_(G)=sup{A_(G;P)|所有分割P}

当 ¯A(G)=A_(G) 时，称 G 是有面积的。

例：G={(x,y)∈Q×Q|x,y∈[0,1]}，其外面积为 1，内面积为 0。

设 f 在区间 [a,b] 上（其中 a,b∈R,a<b）有定义，将 [a,b] 分割成一些小区间，即作 [a,b] 的一个分割 T:a=x0<x1<x2<⋯<xn=b.

令 Ii=[xi−1,xi],i=1,2,…,n，Ii 的长度记作 Δxi=xi−xi−1，T 的模（细度）记作 ‖T‖=max1≤i≤nΔxi。

∀i=1,2,…,n 任取介点 ξi∈Ii，作 Riemann 和 ∑ni=1f(ξi)Δxi=∑Tf(ξi)Δxi，若 ∃J∈R,∀ϵ>0,∃δ>0，只要 ‖T‖<δ,∀{ξi}，总成立

|∑Tf(ξi)Δxo−J|<ϵ

则称 f 在 [a,b] 上可积且称 J 为 f 在 [a,b] 上的定积分（值），记作

J=∫baf(x)dx=∫baf(t)dt=∫baf(u)du=…

命题：[a,b] 上的连续函数 f 一定可积。

定积分几何意义：若 f(x)≥0,x∈[a,b]，f(x) 在 [a,b] 上连续，则 ∫baf(x) 表示由 y=f(x),x=a,x=b 和 x 轴所围的平面有界图形（“曲边梯形”）的面积。

约定：

  • 当 a=b 时，∫baf(x)dx=0.
  • 当 a>b 时，∫baf(x)dx=−∫abf(x)dx.

命题：（牛顿-莱布尼兹公式，N-L 公式）设 f 在 [a,b] 上连续，且 ∃F(x),x∈[a,b] 满足 F′+(a)=f(a),F′−(b)=f(b)，且 ∀x∈[a,b],F′(x)=f(x)，则有 ∫baf(x)dx=F(b)−F(a).

证：任作 [a,b] 的一个分割 T:a=x0<x1<⋯<xn=b,Ii=[xi−1,xi],i=1,…,n，在 Ii 上对 F 用 L 中值 Th 得

∃ηi∈Ii,s.t.F(xi)−F(xi−1)=f(ηi)Δxi,i=1,2,…,n

从而有 F(b)−F(a)=∑ni=1(F(xi)−F(xi−1))=∑ni=1f(ηi)Δxi。

又 ∵f 在 [a,b] 上连续，∴f 在 [a,b] 上一致连续，∴∀ϵ>0,∃δ>0,∀s,t∈[a,b] 且 |s-t|<\delta 有 |f(t)-f(s)|<\frac{\epsilon}{b-a}，

从而当 \|T\|=\max_{1\le i\le n}\Delta x_i<\delta 时，\forall \{\xi_i\}，有

\left| \sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i-(F(b)-F(a)) \right| = \left| \sum_{i}^n \left( f(\xi_i)-f(\eta_i) \right)\Delta x_i \right| \le \sum_{i=1}^n \left| f(\xi_i)-f(\eta_i) \right| \Delta x_i<\epsilon

从而由定积分的定义知 f 在 [a,b] 上可积，且

\int_{a}^bf(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)|_{x=a}^{x=b}

性质：若 f 在 [a,b] 上可积，则 f 在 [a,b] 上必有界。

证：设 \int_a^bf(x)\mathrm dx=J\in\R，由定积分定义知，对于 \epsilon=1，存在 [a,b] 的一个分割 T，s.t. \forall 从属于 T 的介点集 \{\xi_i\}，有 |\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta_i-J|<1\dots(*).

下面仅需证明 f 在每个 I_i 上有界。取定一个 I_i，\forall k\neq i，固定 \xi_k，

由 (*) 式可得，

\frac{1}{\Delta x_i}\left(J-1-\sum_{k\neq i}f(\xi_k)\Delta x_k\right)<f(\xi_i)<\frac{1}{\Delta x_i}\left(J+1-\sum_{k\neq i}f(\xi_i)\Delta x_k\right)

可积条件

设 a,b\in\R,a<b.

可积的必要条件：若 f 在 [a,b] 上可积，则 f 在 [a,b] 上必有界，反之不真。

例：D(x) 在 [0,1] 上不可积

证：用反证法，假设可积，令 \int_0^1 D(x)\mathrm dx=J\in\R，则由定积分的定义有，\forall \epsilon >0,\exist\delta >0,\forall \|T\|<\delta,\forall\{\xi_i\},|\sum_T D(\xi_i)\Delta x_i-J|<\epsilon.

因为介点集是任意取定的，所以可以分别取全为有理和全为无理，得出矛盾。

下面考察可积的充要条件，总设 f 在 [a,b] 上有界。

作 [a,b] 的一个分割 T:a=x_0<x_1<\dots<x_n=b,I_i,\Delta x_i.

令 M_i=\sup f(I_i),m_i=\inf f(I_i),\omega_i=M_i-m_i，

称 \sum_{i=1}^{n}M_i\Delta x_i 为 f 在 [a,b] 上的关于分割 T 的 Darboux 上和（大和），记为 S(T)，\sum_{i=1}^nm_i\Delta x_i 为 Darboux 下和（小和），记作 s(T)。

\inf f([a,b])\cdot(b-a)\le s(T)\le \sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i\le S(T)\le\sup f([a,b])\cdot(b-a)

称 S = \inf\{S(T)| T 是 [a,b] 的一个分割\} 为 f 在 [a,b] 的上积分，

称 s=\sup\{s(T)|T 是 [a,b] 的一个分割\} 为 f 在 [a,b] 的下积分。

又 f 在 [a,b] 上有界，则有f 在 [a,b] 上可积 \Leftrightarrow S=s.（可积的第一充分条件）

*可积准则：设 f 在 [a,b] 上有界，则 f 在 [a,b] 上可积 \Leftrightarrow

\forall \epsilon >0,\exist [a,b] 的一个分割 T,\texttt{s.t.} S(T)-s(T)<\epsilon\\ 即 \sum_T \omega_i\Delta x_i<\epsilon（“振幅面积”）

（可积的第二充分条件）

命题 1：设 f 在 [a,b] 上有界，T 是 [a,b] 的一个分割，\tilde T 是 [a,b] 的一个分割，\tilde T 是向 T 中添加了一个新分点所形成的 [a,b] 的一个新分割，则 \tilde T 的振幅面积必然不超过 T.

命题 2：若 f 在 [a,b] 上可积，[\alpha,\beta]\sub[a,b]，则 f 在 [\alpha,\beta] 上也可积。

命题 3：若 f 在 D 上有界，则

\sup f(D)-\inf f(D)=\sup\{f(\tilde x)-f(\tilde{\tilde x})|\tilde x,\tilde{\tilde x} \in D\}

证：设 M=\sup f(D),m=\inf f(D)，则 M\ge m.

  1. M=m。

  2. M>m

    \forall \epsilon \in(0,\frac{M-m}{2}),\exist f(x_1)>M-\frac{\epsilon}2,f(x_2)<m+\frac\epsilon 2，故 f(x_1)-f(x_2)>M-m-\epsilon……

可积函数类

一、命题：[a,b] 上的连续函数 f 是可积的。

证：\because f 在 [a,b] 上连续，\therefore f 在 [a,b] 上一致连续

\omega_i=\sup f(I_i)-\inf f(I_i)=\sup\{f(\tilde x)-f(\tilde{\tilde x})|\tilde x,\tilde{\tilde x}\in I_i\}\\ \Rightarrow \sum_T \omega_i\Delta x_i\le\frac{\epsilon}{2(b-a)}\times (b-a)<\epsilon

二、命题：若 f 在 [a,b] 上单调，则 f 在 [a,b] 上可积。

证：不妨设 f 在 [a,b] 单增。

  1. 常值函数可积

  2. 若 f(a)<f(b)，任作 [a,b] 的一个分割 T，\omega_i=f(x_i)-f(x_{i-1}),i=1,2,\dots,n.

    \sum_T\omega_i\Delta x_i\le \sum_T\omega_i\|T\|=\|T\|\sum_T\omega_i=\|T\|(f(b)-f(a))

    \forall \epsilon>0，取 \delta=\frac{\epsilon}{f(b)-f(a)}，当 \|T\|<\delta 时，\sum_T\omega_i\Delta x_i<\epsilon.

三、命题：若 [a,b] 上的有界函数 f 仅有有限多个间断点，则 f 在 [a,b] 上可积。

证：仅证 b 为 f 的唯一间断点时的情形。

令 M=\sup f([a,b]),m=\inf f([a,b])，则 M>m。\forall \epsilon>0，任取 \tilde \delta \in (0,\frac{\epsilon}{2(M-m)}) 且 \tilde \delta<b-a.

记 f 在 [b-\tilde \delta,b] 上振幅为 \tilde \omega，则 \tilde \omega\times\tilde\delta<\frac{\epsilon}{2}.

因为 f 在 [a,b-\tilde \delta] 上连续，所以 f 在 [a,b-\tilde\delta] 上可积，存在分割振幅小于 \frac{\epsilon}2.

黎曼函数

R(x)=\begin{cases} \frac{1}{q}&,x\in(0,1)\cap \Q,x=\frac{p}{q}(p,q\in\Z^+),(p,q)=1\\ 0&,x\in\Q^C或 x=0或 x=1 \end{cases}

在 [0,1] 上可积，且 \int_0^1 R(x)dx=0.

证：\forall 0<\epsilon<\frac14，在 [0,1] 上使得 \frac1q>\frac\epsilon2的有理数 \frac{p}{q} 仅有有限多个，设为 k\in\Z^+ 个.

记这些有理数为 r_1,\dots,r_k，现对 [0,1] 作一个分割 T=\{\Delta_1,\dots,\Delta_n\} 使得 \|T\|<\frac{\epsilon}{2k}，将 T 中的区间分为两类 \{\tilde\Delta_i|i=1,\dots,m\} 和 \{\tilde{\tilde\Delta}_i|i=1,\dots,n-m\}，其中 \tilde \Delta_i 为含有 r_1,\dots,r_k 的小区间，其他的不含，从而有 m\le 2k.

\sum_{\{\tilde\Delta_i\}}\tilde\omega_i\tilde{\Delta x_i}\le\sum_{\{\tilde\Delta_i\}}\frac{1}{2}\|T\|<\frac{\epsilon}{2}\\ \sum_{\{\tilde{\tilde\Delta}_i\}}\tilde\omega_i\tilde{\tilde{\Delta x_i}}\le\sum_{\{\tilde{\tilde\Delta}_i\}}\frac{\epsilon}{2}\tilde{\tilde{\Delta x_i}}\le\frac{\epsilon}{2}

上界 \epsilon，下界让全部都取无理数即为 0。

可积函数性质

  1. 设 f 在 [a,b] 上可积，k\in\R 是常数，则 k\cdot f 也可积，且

    \int_a^bkf(x)\mathrm dx=k\int_a^bf(x)\mathrm dx

  2. 设 f,g 在 [a,b] 上可积，则 f\pm g 在 [a,b] 上也可积，且

    \int_a^b(f\pm g)(x)\mathrm dx=\int_{a}^bf(x)\mathrm dx\pm\int_{a}^bg(x)\mathrm dx

  3. 若 f,g 在 [a,b] 上可积，则 f\cdot g 在 [a,b] 上可积。

    令 A=\sup|f|([a,b]),B=\sup|g|([a,b]).

    1. 若 A=0 或 B=0，则成立。

    2. 下设 A>0,B>0.

      \forall \epsilon >0，由于 f,g 可积，故 \exist T_1,T_2 s.t.

      \sum_{T_1}\tilde \omega_i^f\Delta x_i<\frac{\epsilon}{2B}\\ \sum_{T_2}\tilde \omega_i^g\tilde{\Delta x_i}<\frac{\epsilon}{2A}

      令 T=T_1+T_2（合并所有分点）

      设 I_k 是属于 T 的某个小区间，则有：

      \begin{aligned} w_k^{f\cdot g}&=\sup_{s,t\in I_k} |f(s)g(s)-f(t)g(t)|\\ &\le\sup_{s,t\in I_k}(|g(s)||f(s)-f(t)|+|f(t)||g(s)-g(t)|)\\ &\le\sup_{s\in I_k}|g(s)|\cdot\sup_{s,t\in I_k}|f(s)-f(t)|+\sup_{t\in I_k}|f(t)|\cdot\sup_{s,t\in I_k}|g(s)-g(t)|\\ &\le B\cdot\omega_k+A\cdot\omega_k^g\\ \sum_T\omega_k^{f\cdot g}\tilde{\tilde{\Delta x_k}}&\le \sum_T B\omega_k^f\tilde{\tilde{\Delta x_k}}+\sum_T A\omega_k^g\tilde{\tilde{\Delta x_k}}\\ &\le\dots\\ &<\epsilon \end{aligned}

  4. 区间可加性：设 c\in(a,b)，f 在 [a,b] 上可积，等价于 f 在 [a,c] 和 [c,b] 上均可积。

    进一步有

    \int_a^bf(x)\mathrm dx=\int_a^cf(x)\mathrm dx+\int_c^bf(x)\mathrm dx

    证：取 [a,b] 的一个分割 T，使得 c\in T，T=T_1+T_2，T_1 中最大的分点为 c，T_2 中最小的分点为 c.

    \|T\|\to 0 \Leftrightarrow \|T_1\|\to 0且 \|T_2\|\to 0

    \begin{aligned} \int_a^b f(x)dx&=\lim_{\|T\|\to 0}\sum_{T}f(\zeta_i)\Delta x_i\\ &=\lim_{\|T\|\to 0}\sum_{T_1}f(\zeta_i)\Delta x_i+\lim_{\|T\|\to 0}\sum_{T_2}f(\zeta_i)\Delta x_i \end{aligned}

    事实上，若 f 在 [s,t]（[a,b]\sub[s,t]）可积，则只需 c\in[s,t].

  5. 若 f 在 [a,b] 上可积，且 \forall x\in[a,b],f(x)\ge0，则 \int_a^b f(x)dx\ge 0.

    推论：若 f,g 在 [a,b] 上可积，且 \forall x\in[a,b]，f(x)\ge g(x)，则 \int_{a}^bf(x)\ge \int_a^bg(x).

  6. 若 f 在 [a,b] 上可积，则 |f| 在 [a,b] 上也可积，且

    \left|\int_a^bf(x)\mathrm dx\right|\le\int_a^b|f(x)|\mathrm dx

  7. 积分第一中值定理：设 f 在 [a,b] 上连续，则 \exist \zeta\in[a,b]，使得

    \int_a^b f(x)\mathrm{d}x=f(\zeta)(b-a)

  8. 推广的积分第一中值定理：设 f 在 [a,b] 上连续，g 在 [a,b] 上可积，且 \forall x\in[a,b],g(x)\ge 0（或 g(x)\le 0），则 \exist \zeta\in[a,b]，使得

    \int_a^bf(x)g(x)\mathrm{d}x=f(\zeta)\cdot\int_a^b g(x)\mathrm{d}x

    证：不妨设 \forall x\in[a,b],g(x)\ge 0.

    \because f 在 [a,b] 上连续，\therefore \exist m\le M，使得 \forall x\in[a,b],m\le f(x)\le M，从而有 \forall x\in[a,b],mg(x)\le f(x)g(x)\le Mg(x)，由性质 #5 的推论有

    m\int_a^b g(x)\mathrm{d}x\le \int_a^bf(x)g(x)\mathrm{d} x\le M\int_a^bg(x)\mathrm d x

    1. 若 \int_a^bg(x)\mathrm dx=0，则 \int_a^bf(x)g(x)\mathrm dx=0，任取 \zeta\in[a,b] 即可。

    2. 若 \int_a^bg(x)\mathrm dx>0

      m\le \frac{\int_a^bf(x)g(x)\mathrm dx}{\int_a^bg(x)\mathrm dx}\le M

      再由连续函数介值定理，\exist \zeta\in[a,b] 使得

      f(\zeta)=\frac{\int_a^bf(x)g(x)\mathrm dx}{\int_a^bg(x)\mathrm dx}

      得证。

    事实上，可以证明 \zeta\in(a,b).

    例：设 f 在 [0,1] 上连续，求 \lim_{n\to +\infin}\int_0^1 f(\sqrt[n]x).

    解：任意取定一个正整数 n\ge 2，\exist \xi_n\in[0,\frac{1}{n}],\eta_n\in[\frac{1}{n},1]，使得

    \int_0^{\frac1n}f(\sqrt[n]x)\mathrm dx=\frac{1}{n}f(\zeta_n^{\frac1n})\\ \int_{\frac1n}^{1}f(\sqrt[n]x)\mathrm dx=f(\eta_n^{\frac1n})(1-\frac{1}{n})

    \begin{aligned} &\because \frac1{n}\le\eta_n\le 1\\ &\therefore\left(\frac1n\right)^{\frac{1}{n}}\le\eta_n^{\frac1n}\le1\\ &\therefore\lim_{n\to +\infin}\eta_n^\frac{1}{n}=1\\ &\therefore \dots \end{aligned}

变限积分

设 a,b\in\R,a<b，f 在 [a,b] 上可积.

\forall x\in(a,b]，f 在 [a,x] 上可积，令 F(x)=\int_a^xf(t)\mathrm dt.

x\in(a,b]，再令 F(a)=0. F:[a,b]\to \R.

称 F 为 f 在 [a,b] 上的变上限定积分（函数）\Phi,F。

同理可以定义变下限定积分 \Psi,\tilde F。

（连续一定可积，可积未必连续）

定理：若 f 在 [a,b] 上可积，则 F(x) 在 [a,b] 上连续。

证明：\because f 在 [a,b] 上可积，\therefore f 在 [a,b] 上有界。

即 \exist M>0,\forall x\in[a,b],|f(x)|\le M，\forall x_0\in(a,b)，取 h 使得 x_0+h\in[a,b].

\begin{aligned} |F(x_0+h)-F(x_0)|&=|\int_a^{x_0+h}f(t)\mathrm dt+\int_{x_0}^{a}f(t)\mathrm dt|\\ &=|\int_{x_0}^{x_0+h}f(t)\mathrm dt|\\ &\le \int_{x_0}^{x_0+h}|f(t)|\mathrm dt\\ &\le M\cdot|\int_{x_0}^{x_0+h}1\mathrm dt|\\ &=M|h| \end{aligned}

原函数存在性定理

若 f 在 [a,b] 上连续，则 F(x)=\int_a^xf(t)\mathrm dt 在 [a,b] 上可导，且

\forall x_0\in(a,b),F'(x_0)=f(x_0)\\F'_+(a)=f(a)\\F'_-(b)=f(b)

证：\forall x_0\in(a,b)，任取 h\neq 0 使得 x_0+h\in[a,b].

\begin{aligned} \frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}&=\frac{\int_{x_0}^{x_0+h}f(t)\mathrm dt}{h}\\ &=\frac{f(\zeta_h)h}{h}(h介于 x_0 与 x_0+h 之间)\\ &=f(\zeta_h)\\ \lim_{h\to 0}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}&=\lim_{h\to 0}f(\zeta_h)=f(x_0) \end{aligned}

牛顿莱布尼茨公式z

若 f 在 [a,b] 上连续，G 是 f 在 [a,b] 上的一个原函数，则 \int_a^bf(x)\mathrm dx=G(b)-G(a)

积分第二中值定理

设 f 在 [a,b] 上可积

  1. 若 g 在 [a,b] 上单减且非负，则 \exist \zeta\in[a,b]，使得 \int_{a}^bf(x)g(x)\mathrm dx=g(a)\int_{a}^\zeta f(x)\mathrm dx.

    证明：

    \forall x\in[a,b]，令 F(x)=\int_a^x f(t)\mathrm dt，则 F(x) 在 [a,b] 上连续，故 F(x) 在 [a,b] 上有最大值 M 和最小值 m.

    1. 若 g(a)=0，则 g(x)\equiv 0,\forall x\in[a,b]，故可在 [a,b] 中任取一点 \zeta 使结论成立。

    2. 若 g(a)>0，这时即证 \exist \zeta\in[a,b]，使得

      F(\zeta)=\frac{\int_a^bf(x)g(x)\mathrm dx}{g(a)}

      由连续函数介值定理知，仅需证明：m\cdot g(a)\le \int_a^bf(x)g(x)\mathrm dx\le Mg(a).

      又由于 f 在 [a,b] 可积，故 f 在 [a,b] 上有界，即 \exist L>0，使得 \forall x\in[a,b],|f(x)|\le L.

      又 g 在 [a,b] 单减，故 g 在 [a,b] 上可积，由可积准则知，\forall \epsilon >0，\exist [a,b] 的一个分割 T，使得

      \sum_T\omega_i^g\Delta x_i<\frac{\epsilon}{L}

      \begin{aligned} \int_a^bf(x)g(x)\mathrm dx=&\sum_{i=1}^n\int_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)[g(x)-g(x_{i-1})+g(x_{i-1})]\mathrm dx\\ =&\sum_{i=1}^n\int_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)[g(x)-g(x_{i-1})]\mathrm dx+\sum_{i=1}^n\int_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)g(x_{i-1})\mathrm dx\\ =&I_1+I_2 \end{aligned}

      先估计 I_1：

      \begin{aligned} |I_1|&\le \sum_{i=1}^n\int_{x_{i-1}}^{x_i}|g(x)-g(x_{i-1})||f(x)|\mathrm dx\\ &\le\sum_{i=1}^n\omega_i^g\cdot L\cdot\Delta x_i\\ &=L\sum_{i=1}^b\omega_i^g\cdot\Delta x_i\\ &<\epsilon \end{aligned}

      再估计 I_2：

      \because F(x_0)=F(a)=0\\ \therefore \int_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)\mathrm dx=\int_{a}^{x_i}f(x)\mathrm dx-\int_{a}^{x_{i-1}}f(x)\mathrm dx=F(x_i)-F(x_{i-1})\\ \begin{aligned} I_2=&\sum_{i=1}^{n}g(x_{i-1})[F(x_i)-F(x_{i-1})]\\ =&g(x_0)[F(x_1)-F(x_0)]+\dots+g(x_{n-1})[F(x_n)-F(x_{n-1})]\\ =&F(x_1)(g(x_0)-g(x_1))+\dots+F(x_{n-1})(g(x_{n-2})-g(x_{n-1}))+F(b)g(x_{n-1})\\ \end{aligned}

      \because g 在 [a,b] 上单减且非负，\therefore \forall i=1,\dots,n-1,g(x_{i-1})-g(x_i)\ge 0,g(x_{n-1})\ge 0。

      又 \forall i=1,\dots, n,F(x_{i})\le M

      \therefore I_2\le M(g(x_0)-g(x_1)+g(x_1)-g(x_2)+\dots+g(x_{n-2})-g(x_{n-1})+g(x_{n-1}))=Mg(a).

      同理，\forall i=1,\dots,n,F(x_i)\ge m.

      所以 I_2\ge mg(a).

      又 |I_1|\le \epsilon，所以 mg(a)-\epsilon<I_1+I_2<Mg(a)+\epsilon，

      由 \epsilon 的任意性，mg(a)\le I\le Mg(a)，得证。

  2. 若 g 在 [a,b] 上单增且非负，则 \exist \eta\in[a,b]，使得 \int_{a}^bf(x)g(x)\mathrm dx=g(b)\int_\eta^b f(x)\mathrm dx.

推论：设 f 在 [a,b] 上可积，g 在 [a,b] 上单调，则 \exist \sigma\in[a,b] 使得

\int_a^bf(x)g(x)\mathrm dx=g(a)\int_{a}^\sigma f(x)\mathrm dx+g(b)\int_{\sigma}^bf(x)\mathrm dx

证：不妨设 g 在 [a,b] 上单增，令 \varphi(x)=g(x)-g(a). \forall x\in[a,b],\varphi(x)\ge 0.

由积分第二中值定理知，\exist \eta\in[a,b]，使得 \int_a^bf(x)\varphi(x)\mathrm dx=\varphi(b)\int_\eta^bf(x)\mathrm dx，

即 \int_{a}^bf(x)(g(x)-g(a))\mathrm dx=(g(b)-g(a))\int_\eta^bf(x)\mathrm dx.

即 \int_a^bf(x)g(x)\mathrm dx=g(b)\int_{\eta}^bf(x)\mathrm dx+g(a)\int_a^\eta f(x)\mathrm dx，令 \sigma = \eta 即可。

例：令 F(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\mathrm dt，其中 f 在 \R 上连续，u(x),v(x) 在 \R 上可导。

F(x)=\int_0^{v(x)}f(x)\mathrm dx-\int_{0}^{u(x)}f(x)\mathrm dx\\ F'(x)=f(v(x))v'(x)-f(u(x))u'(x)

定积分换元积分法

  1. 设 f 在 [a,b] 上连续，\varphi'(x) 在 [\alpha,\beta] 上可积，且 \varphi(\alpha)=a,\varphi(\beta)=b，且 \varphi([\alpha,\beta])\sub [a,b]，则有“定积分换元积分公式”：

    \int_a^bf(x)\mathrm dx=\int_{\alpha}^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\mathrm dt\ \ \ \ ,x=\varphi(t),t\in[\alpha,\beta]

    证：\because f 在 [a,b] 上连续，\therefore f 在 [a,b] 上的原函数存在，设 F(x)=\int_{a}^xf(t)\mathrm dt 为 f 在 [a,b] 上的一个原函数。

    \frac{\mathrm d F(\varphi(t))}{\mathrm dt}=f(\varphi(t))\varphi'(t),\forall t\in(\alpha,\beta)，故 F(\varphi(t)) 是 f(\varphi(t))\varphi'(t) 在 [\alpha,\beta] 上的一个原函数。

    左边 =\int_a^bf(x)\mathrm dx=F(b)-F(a).

    右边 =\int_{\alpha}^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\mathrm dt=F(\varphi(\beta))-F(\varphi(\alpha))=F(b)-F(a)（第二个等号用 Th9.1 注 2.2）

  2. 设 f 在 [a,b] 上可积，\varphi(x) 在 [\alpha,\beta] 上严格单调，且 \varphi'(t) 在 [\alpha,\beta] 连续，\varphi([\alpha,\beta])=[a,b]，则有“定积分换元积分公式”：

    \int_a^bf(x)\mathrm dx=\int_{\alpha}^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\mathrm dt\ \ \ \ ,x=\varphi(t),t\in[\alpha,\beta]

    证：不妨设 \varphi 在 [\alpha,\beta] 上 \uparrow，设 T:\alpha=t_0<t_1<\dots<t_n=\beta 为 [\alpha,\beta] 的一个分割，故而分割 T 导出了 [a,b] 的一个分割 \tilde T:a=\varphi(t_0)<\dots<\varphi(t_n)=b.

    设 \forall i=0,1,\dots,n,x_i=\varphi(t_i).

    由题设知：\|T\|\to 0,\|\tilde T\|\to 0.

    又 \because f 在 [a,b] 上可积，\therefore f 在 [a,b] 上有界，即 \exist M>0,\forall x\in[a,b],|f(x)||<M.

    又 \because \varphi' 在 [\alpha,\beta] 上连续，\therefore \varphi' 在 [\alpha,\beta] 上一致连续。

    于是 \forall \delta>0,\exist \sigma>0,\forall \|T\|<\sigma，有

    \|\tilde T\|=\max_{1\le i\le n}|\varphi(t_i)-\varphi(t_{i-1})|\le\max_{1\le i\le n}\varphi'(\theta_i)\Delta t_i,\theta_i\in[t_{i-1},t_i]

    且有

    |\varphi'(\tilde\theta)-\varphi'(\tilde{\tilde \theta})|<\frac{\epsilon}{3M(\beta-\alpha)}

    其中 \tilde \theta,\tilde{\tilde\theta}\in[t_{i-1},t_i],i=1,\dots,n.

    从而 \forall 从属于 T 的一个介点集 \{\eta_i\}，有

    \begin{aligned} &|\sum_{T}f(\varphi(\eta_i))\varphi'(\eta_i)\Delta t_i-\int_a^bf(x)\mathrm dx|\\ \le &\sum_T|f(\varphi(\eta_i))|\cdot|\varphi'(\eta_i)-\varphi'(\theta_i)|\Delta t_i+|\sum_{T}f(\varphi(\eta_i))\varphi'(\theta_i)\Delta t_i-\int_a^bf(x)\mathrm dx|\\ \le &\sum_{T}M\cdot\frac{\epsilon}{3M(\beta-\alpha)}\Delta t_i+\frac{\epsilon}{3}&(\varphi(\theta_i)\Delta t_i=\Delta x_i)\\ <&\frac{2}{3}\epsilon<\epsilon \end{aligned}

例：计算 I=\int_{0}^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\mathrm dx.

解：令：x=\frac{1-t}{1+t}，严格单减，\mathrm dx=\frac{-2}{(1+t)^2}\mathrm dt.

\begin{aligned} I=&\int_{1}^0\frac{\ln(1+\frac{1-t}{1+t})}{1+(\frac{1-t}{1+t})^2}\cdot\frac{-2}{(1+t)^2}\mathrm dt\\ =&\int_0^1\frac{\ln2-\ln(1+t)}{1+t^2}\mathrm dt\\ =&\int_{0}^1\frac{\ln2}{1+t^2}\mathrm dt-\int_{0}^1\frac{\ln(1+t)}{1+t^2}\mathrm dt\\ =&\frac{\pi}{4}\ln2-I \end{aligned}

因此 I=\frac{\pi}{8}\ln2.

？？？这是怎么想到的？？？

（另解：x=\tan t.）

定积分分部积分法

设 u(x),v(x) 在 [a,b] 上可导且导函数可积（连续），则有“定积分分部积分公式”：

\int_{a}^bu'(x)v(x)\mathrm dx=u(x)v(x)|_{x=a}^{x=b}-\int_{a}^bu(x)v'(x)\mathrm dx

利用 9.1 注 2.2 可将连续改为可积。

例：令 I_n=\int_{0}^{\frac\pi2}\sin^n x\mathrm dx，J_n=\int_{0}^{\frac\pi2}\cos^n x\mathrm d x，计算 I_n,J_n。

解：

I_n=\int_0^\frac\pi 2\sin^n x\mathrm dx=-\int_{\frac\pi2}^0\sin^n(\frac\pi2-t)\mathrm dt=\int_{0}^\frac{\pi}{2}\cos^n\mathrm dt=J_n

下设 n\ge 2,n\in\Z^+，则

\begin{aligned} I_n=&\int_{0}^\frac{\pi}2\sin^{n-1}x(-\cos x)'_x\mathrm dx\\ =&-\cos x\sin^{n-1}x|_{x=0}^{x=\frac\pi2}-\int_0^\frac\pi2(-\cos x)(\sin^{n-1}x)'\mathrm dx\\ =&\int_0^\frac\pi2(1-\sin^2 x)(n-1)\sin^{n-2}x\mathrm dx\\ =&(n-1)\int_0^\frac\pi2(sin^{n-2}x-\sin^n x)\mathrm dx\\ =&(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}\\ \Rightarrow I_n=&\frac{n-1}{n}I_{n-2} \end{aligned}

......

I_{2m}=\frac{(2m-1)!!}{(2m)!!}\cdot\frac{\pi}2\\ I_{2m+1}=\frac{(2m)!!}{(2m+1)!!}

例（Wallis）：证明

\lim_{m\to +\infin}\left(\frac{(2m)!!}{(2m-1)!!}\right)^2\cdot\frac{1}{2m+1}=\frac{\pi}2

证：\forall m\in\Z^+，有

\int_{0}^{\frac{\pi}2}\sin^{2m+1} x\mathrm dx<\int_{0}^{\frac{\pi}2}\sin^{2m}x\mathrm dx<\int_{0}^{\frac{\pi}2}\sin^{2m-1}x\mathrm dx\\ \Rightarrow I_{2m+1}<I_{2m}<I_{2m-1}\\ \Rightarrow \frac{(2m)!!}{(2m+1)!!}<\frac{(2m-1)!!}{(2m)!!}\cdot\frac{\pi}2<\frac{(2m-2)!!}{(2m-1)!!}\\ \Rightarrow A_m=\left(\frac{(2m)!!}{(2m-1)!!}\right)^2\cdot\frac{1}{2m+1}<\frac{\pi}{2}<\left(\frac{(2m)!!}{(2m-1)!!}\right)^2\cdot\frac{1}{2m}=B_m

因此

0<B_m-\frac\pi2<B_m-A_m=\left(\frac{(2m)!!}{(2m-1)!!}\right)^2\cdot\frac{1}{2m(2m+1)}=\frac{1}{2m}A_m<\frac{1}{2m}\cdot\frac\pi2

令 m\to 0 得：

\lim_{m\to +\infin}B_m=\frac{\pi}{2}=\lim_{m\to +\infin}A_m

有理数列的极限可以是无理数。

例：设

f(t)= \begin{cases} \sin\frac1t&,t\neq 0\\ 1&,t=0 \end{cases}

证明：

\lim_{x\to 0+}\frac{\int_{0}^xf(t)\mathrm dt}{x}=0

证：\forall x>0，f 在 [0,x] 上可积，\forall x>0，有

\int_0^xf(t)\mathrm dt=\lim_{\delta\to 0+}\int_{\delta}^xf(t)\mathrm dt=\lim_{\delta\to 0+}\int_{\delta}^x\sin\frac{1}{t}\mathrm dt\\ =\lim_{\delta\to 0+}\int_{\frac{1}x}^\frac1\delta\frac{\sin u}{u^2}\mathrm du,(u=\frac1t)

利用积分第二中值定理：

\begin{aligned} \int_{\frac1x}^{\frac1\delta}\frac{\sin u}{u^2}\mathrm du=&x^2\int_{\frac{1}{x}}^{\zeta_\delta}\sin u\mathrm du\\ \le&2x^2 \end{aligned}

得证。

推广的分部积分公式

设 u(x),v(x) 在 [a,b] 上有连续的 n+1 阶导函数，则有

\int_{a}^{b}u(x)v^{(n+1)}(x)\mathrm dx\\=[u(x)v^{(n)}(x)-u'(x)v^{(n-1)}(x)+\dots+(-1)^{n}u^{(n)}(x)v(x)]|_{x=a}^{x=b}+(-1)^{n+1}\int_{a}^{b}u^{(n+1)}(x)v(x)\mathrm dx

积分型余项

若设 f 在 U(x) 上有连续的 n+1 阶导函数，n\in \Z^+,x_0\in\R.

任意取定 x\in \mathring U(x_0),u(t)=(x-t)^n,v(t)=f(t),t\in[x_0,x]（或 [x,x_0]），

利用上述推广的分部积分公式有：

\begin{aligned} &\int_{x_0}^x(x-t)^nf^{(n+1)}(t)\mathrm dt\\ =&\left(\sum_{i=0}^{n}\frac{n!}{(n-i)!}(x-t)^{n-i}f^{(n-i)}(t)\right)|_{t=x_0}^{t=x}+(-1)^n\int_{x_0}^x0\cdot f(t)\mathrm dt\\ =&n!\left[ \frac{1}{n!}(0-(x-x_0)^nf^{(n)}(x_0))+\frac{1}{(n-1)!}(0-(x-x_0)^{n-1}f^{(n-1)}(x_0))+\dots+(f(x)-f(x_0)) \right]\\ =&n!\left[ f(x)-\sum_{i=0}^{n}\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^{i} \right]\\ =&n!R_n(x) \end{aligned}

因此可得：

R_n(x)=\frac{1}{n!}\int_{x_0}^{x}(x-t)^nf^{(n+1)}(t)\mathrm dt

  1. Lagrange 型余项

    f^{(n+1)}(t) 连续，(x-t)^{n} 在 [x_0,x] 上不变号，则：

    \exist\zeta\in[x_0,x],\texttt{s.t.}\\ R_n(x)=\frac{1}{n!}f^{(n+1)}(\zeta)\int_{x_0}^x(x-t)^{n}\mathrm dt\\ =\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\zeta)(x-x_0)^{n+1}

  2. Cauchy 型余项

    令 u(t)=(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t),t\in[x_0,x] 连续，\exist \eta\in[x_0,x]，s.t.

    R_n(x)=\frac{1}{n!}(x-\eta)^{n}f^{(n+1)}(\eta)\cdot(x-x_0)

定积分的几何应用

设 a,b\in\R,a<b.

一、面积（平面有界图形）

  1. 若平面有界图形 G 是由 y=f(x),x\in[a,b]（其中 f(x) 在 [a,b] 非负）及 x 轴，两条直线 x=a,x=b 所围的“闭区域”，则 G 必是可求面积的，且其面积为：

    A(G)=\int_{a}^{n}f(x)\mathrm dx

  2. 若平面有界图形 G 是由连续函数 f(x),x\in[a,b]，g(x),x\in[a,b]（且 \forall x\in[a,b],f(x)\ge g(x)）及直线 x=a,x=b 所围的“闭区域”，则 G 是可求面积的，且：

    A(G)=\int_a^b(f(x)-g(x))\mathrm dx

  3. 若平面有界图形 G 是由连接函数 x=\varphi(y),x=\psi(y),y\in[c,d]（且 \forall y\in[c,d],\varphi(y)\ge\psi(y)）及直线 y=c,y=d 所围成的“闭区域”，则 G 是可求面积的，且

    A(G)=\int_c^d[\varphi(y)-\psi(y)]\mathrm dy

例：求椭圆所围的椭圆盘

G= \{ (x,y)\in\R^2|\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le1 \}

的面积，其中 a>0,b>0 且为常数

A(G)=4A(G_1)=4\int_{0}^ab\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}=4\frac{b}{a}\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\mathrm dx\\ =4ab\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\cos(2t)}{2}\mathrm dt,(x=a\sin t,t\in[0,\frac{\pi}2])\\ =\pi ab

例：求由曲线 y^2=2x 和直线 x-y=4 所围成的平面有界图形 G 的面积。

“微元法”

为了计算“展布于”区间 [a,b] 上的一个量 Q，将 Q 分解成 n 份小的份额：

Q=\sum_{i=1}^{n}\Delta Q_i

分离出 \Delta Q_i 的线性主部，即要将 \Delta Q_i=q(x_i)\Delta x_i+o(\Delta x_i)（q(x_i)\Delta x_i 即为线性主部），然后“舍弃”高阶无穷小而把多线性主部叠加起来作为 Q 的面积值。

Q\dot=\sum_{i=1}^{n}q(x_i)\Delta x_i

一般地有，当 \|T\|\to 0 时，\sum_{i=1}^{n}o(\Delta x_i)\to 0，从而有

Q=\lim_{\|T\|\to 0}\sum_{i=1}^{n}q(x_i)\Delta x_i=\int_{a}^bq(x)\mathrm dx

关键一步为找出 \Delta Q 的线性主元，即求 Q 的微元

\mathrm d Q=q(x)\mathrm dx

最后一个积分求出 Q=\int_{a}^bq(x)\mathrm dx.

“分割”“近似”“求和”“求极限”。

设

C:\begin{cases} x=x(t),\\ y=y(y), \end{cases},t\in[\alpha,\beta]

且 y(t) 在 [\alpha,\beta] 上连续，

x(t) 在 [\alpha,\beta] 上有连续的导函数，且 x'(t)\neq 0，令 a=x(\alpha),b=x(\beta)，则

由曲线 C 及 x 轴，两条直线 x=a,x=b 所围的“平面有界图形” G 的面积：

A(G)=\int_{\alpha}^{\beta}|y(t)x'(t)|\mathrm dt

例：设曲线 C 为 \begin{cases}x=t-\sin t,\\y=1-\cos t,\end{cases}t\in[0,2\pi)，求 C 与 x 轴，所围的平面有界图形的面积

A=\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^2\mathrm dt=\int_{0}^{2\pi}(1-2\cos t+\frac{1+\cos (2t)}2)\mathrm dt

设曲线 C:r=r(\theta),\theta\in[\alpha,\beta],0\le\alpha<\beta\le2\pi，求曲线 C 及射线 \theta=\alpha,\theta=\beta 所围成的平面有界图形的面积。

A=\int_{\alpha}^{\beta}\frac{1}{2} r^2(\theta)\mathrm d\theta

双扭线：r^2=a^2\cos(2\theta)(a>0)，“八字形线”“双叶玫瑰线”

A=4A_1\\ =4\cdot\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}}a^2\cos(2\theta)\mathrm d\theta\\ =2a^2(\frac{\sin(2\theta)}{2})|_0^{\frac{\pi}4}\\ =a^2

二、\R^3 中某些立体的体积

设 a,b\in\R,a<b.

已知截面面积的立体的体积

设立体 \Omega 位于平面 x=a 和平面 x=b 之间，且平面 x=C（C 为常数）与 \Omega 的交为一个可求面积的平面“有界闭区域”，设其面积为 A(x)，若 A(x) 在 [a,b] 上可积，则 \Omega 的体积为：

V(\Omega)=\int_a^bA(x)\mathrm dx

说明：对 [a,b] 作分割 T:a=x_0<x_1<\dots<x_n=b，用平面 x=x_i(i=0,1,\dots,n) 将 \Omega 分成 n 个“小层体”，记位于 I_i=[x_{i-1},x_i] 之间的小层体体积为 \Delta V_i，则 V(\Omega)=\sum_{i=1}^{n}\Delta V_i，令

m_i=\inf\{A(x)|x\in I_i\}\\ M_i=\sup\{A(x)|x\in I_i\}

则 m_i\Delta x_i\le \Delta V_i\le M_i\Delta x_i.

故 \sum_{i=1}^{n}m_i\Delta x_i\le V(\Omega)\le\sum_{i=1}^{n}M_i\Delta x_i，于是当 \|T\|\to 0 时，

V(\Omega)=\lim_{\|T\|\to 0}\sum_{i=1}^n M_i\Delta x_i=\lim_{\|T\|\to 0}\sum_{i=1}^{n}m_i\Delta x_i=\int_a^bA(x)\mathrm dx

\R^3 中旋转体的体积

旋转体：一个由曲线所围的平面有界闭区域绕着某条空间中的直线（一般取坐标轴；特别地，取 x 轴）旋转一周而成的立体。

\begin{aligned} V(\Omega)&=\int_a^b\pi[f(x)]^2\mathrm dx\\ &=\pi\int_{a}^b[f(x)]^2\mathrm dx \end{aligned}

例、证明：半径为 R(>0) 的球体体积为 \frac{4}{3}\pi R^3.

证：半径为 R 的球体可以看成曲线 y=\sqrt{R^2-x^2},x\in[-R,R] 及 x 轴所围的平面有界闭区域或绕 x 轴旋转一周所得，故有

V=\pi\int_{-R}^R\left(\sqrt{R^2-x^2}\right)^2\mathrm dx=\frac{4}{3}\pi R^3\\

平面曲线的弧长

设 \gamma 是 Oxy 平面上的一条参数曲线：\begin{cases}x=x(t),\\y=y(t),\end{cases}t\in[\alpha,\beta]（参数化可诱导一个映射 h:[\alpha,\beta]\to\R^2,t\mapsto(x(t),y(y))，即有 h([\alpha,\beta])=\gamma）

  1. 若 h 是一个单射，则称 \gamma 是一条简单曲线；

  2. 若 x(t),y(t) 在 [\alpha,\beta] 上连续，则称 \gamma 是一条连续曲线；

  3. 若 h|_{(\alpha,\beta)} 是一个单射，x(t),y(y) 连续，且 h(\alpha)=h(\beta)，则称 \gamma 是一条简单封闭曲线，也称 \gamma 为一条 Jordan 曲线；

  4. 若 x(t),y(t) 在 [\alpha,\beta] 上有连续的导函数且 \forall t\in[\alpha,\beta],[x'(t)]^2+[y'(t)]^2\neq 0，则称 \gamma 为一条光滑曲线；

注：以上均是只要存在一个能表达该曲线的 h 满足定义即可。

例：

\begin{cases} x=\cos t,\\ y=\sin t, \end{cases} t\in[0,\pi]\\ \begin{cases} x=t,\\ y=\sqrt{1-t^2}, \end{cases} t\in[0,\pi]

二者表达了同一个简单光滑曲线，即使第二条不满足定义。

设 \gamma 是一条简单连续曲线 \begin{cases}x=x(t),\\y=y(t),\end{cases}t\in[\alpha,\beta].

令分割 T:\alpha=t_0<t_1<\dots<t_n<\beta，令 M_i=h(t_i),i=0,1,\dots,n，

分割 P:M_0,M_1,\dots, M_n，并记：\|P\|=\max_{1\le i\le n}|M_{i-1}M_i|（即直线段 \overline{M_{i-1}M_i} 的模）。

内接这按的长度记作 S_p.

若 \sup\{S_P|P 是\gamma 的一个分割\}，则称 \gamma 是可求长的，\gamma 的长度记作 l(\gamma)=\sup\{S_P|P\}=\lim_{\|P\|\to 0}S_P.

命题：若 \gamma 是一条简单光滑曲线，则 \gamma 是可求长的，且若 \gamma 的简单光滑参数化为 \begin{cases}x=x(t),\\y=y(t),\end{cases}t\in[\alpha,\beta]，则

l(\gamma)=\int_a^b\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\mathrm dt

证：作 [\alpha,\beta] 的一个分割 T:\alpha=t_0<t_1<\dots<t_n=\beta，T 诱导 \gamma 的一个分割 P:A=M_0,M_1,\dots, M_n=B，分割 P 可得到 \gamma 的一条内接折线，其长度

\begin{aligned} S_P&=\sum_{i=1}^{n}l(\overline{M_{i-1}M_i})\\ &=\sum_{i=1}^{n}\sqrt{[x(t_i)-x(t_{i-1})]^2+[y(t_i)-y(t_{i-1})]^2}\\ &=\sum_{i=1}^n\sqrt{\left(x'(\zeta_i)\Delta t_i\right)^2+\left(y'(\eta_i)\Delta t_i\right)^2}&\zeta_i,\eta_i\in I_i\\ &=\sum_{i=1}^{n}\sqrt{[x'(\zeta_i)]^2+[y'(\eta_i)]^2}\Delta t_i\\ &=\rho \end{aligned}

再令 \sigma=\sum_{i=1}^{n}\sqrt{[x'(\zeta_i)]^2+[y'(\zeta_i)]^2}\Delta t_i.

\because\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2} 在 [\alpha,\beta] 上可积，

\therefore\lim_{\|T\|\to 0}\sigma=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\mathrm dt.

下证 \lim_{\|T\|\to 0}|\rho-\sigma|=0.

补充：\forall A,B,C\in\R，有

|\sqrt{A^2+B^2}-\sqrt{A^2+C^2}|\le|B-C|

证：

  1. A=0，成立。

  2. A\neq 0

左边=\left| \frac{|B+C|\cdot|B-C|}{\sqrt{A^2+B^2}+\sqrt{A^2+C^2}} \right| \le\frac{|B|+|C|}{\sqrt{A^2+B^2}+\sqrt{A^2+C^2}}\cdot|B-C|<|B-C|=右边

得：

\left|\sqrt{[x'(\zeta_i)]^2+[y'(\eta)]^2}\right|\le|y'(\eta_i)-y'(\zeta_i)|

又 \because y'(t) 在 [\alpha,\beta] 上连续，\therefore y'(t) 在 [\alpha,\beta] 上一致连续，\therefore\forall \epsilon>0，……

……

总之成立

对于 y=f(x)，可设 \begin{cases}x=t,\\y=f(t),\end{cases}t\in[\alpha,\beta]，则 l(\gamma)=\int_a^b\sqrt{1+[f'(t)]^2}\mathrm dt.

例、求曲线 \gamma:y=\frac{e^x+e^{-x}}{2},x\in[0,1] 的弧长。

解：

\because y'(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2},1+(y'(x))^2=(\frac{e^x+e^{-x}}2)^2\\ \therefore l(\gamma)=\int_{0}^1\frac{e^x+e^{-x}}{2}\mathrm dx=\frac{e^x-e^{-x}}{2}|_{x=0}^{x=1}=\frac{e-e^{-1}}{2}

例、

\begin{cases}x=a(1-\cos t),\\y=a\sin t,\end{cases}t\in[0,2\pi]

解：

(x'(t))^2+(y'(t))^2=2a^2(1-\cos t)=4a^2\sin^2\frac{t}{2}\\ l(\gamma)=2a\int_{0}^{2\pi}\sin\frac{t}{2}\mathrm dt=8a

反常积分

反常（广义）积分 \leftrightarrow 正常（常义）积分

f 在有限点 x=x_0，\forall \delta>0，使得 f 在 (x_0-\delta,x_0)\cup(x_0,x_0+\delta)\sub D_f 内有界（若无界，则为无界函数的反常积分），[a,b] 有限（无限，则为无穷限反常积分）。

例（第二宇宙速度等）书上 P247~P248

无穷限反常积分

  1. 若 f 在 [a,+\infin) 上有定义，且 \forall b>a，f 在 [a,b] 上可积，若 \lim_{u\to+\infin}\int_a^uf(t)\mathrm dt 存在，则称反常积分 \int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx 收敛，反之称其发散。
  2. 设 f 在 (-\infin,a] 有定义……（与 #1 类似）
  3. 设 f 在 (-\infin,+\infin) 上有定义，且 \forall a<b,f 在 [a,b] 上可积，若 \forall a<b，f 在 [a,b] 上可积，若 \forall c\in\R，\lim_{u\to+\infin}\int_c^uf(t)\mathrm dt 和 \lim_{u\to-\infin}\int_u^cf(t)\mathrm dt 都存在且二者之和的值与 c 的选取无关，则称反常积分 \int_{-\infin}^{+\infin}f(x)\mathrm dx 收敛，否则称其发散。

Cauchy Principle Value（c.p.v 柯西主值）

\int_{-\infin}^{+\infin}f(x)\mathrm dx=\lim_{u\to +\infin}\int_{-u}^{u}f(t)\mathrm dt

瑕积分

瑕点定义：设 f 在 [a,b] 上有定义，x_0\in[a,b]，若 f 在 x_0 的任意领域内无界，则称 x_0 为 f 在 [a,b] 上一个瑕点。

  1. 设 f 在 [a,b] 上有定义，且 a 是 f 在 [a,b] 上的唯一瑕点，且 \forall u\in(a,b)，f 在 [u,b] 上可积，若 \lim_{u\to a+}\int_u^bf(t)\mathrm dt 存在，则称瑕积分 \int_a^bf(x)\mathrm dx 收敛，否则称其发散。
  2. 设 f 在 [a,b] 上有定义，且 b 是 f 在 [a,b] 上的唯一瑕点，且 \forall u\in(a,b)，f 在 [a,u] 上可积，若 \lim_{u\to b-}\int_a^uf(t)\mathrm dt 存在，则称瑕积分 \int_a^bf(x)\mathrm dx 收敛，否则称其发散。
  3. 设 f 在 [a,b] 上有定义，且 c\in(a,b) 是 f 在 [a,b] 上唯一瑕点，且 \forall u\in(a,c),v\in(c,b)，f 在 [a,u],[v,b] 上均可积，若 \lim_{u\to c-}\int_a^uf(t)\mathrm dt 和 \lim_{v\to c+}\int_{v}^bf(t)\mathrm dt 均存在，则称瑕积分 \int_a^bf(x)\mathrm dx 收敛（收敛于前两个极限的和），否则发散。

Cauchy Principle Value（c.p.v 柯西主值）

\int_{a}^bf(x)\mathrm dx=\lim_{\epsilon\to 0+}\left( \int_{a}^{c-\epsilon}f(t)\mathrm dt+\int_{c+\epsilon}^{b}f(s)\mathrm ds \right)\in\R

下面固定 p>0.

\int_{1}^ux^{-p}\mathrm dx=\begin{cases} \ln u&,p=1\\ \frac{u^{1-p}-1}{1-p}&,p\neq 1 \end{cases}\\

因此 \int_1^{+\infin}x^{-p}\mathrm dx 当 p>1 时收敛于 \frac{1}{1-p}，当 0<p\le 1 时发散。

\int_{\epsilon}^1x^{-p}\mathrm dx=\begin{cases} -\ln\epsilon&,p=1\\ \frac{1-\epsilon^{1-p}}{1-p}&,p\neq 1 \end{cases}

因此 \int_{0}^1x^{-p}\mathrm dx 当 0<p<1 时收敛于 \frac{1}{1-p}， 当 p\ge 1 时发散。

无穷积分 \int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx 收敛的 Cauchy 收敛准则

\int_{a}^{+\infin}f(x)\mathrm dx 收敛 \Leftrightarrow \epsilon >0,\exist A>a,\forall u_1>A,u_2>A 有 |\int_{u_1}^{u_2}f(t)\mathrm dt|<\epsilon.

性质

  1. 若 \int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx 和 \int_{a}^{+\infin}g(x) 均收敛，k_1,k_2\in\R，则 \int_{a}^{+\infin}[k_1f(x)+k_2g(x)]\mathrm dx 收敛且有线性性成立。

  2. 若 \forall u>a，f 在 [a,u] 上可积，b(>a) 为实常数，则 \int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx 与 \int_{b}^{+\infin}f(x)\mathrm dx 同敛散。

  3. 设 \forall u>a，f 在 [a,u] 上可积，且 \int_{a}^{+\infin}|f(x)|\mathrm dx 收敛，则 \int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx 也收敛（反之不一定成立），并称 \int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx 是绝对收敛的，且有

    \left| \int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx \right|\le\int_a^{+\infin}|f(x)|\mathrm dx

    否则，若 \int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx 收敛但 \int_a^{+\infin}|f(x)|\mathrm dx 发散，则称 \int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx 是条件收敛的。

非负函数 f(x) 的无穷积分的敛散性判别法

设 f(x) 是定义在 [a,+\infin) 上的非负函数，且 \forall u>a，f 在 [a,u] 上可积。

命题（比较原则）：若 f,g 在 [a,+\infin) 上满足 0\le f(x)\le Kg(x)，其中 K>0 且为常数，则有

  1. 若 \int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx 发散，则 \int_a^{+\infin}g(x) 也发散。
  2. 若 \int_a^{+\infin}g(x)\mathrm dx 收敛，则 \int_a^{+\infin}f(x) 也收敛。

推论：

  1. 设 f 和 g 在 [a,u](\forall u>a) 上可积，且 \forall x\in[a,+\infin),f(x)\ge0,g(x)>0，又

    \lim_{x\to +\infin}\frac{f(x)}{g(x)}=c

    则有

    1. 若 c\in(0,+\infin)，则 \int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx,\int_a^{+\infin}g(x)\mathrm dx 同敛散。

      证：\because\lim_{x\to+\infin}\frac{f(x)}{g(x)}=c>0,\therefore\exist A>a,\texttt{s.t.}\forall x>A，有 \frac{c}{2}g(x)\le f(x)\le \frac{3c}{2}g(x).

    2. 若 c=0，则由 \int_{a}^{+\infin}g(x)\mathrm dx 收敛可推出 \int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx 收敛。证明考虑极限的定义。

    3. 若 c=+\infin，则由 \int_a^{+\infin}g(x)\mathrm dx 发散可推出 \int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx 发散。

  2. （Cauchy 判别法）（以下 k 为正常数）

    1. 若 0\le f(x)\le \frac{k}{x^p} 且 p>1 时，\int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx 收敛。
    2. 若 f(x)\ge\frac{k}{x^p} 且 p\le 1 时，\int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx 发散。

  3. （Cauchy 判别法的极限形式）

    设 \lim_{x\to +\infin}x^pf(x)=\lambda，则

    1. 当 \lambda\in[0,+\infin) 且 p>1 时，\int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx 收敛；
    2. 当 \lambda\in(0,+\infin] 且 p\le 1 时，\int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx 发散；

    例、判别以下反常积分的敛散性

    \int_1^{+\infin}\frac{\mathrm dx}{(x^3+3x+1)^{\frac{1}3}}\\ \int_1^{+\infin}x^{\alpha}e^{-x}\mathrm dx,(d\in\R\ 常数)

    解：

    \because\lim_{x\to +\infin}\frac{x}{(x^3+3x+1)^{\frac{1}3}}=1\\ \therefore 由柯西判别法……发散\\ \because \lim_{x\to +\infin}x^2\cdot x^{\alpha}e^{-x}=0\\ \therefore 由柯西判别法……收敛

Dirichlet 判别法：设 F(u)=\int_a^uf(t)\mathrm dt 在 [a,+\infin) 上有界，g(x) 在 [a,+\infin) 单调且 \lim_{x\to +\infin}g(x)=0，则 \int_a^{+\infin}f(x)g(x)\mathrm dx 收敛。

证：\because \lim_{x\to +\infin}g(x)=0,\therefore \forall \epsilon>0,\exist A>a，使得 \forall x>A 有 |g(x)|<\epsilon，

又 \because F(u)=\int_a^u f(x)\mathrm dx 在 [a,+\infin) 有界，\therefore \exist M>0,\forall u\in[a,+\infin),|F(u)|\le M，

\forall u_2>A,u_1>A,|\int_{u_1}^{u_2}f(t)|\mathrm dt\le |F(u_1)|+|F(u_2)|\le 2M，

故 \forall u_2>u_1>A 有

\left| \int_{u_1}^{u_2}f(x)g(x)\mathrm dx \right| \le |g(u_1)|\cdot \left|\int_{u_1}^{\zeta}f(x)\mathrm dx\right|+|g(u_2)|\cdot \left|\int_{\zeta}^{u_2}f(x)\mathrm dx\right|\le 4M\cdot \epsilon

故由反常积分收敛的 Cauchy 准则知 \int_a^{+\infin}f(x)g(x)\mathrm dx 收敛。

Abel 判别法：若 \int_a^{+\infin}f(x)\mathrm dx 收敛，g(x) 在 [a,+\infin) 单调且有界，则 \int_a^{+\infin}f(x)g(x)\mathrm dx 收敛。

证：\because g(x) 单调有界，\therefore\lim_{x\to+\infin}g(x) 存在，设为 b\in\R，令 h(x)=g(x)-b，则 h(x) 在 [a,+\infin) 也单调，且在正无穷处极限为 0，由 Dirichlet 判别法知，\int_a^{+\infin}f(x)h(x)\mathrm dx 收敛，即 \int_a^{+\infin}f(x)(g(x)-b)\mathrm dx 收敛，从而 \int_a^{+\infin}f(x)g(x)\mathrm dx 收敛。

例、证明：\int_1^{+\infin}\frac{\sin x}{x}\mathrm dx 收敛，但 \int_1^{+\infin}\left|\frac{\sin x}{x}\right|\mathrm dx 发散。

证：\forall u_2>u_1>1，有

\begin{aligned} &\left|\int_{u_1}^{u_2}\frac{\sin x}{x}\mathrm dx\right|\\ =&\left|\int_{u_1}^{u_2}\frac{(-\cos x)'_x\mathrm dx}{x}\right|\\ =&\left|-\frac{\cos x}{x}|_{u_1}^{u_2}-\int_{u_1}^{u_2}\frac{\cos x}{x^2}\mathrm dx\right|\\ \le &\frac{2}{u_1}+\frac{2}{u_2}\\ <&\frac{4}{u_1}(<\epsilon) \end{aligned}

\forall x>1，有

\left| \frac{\sin x}{x} \right| =\frac{|\sin x|}{x}\ge \frac{\sin^2 x}x=\frac{1-\cos (2x)}{2x}\ge 0

其中 \frac{\cos 2x}{2x} 是满足 Dirichlet 判别法，收敛的，而 \int_{1}^{+\infin}\frac{1}{2x} 是发散的，故结论成立。

例、求 \forall n\in\N，I_n=\int_0^{+\infin}x^ne^{-x}\mathrm dx.

解：I_0=1，\forall n\in\Z^+,I_n 收敛。

\begin{aligned} I_n&=\int_{0}^{+\infin}x^{n}e^{-x}\mathrm dx\\ &=\int_{0}^{+\infin}x^{n}(-e^{-x})'_x\mathrm dx\\ &=-e^{-x}x^{n}|_{x=0}^{x=+\infin}+n\int_{0}^{+\infin}x^{n-1}e^{-x}\mathrm dx\\ &=nI_{n-1}\\ &=n! \end{aligned}

例、I=\int_0^{\frac{\pi}2}\ln(\sin x)\mathrm dx,J=\int_0^{\frac{\pi}2}\ln(\cos x)\mathrm dx.

解：

\because\lim_{x\to 0+}x^{\frac13}\ln(\sin x)=0,\lim_{x\to \frac\pi2-}(\frac{\pi}2-x)^{\frac{1}{3}}\ln(\cos x)=0\\ \therefore I,J 均收敛

易证：I=J.

2I=I+J=\int_0^\frac\pi2\ln(\sin x\cos x)\mathrm dx=\int_0^{\frac\pi 2}\left( \ln\frac12+\ln\sin(2x) \right)\\ =\frac{\pi}2\ln\frac{1}{2}+\int_0^{\frac\pi2}\ln\sin(2x)\mathrm dx\\ =\frac{\pi}2\ln\frac12+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\ln\sin t\mathrm dt\\ =\frac{\pi}2\ln\frac12+I

因此：I=J=\frac{\pi}{2}\ln\frac12.

（？？？太神奇啦）

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