边分治 学习笔记

边分治 学习笔记

就普遍理性而论，边分治能做的点分治也能做，可是难度…

参考博客：边分治讲解

前置：多叉树转二叉树

也叫三度化。

边分治在二叉树上表现得很优秀，是 $O(nlogn)$，而在菊花图上，因为分割不均等等问题会被卡到 $O(n^2)$。所以，多叉树转二叉树在此显得尤为重要。

法一

算法流程：

1. 若一个点有两个以上的儿子，新建两个点，并向其连边（边权为 $0$）。
2. 然后该点原来的儿子暂且归为这两个儿子，重复第一步。
3. 直到他只有有两个及以下的儿子，向所有儿子连边。

Tip：均分时可以按照奇偶分类。

void pre(int u, int f) {//无向图预处理求父亲
	fa[u] = f;
	for (int v : g[u])
		if (v != f)
			pre(v, u);
}
void reBuild() {
	pre(1, 0);
	for (int u = 1; u <= n; ++u) {
		if ((int)g[u].size() - (fa[u] != 0) <= 2) {//真实儿子数量
			for(int i = 0; i < (int)g[u].size(); ++i)
				if (g[u][i] != fa[u])
					add(u, g[u][i], w[u][i]), 
					add(g[u][i], u, w[u][i]);
		}
		else{
			int ls = ++n,rs = ++n;
			val[ls] = val[rs] = val[u];
			add(u, ls, 0); add(ls, u, 0);
             add(u, rs, 0); add(rs, u, 0);
			for (int i = 0;i < (int)g[u].size(); ++i) {
				if (g[u][i] == fa[u]) swap(ls, rs);
				else g[i & 1 ? ls : rs].push_back(g[u][i]);
			}
		}
	}
}

注意：这种方法需要预处理出父亲信息，并在访问到时特殊判断。详见代码中的 pre 函数。

法二

算法流程：

1. 对于一个点 $x$，记录一个 $last$（初始为 $x$）。
2. 将 $last$ 向下一个子节点连边（初始时为第一个）。
3. 新建节点 $p$，将 $last$ 向 $p$ 连边（边权为 $0$）。
4. 将 $last$ 改为 $p$。重复步骤 $2$，直到建完所有儿子。

void reBuild(int u, int fa) {
	int las = u, p, lim = g[u].size() - (fa != 0);
	for (int i = 0; i < (int)g[u][i]; ++i) {
		int v = g[u][i];
		if(v != fa) {
			add(las, v, d[u][i]);
			add(v, las, d[u][i]);
			if (i < lim-1) {
				p = ++n;
				add(las, p, 0);
				add(p, las, 0);
				las = p;
			}
		}
		else ++lim;
	}
	for (int v : g[u])
		if(v != fa)
			reBuild(v,u);
}

提供 @yanchengzhi 大佬的写法

void dfs1(int u, int from) {
	bool flag = 0;
	for(edge1 i : e1[u]) {
		int v = i.v; ll w = i.w;
		if(v == from) continue;
		cur++;
		add(cur, v, w);
		add(v, cur, w);
		if(flag) {
			add(cur, cur - 1, 0);
			add(cur - 1, cur, 0);
		}
		else {
			add(cur, u, 0);
			add(u, cur, 0);
		}
		flag = 1;
	}
	for(edge1 i : e1[u]) {
		int v = i.v;
		if(v == from) continue;
		dfs1(v, u);
	}
}

时空复杂度

可以证明，上述办法时空均为 $O(n)$，不过空间需要开大一点，一般为 $2$ 倍左右，可适当开大（稳一点建议开 $4$ 倍）。

边分治

算法流程

类似于点分治的思想，边分治也是对于每一个点求出其两端的最大子树大小，并取最小的作为分治中心。

void getG(int u, int e, int all) {
	sz[u] = 1;
	for (int i = fi[u]; i; i = nxt[i]) 
		if ((i >> 1) != e && !vis[i >> 1]) {
			int v = to[i];
			getG(v, i >> 1, all);
			sz[u] += sz[v];
		}
	if (e) maxp[e] = max(sz[u], all - sz[u]);
	if (maxp[e] < maxp[G])
		G = e;
}

解释：$e$ 是进入该点 $u$ 时访问的边，$all$ 是当前分治区域的点数。

细节注意

• 建图时一般是要在新图上开双向边。
• 建图时下标从 $2$ 开始，因为这样可以快速访问一条边的两个端点，具体而言，一条边 $i$ 的两个端点分别为：$to[i],to[i\oplus 1]$（其中 $\oplus$ 代表按位异或）。
• 建图时，某些边权值应该设成 $0$，或者时无穷小之类的不会影响答案的值。