关于有源汇上下界最小流

关于有源汇上下界最小流

本篇仅记录作者自己关于这个知识点的理解，在大佬看来可能很 naive 吧。

在 xht 大佬关于 P4843 清理雪道 的题解中，有一种特别的求出最小流的方式，优越性可能是好背，利用了一些 $\operatorname{Dinic}$ 的性质，在此简单记录。

做法

定义源汇分别为 $s,t$，以及为平衡流量而制造的超级源，超级汇。

我们首先在建出的网络流图上对于超级源到超级汇跑一次最大流，尽可能满足流量平衡。

若此时已平衡，则无需让 $s\to t$ 之间有额外的流量，答案为 $0$。实现中并不需要特判。

然后，我们从建立一条从 $t$ 到 $s$，流量为 $[0,+\infin)$ 的边，再跑一次最大流（超级源到超级汇），这条边上面的流量就是我们要求的最小流。

解释&理解：

首先需要弄清楚一件事，从 $t$ 向 $s$ 连的一条 $[0,+\infin)$ 上的流量就是 $s$ 到 $t$ 的流量。

然后，我们需要解决两个问题：为什么最小，以及，为什么合法。

对于某些点，他们拥有来自超级源的流量，但是并不一定能够全部流向超级汇；对于另外一些点，他们需要向超级汇输送流量，但是不一定足够。在跑完最大流后，不足或是溢出的流量数一定最少。如果存在一种从 $s$ 到 $t$ 的流法，使得满足流量守恒，那么，淤积的流量一定应该从 $t$ 流走，不足的流量一定会从 $s$ 补充，这两部分流量必定相等！

1. 淤积的流量一定应该从 $t$ 流走，不足的流量一定会从 $s$ 补充：
   • 考虑普通网络流的过程其实就是给 $s$ 无限流量并查询能到达 $t$ 的流量的最大值，所以，这些从 $s$ 补充，从 $t$ 流走是合理的。
2. 这两部分流量相等：
   • 这个倒是显然，恐怕无法建出不相等的图吧。
3. 注意：在有源汇上下界最小流中，并不一定所有边上的流量都是来自源点，流向汇点的，他们可以内部消耗因环流而合法。我们不认为环流需要消耗流量。

根据上述 1,2 我们就能得到“从 $t$ 向 $s$ 连的一条 $[0,+\infin)$ 上的流量就是 $s$ 到 $t$ 的流量”这个结论，因为多流走的将流向 $s$ 并弥补不够的部分，完全可以视作从 $s$ 流向 $t$。

又因为，我们在之前的最大流中，已经尽量满足了下界（需要超过上界的根本原因，还是无法满足下界，所以只讨论无法满足下界的情况）并且完全流满了环流（此处利用了 $\operatorname{Dinic}$ 的性质，一定会增广到无法增广为止），我们只需要 $s\to t$ 的流量中给整张图再添加最小的流量（$\operatorname{Dinic}$ 一定每次找最短的增广路进行增广，回流一定不是最短的增广方式，也不会增加流量了），从而满足整张图的的需求，由此，最小的性质和合法的性质均已得到证明。